книги / Рудничная аэрология.-1

месей (газы, пары, пыль) в воздушных потоках, а также распростра­ нение газов в горных породах. Газовая динамика имеет дело с диф­ фузией газообразных примесей.

Распространение газов в воздушном потоке происходит в резуль­ тате: 1) увлечения их движущимся воздухом, 2) молекулярного перемешивания газов с чистым воздухом, 3) турбулентного их пере­ мешивания. Соответственно различают конвективную, молекуляр­ ную и турбулентную диффузию.

При молекулярной диффузии распространение вещества происхо­ дит вследствие взаимного проникновения молекул в диффундиру­ ющих средах. При турбулентной диффузии происходит обмен объ­ емами, содержащими диффундирующие среды. Поскольку даже весьма малые объемы, участвующие в турбулентном обмене, значи­ тельно больше отдельных молекул, турбулентная диффузия проте­ кает в сотни и тысячи раз более интенсивно, чем молекулярная.

Если в одном и том же направлении происходит конвективный и турбулентный перенос газа, то в условиях относительно высоких скоростей движения воздуха в горных выработках турбулентным переносом (в направлении основного движения) можно пренебречь вследствие малой его интенсивности (продольные пульсационные скорости в выработках составляют в среднем несколько процентов от осредненной скорости).

Следовательно, основное значение в диффузионных процессах, происходящих в горных выработках, имеет конвективный перенос газа вдоль потока и турбулентный перенос его в направлениях, перпендикулярных основному движению. Последний вид переноса особенно важен, ибо от него зависит, будет ли поступающий со стенок выработки газ равномерно перемешиваться со всем потоком воздуха или он будет накапливаться у стенок, создавая так называемые слоевые скопления.

Диффузионные потоки. Количество диффундирующего вещества, переносимого в единицу времени через площадку единичной пло­ щади, называется д и ф ф у з и о н н ы м п о т о к о м . Он характе­ ризует интенсивность переноса примеси. Количество диффундиру­ ющего вещества может измеряться в объемных или весовых едини­ цах. Размерность диффузионного потока в объемных единицах будет

n _ L* _ L

TL2 T *

т. e. диффузионный поток, выраженный в объемных единицах, имеет размерность скорости.

Соответственно указанным выше механизмам диффузии разли­ чают три вида диффузионных потоков: конвективный, молекуляр­ ный и турбулентный.

Конвективный перенос осуществляется движущимся воздухом. Следовательно, направление конвективного потока совпадает с на­ правлением осредненной скорости потока в точке.

Проведем в потоке плоскость, перпендикулярную направлению осредненной скорости и. Тогда расход воздуха через единицу пло­

щади этой плоскости будет Q = иЛ = и. Если концентрация диф­ фундирующего вещества в воздухе равна с, то вместе с количеством воздуха Q через площадку в единицу времени будет перенесено

cQ = си объемных единиц диффундирующего вещества. Следова­ тельно, конвективный диффузионный поток будет равен

где и, V, w — компоненты скорости по осям Qx, Оу, Oz. Молекулярный и турбулентный диффузионные потоки направ­

лены в сторону уменьшения концентрации вещества. Поскольку направление быстрейшего уменьшения скалярной величины опреде­ ляется ее градиентом, являющимся вектором, направление молеку­ лярного и турбулентного диффузионных потоков совпадает с гра­ диентом концентрации.

Молекулярный диффузионный поток определяется градиентом концентрации с и эмпирическим коэффициентом пропорциональ­

Компоненты молекулярного потока по осям координат будут:

дс

7MZ= - A * ~дГ ’

Формулы (XIV,3), (XIV,4) носят название п е р в о г о з а к о н а Ф и к а.

Формулы (XIV,4) предполагают, что коэффициент молекулярной диффузии не зависит от направления, т. е. DMх = D My = DMZ. Это следует из кинетической теории газов, согласно которой коэффициент молекулярной диффузии равен произведению свободной длины про­

бега молекул I на среднюю скорость их теплового движения ум, которые не зависят от направления:

Так как /м направлен в сторону уменьшения концентрации, градиент концентрации и ее производные по осям, берущиеся в урав­ нениях (XIV,3) и (XIV,4) в направлении диффузии, имеют отрица­ тельный знак. Поскольку диффузионный поток в направлении диф­ фузии есть величина положительная, правые части в уравнениях (XIV,3), (XIV,4) взяты со знаком минус.

Для выражения турбулентного диффузионного потока /т исполь­ зуют гипотезу о том, что величина турбулентного потока некоторой субстанции пропорциональна градиенту ее концентрации, подобно тому как это принято в отношении молекулярного диффузионного потока. Тогда

Как видим, в уравнениях (XIV,7) принято,что DTX=£DTy^ D TZ. Объяснение этому будет дано ниже. Знаки минус в уравнениях (XIV,6) и (XIV,7) имеют тот же смысл, что и в (XIV,3) и (XIV,4).

Обмен объемами газо-воздушной смеси при турбулентной диффу­ зии осуществляется под действием пульсационных скоростей. Рас­ сматривая перенос вещества под действием пульсационных скоростей как особый вид конвективной диффузии, можно написать следующие выражения для мгновенных турбулентных диффузионных потоков:

irx = cun; U у —«V.

