книги / Элементы прикладной теории надежности

Очевидно, что

x

F (x) = ∫ f (x)dx .

−∞

Величины, определяющие характер распределения СВ, назы-

ваются параметрами закона распределения. Наиболее часто исполь-

зуются такие параметры, как среднее значение и дисперсия СВ. Среднее значение СВ – это значение, относительно которого

группируется СВ:

∞

M [X ] = mx = ∫ xf (x)dx .

−∞

Среднее значение, определенное таким образом, называется

математическим ожиданием.

Дисперсия СВ – характеризует разброс СВ относительно среднего значения. Дисперсия – это математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины:

∞

D[X ] = M ( X −mx )2 = Dx = ∫ (x −mx )2 f (x)dx .

−∞

Дисперсия СВ имеет размерность квадрата СВ. Поэтому для удобства используют среднеквадратическое отклонение

σ[X ] = σx = Dx .

Величина σx имеет размерность и единицы измерения СВ.

Показатели надежности невосстанавливаемых ТО

СВ, характеризующей отказ ТО, является время работы до отказа или наработка до отказа. Термин «наработка до отказа» применяется для невосстанавливаемых объектов, для которых реализуется только один отказ. Следует отметить, что все показатели надежности невосстанавливаемых ТО могут быть использованы для восстанавливаемых ТО при исследовании надежности до первого отказа.

21

Пусть T – СВ, характеризующая наработку ТО до отказа; t – заданное значение наработки.

Событие T <t заключается в том, что отказ возникает раньше заданной наработки t, т.е. на интервале от 0 до t.

Вероятность этого события как функция наработки t p(T <t ) =Q(t )

называется функцией ненадежности или вероятностью отказа.

Событие T ≥t означает, что отказ ТО возникает при заданной наработке t или после нее. На интервале от 0 до t отказа не будет.

Вероятность этого события как функция времени t p(T ≥t ) = P(t )

называется функцией надежности или вероятностью безотказной работы.

События T <t и T ≥t являются противоположными и образуют полную группу событий. Поэтому

P(t ) +Q(t ) =1 или Q(t ) =1− P(t ).

Плотность распределения вероятности отказов

ятности возникновения отказов невосстанавливаемого ТО, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого времени отказа не было,

Средняя наработка до первого отказа T0 – математическое ожидание времени работы до отказа T ,

22

+∞

T0 = M [T ] = ∫ t f (t )dt .

−∞

Так как t > 0, P(0) =1, P(∞) = 0 , то

∞

T0 = ∫ P(t )dt .

0

Основная формула теории надежности

Обратимся к выражению для определения интенсивности отказов (2) и запишем его следующим образом:

dPP ((tt)) = −λ(t )dt .

Проинтегрируем левую и правую части этого соотношения по времени в пределах от 0 до t:

или

t

ln P(t ) = −∫λ(t )dt .

0

Из последнего соотношения находим основную формулу теории надежности

23

Законы распределения времени работы до отказа

При описании отказов ТО возникает задача подбора и обоснования такого закона распределения, который бы с наилучшей степенью достоверности отражал действительные закономерности появления отказов. В теории надежности используют широкий круг законов распределения: показательный, нормальный, Вейбулла, Релея и др.

Основанием для использования того или иного закона распределения служат опытные данные, полученные при испытаниях и эксплуатации ТО, сведения об аналогах и теоретические предпосылки.

Экспоненциальное распределение используется для описания надежности ТО при постоянной интенсивности отказов:

Подставляя (4) в (3), находим

P(t ) = e−λt .

Полученная формула выражает экспоненциальный закон надежности.

Плотность распределения наработки до отказа f (t ) = −dPdt(t ) = λe−λt .

Средняя наработка до отказа

Интенсивность отказов может быть определена по средней наработке до отказа:

λ = 1 .

T0

Экспоненциальное распределение справедливо как для внезапных, так и постепенных отказов. Оно является однопараметриче-

24

ским (зависит от одного параметра λ или T0 ) и позволяет достаточ-

но просто подсчитывать ВБР.

Экспоненциальный закон надежности целесообразно использовать:

–при сравнительной оценке надежности нескольких вариантов схем проектируемых ТО;

–для предварительного численного анализа показателей надежности;

–при анализе высоконадежных систем, для которых вероятность безотказной работы близка к единице и все законы распределения теряют свою индивидуальность.

Нормальное распределение используется для описания отказов, вызванных износом деталей. Это двухпараметрический закон с па-

раметрами распределения: T0 – математическое ожидание наработки до отказа; σ – среднеквадратическое отклонение.

Плотность распределения наработки до отказа имеет вид

где Ф( ) – центрированная нормированная функция нормального

распределения (функция Лапласа). Интенсивность отказов

25

При больших t >T0 + 2σ

λ(t ) ≈ t −σ2T0 .

3.3.Параметрическая модель отказов «прочность – нагрузка»

Пусть R и S – случайные величины, характеризующие прочность конструкции и действующую на нее нагрузку.

Условие неразрушения конструкции

R − S > 0.

Тогда вероятность неразрушения конструкции (вероятность безотказной работы) можно определить следующим образом:

P = вер(R − S > 0) .

Понятия «нагрузка» и «прочность» могут трактоваться достаточно широко. «Нагрузка» объединяет действие факторов, способствующих появлению отказа, «прочность» – действие факторов, препятствующих появлению отказа. В качестве таких факторов могут быть выбраны однородные физические величины, например деформации, напряжения, давления, расходы, мощность и др.

Предположим, что прочность R и нагрузка S представляют собой независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону. Тогда вероятность неразрушения конструкции может быть определена как

где Ф( ) – центрированная нормированная функция Лапласа; mR и mS – математические ожидания прочности и нагрузки; σR и σS – среднеквадратические отклонения прочности и нагрузки.

26

4. ДИНАМИКА НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

4.1. Потоки отказов и восстановлений

Краткие сведения о потоках событий

События могут следовать одно за другим, образуя поток событий.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени.

Рассмотрим основные свойства потоков событий.

Ординарность

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый отрезок времени ∆t двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события (рис.4).

Иными словами, события в нем появляются поодиночке, а не пачками.

Одно событие на ∆t много вероятнее, чем несколько

Рис. 4

Отсутствие последействия

Поток без последействия – это поток, в котором для двух непересекающихся временных участков число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другой участок (рис. 5).

27

a = λτ.

Вероятность того, что на участке τ не появится ни одного события (участок окажется пустым), найдем из соотношения (1), положив в нем m = 0,

Принимая во внимание выражение (6), можно показать, что случайные промежутки времени T между соседними событиями в простейшем потоке подчиняются экспоненциальному закону распределения

F (t ) = P(T <t ) =1−e−λt , (t >0).

Дифференцируя это соотношение, приходим к плотности распределения

f (t ) = λe−λt .

Тогда среднее время между событиями в потоке T0 вычисляется так:

Потоки отказов и восстановлений

Следующие один за другим отказы восстанавливаемых ТО об-

разуют поток отказов.

Графически поток отказов можно проиллюстрировать как последовательность случайных точек {t1, t2 , ..., tn } на оси суммарной наработки с разделяющими их случайными интервалами {T1, T2 , ..., Tn } , равными времени работы ТО между отказами (рис. 6).

29