книги / Приборы и методы измерения электрических величин.-1

ного прибора; погрешности, связанные с некоторой неопределенно­ стью параметров самого объекта измерения, и др.

Инструментальные (аппаратурные) погрешности — погрешно­ сти применяемых средств измерения, вызванные схемными и кон­ структивными недостатками измерительного прибора, состоянием прибора в процессе эксплуатации и др.

Субъективные (личные) погрешности — погрешности, связанные с несовершенством органов чувств оператора, его тренированно­ стью, вниманием при измерениях, индивидуальными особенностями и др. При применении цифровых приборов личные погрешности отсутствуют.

Внешние погрешности, обусловленные влиянием внешних усло­ вий как на измеряемый объект, так и на измерительный прибор.

П о з а к о н о м е р н о с т я м п р о я в л е н и я погрешности измерения делят на систематические, случайные, грубые и промахи.

Систематические погрешности измерения — составляющие по­ грешности измерения, которые остаются постоянными или законо­ мерно изменяются при повторных измерениях одной и той же ве­ личины. Закономерно изменяющиеся систематические погрешности, в свою очередь, подразделяются на прогрессирующие (возрастаю­ щие, убывающие), периодические и изменяющиеся по сложному непериодическому закону.

Кпостоянным систематическим погрешностям относят погреш­ ность градуировки шкалы, погрешность, обусловленную неточно­ стью подгонки значения меры, температурную погрешность и др.

Кпеременным систематическим погрешностям относят погреш­ ность, обусловленную нестабильностью напряжения источника пита­ ния, влиянием электромагнитных полей и других влияющих величин.

Анализ возможных причин появления систематических погреш­ ностей, способы обнаружения и устранения их влияния на резуль­ тат измерения — одна из основных задач каждого точного измере­ ния. Обнаружение систематических погрешностей представляет

собой сложную задачу, но если погрешности обнаружены, то обычно удается их оценить и устранить. Систематические погрешности можно исключить теоретическим анализом; поверкой прибора перед его применением в аналогичных условиях; предварительной калиб­ ровкой, установкой нуля; несколькими проведенными измерениями по различным методикам; использованием метода замещений; осу­ ществлением компенсации знака погрешности. В случаях, когда значение систематической погрешности может быть достаточно точно определено, вводят поправку или поправочный множитель.

Поправка — значение величины, одноименной с измеряемой, прибавляемое к полученному при измерении значению величины с целью исключения систематической погрешности.

Поправочный множитель — число, на которое с целью исключе­ ния систематической погрешности умножают результат измерения.

Полностью устранить систематические погрешности нельзя. Уменьшение влияния систематической погрешности может быть за счет перевода систематической погрешности в случайную.

Случайные погрешности измерений — составляющие погрешно­ сти измерения, изменяющиеся не по определенному закону, а слу­ чайным образом при повторных измерениях одной и той же вели­ чины. Значение и знак случайной погрешности определить невоз­ можно, так как случайные погрешности обязаны своим происхож­ дением причинам, действие которых неодинаково в каждом экспе­ рименте и не может быть учтено. Обнаруживаются случайные по­ грешности при многократных измерениях одной и той же величины, поэтому их влияние на результат измерений учитывается методами математической статистики и теории вероятностей.

Грубые погрешности — погрешности, существенно превышаю­ щие ожидаемые при данных условиях погрешности. Они могут воз­ никать, например, при резком кратковременном изменении влияю­ щей на результат измерения величины.

Промахи — погрешности, которые явно и резко искажают ре­ зультат измерений — следствие неправильных действий экспери­ ментатора, неисправностей в схемах и приборах.

Таким образом, погрешности измерения могут быть случайные Д (в том числе грубые погрешности и промахи) — изменяющиеся слу­ чайным образом при повторных измерениях одной и той же вели­ чины; систематические в — остающиеся постоянными или законо­ мерно изменяющиеся при повторных измерениях.

В процессе измерения систематические и случайные погрешности проявляются одновременно, и погрешность измерений можно пред­ ставить в виде суммы двух составляющих: АХ = А + 0.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений измеряемых величин, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной и последующую математиче­ скую обработку экспериментальных данных.

Оценка случайных погрешностей. Случайные погрешности про­ являются при многократных и равноточных измерениях, т. е. при измерениях, выполненных по одной и той же методике, средствами одинаковой точности и при неизменных внешних условиях. Отдель­ ные значения случайной погрешности предсказать невозможно, но большая их совокупность подчиняется определенным закономерно­ стям. Они устанавливаются на основе методов математической статистики и теории вероятностей.

Задача оценки погрешности результата измерения состоит в том, чтобы охарактеризовать неопределенность полученного результата, т. е. указать границы изменения погрешности результата измере­ ний при повторных измерениях.

Наиболее полной характеристикой случайной погрешности и любой случайной величины является закон распределения их вероят­ ностей, определяющий возможные значения случайной погрешно­ сти и вероятность их появления.

В большинстве физических измерений случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения — закону Гаусса, который основан на предположении, что случайные погрешности подчинены следующим закономерностям:

равные по абсолютному значению погрешности равновероятны; малые по абсолютному значению погрешности более вероятны,

нежели большие; вероятность появления случайных погрешностей, превосходя­

щих по абсолютному значению некоторое определенное число (пре­ дел возможной погрешности), практически равна нулю;

среднее арифметическое из всех случайных ошибок ряда равно­ точных измерений, стремится к нулю при неограниченном возраста­ нии числа измерений.

Случайную погрешность А /-го результата измерения х можно представить как разность между результатом измерения и мате­ матическим ожиданием М [X] измеряемой величины, относительно которого рассеиваются результаты измерения и которое при отсут­ ствии систематических погрешностей принимается за истинное зна­ чение измеряемой величины: А = х — М [X].

Дифференциальная функция распределения является более на­ глядной характеристикой погрешности, чем интегральная, так как максимум дифференциальной функции распределения обычно сов­ падает с истинным значением измеряемой величины. Плотность нормального распределения вероятностей случайных погрешностей или дифференциальная функция нормального распределения р (А) выражается формулой Гаусса:

где А — случайная абсолютная погрешность; а — среднеквадра­ тичное отклонение.

Дисперсия й случайной погрешности, равная дисперсии ре­ зультатов измерений, представляет собой математическое ожидание квадрата случайной погрешности и характеризует разброс резуль­ татов измерения из-за наличия случайных погрешностей:

На практике удобнее пользоваться среднеквадратичным откло­

число малых погрешностей, а следовательно, увеличивается степень приближения к действительному значению измеряемой величины, т. е. уменьшается рассеивание результатов измерений.

Вероятность попадания случайной погрешности в некоторый

Вероятность попадания результата измерения или случайной погрешности в заданный интервал равна площади, ограниченной кривой плотности распределения, осью абсцисс и вертикалями на границах интервала. Вычисление Р по (1.22) связано с трудностями. Поэтому при практических расчетах широко применяется нормиро­ ванное нормальное распределение, которое получается при переходе к случайной величине к — А1л/а. Составляются таблицы значений доверительной вероятности Р (вероятности интервала погрешности, коэффициента надежности), определяемых из выражения

Следовательно, для характеристики случайных погрешностей необходимо найти значения а и /г. Коэффициент к обычно опреде­ ляется задаваемой вероятностью Р и видом закона распределения вероятностей случайных погрешностей. Теоретический коэффи­ циент к для закона нормального распределения случайных погреш­ ностей имеет следующие значения:

Для оценки случайных погрешностей, кроме среднего квадра­

аменьших — 99,7 %. Интервал ± 3 а

вслучае нормального распределения представляет собой ин­

тервал достаточно достоверного результата измерения. Поэтому принято считать, что при практических измерениях появление по­ грешности, большей За, почти исключено.

В измерительной практике распространен также равномерный закон распределения плотности вероятности случайной погреш­ ности, при котором функция р (Д) постоянна внутри некоторого интервала (+ Д , —Д) и равна нулю вне интервала.

Обработка результатов измерений. Достаточными характеристи­ ками случайных погрешностей являются их числовые характери-

стики: математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. Определение математического ожидания и среднеквадратичного от­ клонения возможно только при бесконечно большом числе измере­ ний. Практически число измерений п всегда ограничено. На осно­ вании ограниченного ряда измерений находятся приближенные оценки математического ожидания, которые принимают за искомые вероятностные характеристики. К оценкам математического ожида­ ния, среднеквадратичного отклонения предъявляют требования, определяющие их пригодность: состоятельность, несмещенность и эффективность. Отсюда оценки математического ожидания назы­ ваются состоятельной, несмещенной, эффективной.

Если при увеличении числа измерений оценка математического ожидания сходится по вероятности к значению оцениваемого пара­ метра, то она состоятельная. Если оценка математического ожида­ ния равна оцениваемому параметру, то она несмещенная. Если оценка дисперсии меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра, то она эффективная.

Проведено п равноточных измерений значения х. Наиболее до­ стоверным значением, которое можно приписать измеряемой вели­ чине, является среднее арифметическое значение ряда одинаковых измерений X :

Оценкой математического ожидания М IX] измеряемой величины будет X; относительно этого значения рассеиваются результаты измерений, которое при отсутствии систематических погрешностей принимается за истинное.

Отклонение результата каждого измерения от среднего значения (по числовому значению и по знаку) определяется из выражения

где о,- — остаточные погрешности.

Остаточные погрешности обладают следующими свойствами: их сумма равна нулю

Эти свойства используются при обработкерезультатов измере­ ний для контроля правильности вычислений X. По сумме квадра­ тов всех остаточных погрешностей определяют наиболее широко используемую оценку влияния случайной погрешности на резуль­ тат измерения — оценку среднеквадратичного отклонения о. Со-

гласно теории вероятностей вычисление а осуществляется по при­ ближенной формуле Бесселя:

Эта оценка несмещенная, состоятельная и эффективная. Деление суммы квадратов остаточных погрешностей на п — 1 вместо п приближает вычисляемое значение д к его теоретическому значению, и чем больше п, тем это приближение лучше.

Оценка среднеквадратичного отклонения а характеризует точ­ ность ряда измерений и определяется всей совокупностью условий измерений (свойствами прибора, качествами экспериментатора, фак­ торами, влияющими на измерения). Оценка д характеризует степень рассеяния результата измерений вокруг среднеарифметического. Так как среднеарифметическое обладает некоторой случайной по­ грешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратичного от­ клонения среднеарифметического, равное

и характеризующее погрешность результата измерения. Рассмотренные оценки результата измерения, выражаемые одним

числом, называются точечными оценками:

Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку д%

указывает на границы интервала, в котором может находиться истинное значение Х0, но ничего не говорит о вероятности попада­ ния Х 0 в этот интервал. Точечная оценка позволяет сделать неко­ торые выводы о точности проведенных измерений.

При интервальной оценке определяется доверительный интер­ вал, между границами которого с определенной вероятностью нахо­ дится истинное значение Х0. Задавшись значением доверительной вероятности Р при нормальном распределении случайных величин

При технических измерениях, когда значение измеряемой вели­ чины определяется при малом числе измерений 2 <; п <; 20, размер доверительного интервала увеличивается и правильнее определять

где 1Рл — коэффициент распределения Стьюдента — зависит от за­ даваемой вероятности Р, числа измерений п и определяется по таб-

лице (табл. 1.1), рассчитанной на основании уравнения

<133)

где 5 (1\ п) — плотность распределения Стьюдента; I = (X —

— Х0)/а-х — дробь Стьюдента; п — число измерений.

При п — оо (практически при п ^ 20) усеченное распределение Стьюдента приближается к нормальному, и вместо коэффициента (Рп можно использовать коэффициент к [см. формулы (1.29), (1.31)].

Результат измерения с интервальной оценкой с помощью распре­

Из (1.34) следует, что вероятность того, что отклонение средне­ арифметического от истинного значения измеряемой величины не

превышает Д[>3.

При обработке результатов измерения определяется относитель­

На рис. 1.10 показана схема обработки результатов измерения. Погрешность результата косвенных измерений. При оценке слу­ чайных погрешностей косвенных измерений необходимо учитывать, что измеряемая величина У функционально связана с одной или

несколькими непосредственно измеряемыми величинами Хг, Х2,

..., Хт, т. е. У = / (Хх, Х2, Хэ, ..., Х„), поэтому абсолютная по-

и геометрическое суммирование среднеквадратичных оценок слу­ чайных погрешностей с учетом их кор­ реляционных (зависимых) связей

где N — число источников, погрешно­ стей.

Возможны случаи, когда @2 может быть равна нулю и когда систематиче­ ские погрешности переводят в случай­ ные.

Основная погрешность измеритель­ ного прибора, даваемая без указания знака, содержит как систематическую, так и случайную составляющие, кото­ рые нельзя четко разграничить, если известен только класс точности прибо­ ра. Дополнительные погрешности от влияющих величин нормируются в до­ лях от основной, также без указания знака. Эти погрешности правильнее Сум­ мировать геометрически.

Арифметическое суммирование со­ ставляющих дает максимальное преде­ льное значение всех возможных погреш­ ностей прибора, которое имеет ничтож­ но малую вероятность при условии, что все составляющие одного знака.

При наличии двух случайных вели­ чин суммарная среднеквадратичная по­ грешность

Если одна из составляющих случайных погрешностей меньше общей погрешности примерно в три раза, то этой погрешностью можно пренебречь (критерий ничтожных погрешностей). Суммиро­ вание систематической и случайной погрешностей выполняется геометрически с учетом корреляционных связей.

В табл. 1.3 приведен пример обработки результата 25 равноточных изме­ рений напряжения {/,• компенсатором постоянного тока. Закон распределения вероятностей погрешностей — нормальный. Необходимо определить доверитель­ ный интервал, в котором находится действительное значение IIа измеряемого напряжения при заданной доверительной вероятности Р = 0,98.

Результат измерения: наиболее достоверное значение напряжения с вероят­ ностью 0,98 лежит в интервале (100,03 — 0,01) < 1/0 < (100,03 + 0,01). Отно­

сительная квадратичная погрешность результата измерения уц = (Рц1И) 100 =

= ± 0,01 %.

+сли используются для обработки лишь первые три результата измерений,

Числовое значение результата измерений должно записываться с млад­ шим разрядом значащих цифр, который имеется в погрешности результата. Все недостоверные цифры результата измерений должны округляться. При точ­