7т 2==

где с и ип% уп1 и>п— мгновенные значения концентрации и компо­ нент пульсационных скоростей в точке.

Осредняя эти потоки за достаточно большой промежуток времени, получим средние величины турбулентных потоков (черта означает знак осреднения по времени):

Коэффициент турбулентного обмена для импульса и коэффициент турбулентной диффузии. В § 38 было введено понятие коэффициента турбулентного обмена для импульса е, компоненты которого опре­ деляются выражениями (VI,30) и (VI,27),

р — плотность потока.

Коэффициент е имеет большое значение для уяснения физической сущности коэффициента турбулентной диффузии DT и его определе­ ния в случае диффузии активных примесей. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Здесь и далее ось Ох направлена по потоку, Оу — перпендику­ лярно боковым стенкам, Oz — перпендикулярно кровле и почве выработки.

Касательное напряжение в плоскости является результатом

Первый индекс при т указывает, что плоскость, в которой дейст­ вует касательное напряжение, перпендикулярна оси Oi, второй — что данная компонента напряжения направлена вдоль оси О/; Oi,

пульса в единицу времени через площадку в трехмерном потоке, перпендикулярную оси Oi и движущуюся вдоль нее со средней

осредненной скоростью; последний следует вычесть, поскольку пло­

щадка движется вдоль оси со скоростью ut\ разность этих двух слагаемых определяет только турбулептный перенос импульса.

Подставляя уравнение (XIV,14) в (XIV,13), произведя вычисле­

где lj — путь перемешивания в направлении оси Oj.

Заменив в уравнении (XIV,15) одну величину иш ее значением

Здесь правая часть обозначает сумму трех членов, получающихся при i = const и j = х, у, z.

Сопоставляя уравнения (XIV,17) с (XIV,10) и (XIV,9), видим,

Символ e/у обозначает сумму девяти компонент коэффициента обмена, получающихся при i = х, у, z и / = х, у, z, т. е. коэффициент турбулентного обмена для импульса является тензором второго ранга.

В случае плоско-параллельного потока, движущегося в направле­ нии оси Ох, из выражения (XIV, 17) для потока импульса Рг через плоскость xOz [этот поток импульса определяет т2х и, следовательно,

Из выражений (XIV,17) и (XIV,12) следует, что турбулентный поток импульса можно выразить через его производную и коэффи­ циент турбулентного обмена:

P ‘ = 8'/ 4 f * (XIV,20)

Сопоставляя выражение (XIV,20) с выражениями для турбу­ лентного диффузионного потока примеси (XIV,7), видим, что они тождественны: поток субстанции определяется через производную некоторой величины, характеризующую ее количество (с или J) и некоторый коэффициент (DT или е^). Это сходство не случайно: оно определяется тождественностью турбулентного механизма пере­ носа любой субстанции — обменом объемами среды под действием пульсационных скоростей. Поэтому коэффициент турбулентной диффузии может быть выражен аналогично е/у, а именно как осредненное во времени произведение некоторой диффузионной скорости s и некоторого пути перемешивания для концентрации 1С:

DT= —slC9 (XIV,21)

где s — мгновенная скорость пульсационного движения элементар­ ного объема газо-воздушной смеси в турбулентном потоке; 1С— расстояние, на которое перемещается этот объем до потери

им своей индивидуальности.

Вобщем эти величины отличны от пульсационных скоростей ил

ипути перемешивания /, определяющих перенос импульса в тур­

булентном потоке. Однако в большинстве случаев принимают s = = ип, /с = /, т. е.

DT = B. (XIV,22)

Такое приближение возможно в случае, когда диффундирующий газ не оказывает заметного влияния на турбулентность потока. Для этого газ должен иметь одинаковую плотность с воздухом. Такие гаэы называются д и н а м и ч е с к и п а с с и в н ы м и .

Однако если плотность газа существенно отличается от плот­ ности воздуха (метан, водород, сернистый газ, углекислый газ и др.), его диффузия в воздухе сопровождается появлением объемных сил, которые изменяют ип и I турбулентного потока, превращая их соот­

духа уменьшается различие между s и ип, 1С и I.

Поскольку коэффициент турбулентной диффузии, как следует из изложенного, определяется пульсационной скоростью ип и путем перемешивания /, он зависит от тех же основных факторов, от кото­ рых зависят ип и I: степени шероховатости стен выработки, скорости движения воздуха, размера выработки.

Поскольку в уравнение диффузии входит скорость потока, ре­ шать его необходимо с уравнением движения (см. главу VI). Кроме того, для решения необходимо знать зависимость коэффициентов диффузии от скорости и координат, а также начальные и граничные условия (т. е. концентрацию газа при t = 0 и на стенках выработки).

Уравнение неразрывности при диффузии. В § 35 было показано, что при постоянной плотности р уравнение неразрывности (VI,4)

При диффузии в общем случае плотность среды переменна. Тем не менее уравнение (XIV,28) справедливо и в этом случае. Действи­ тельно, так как

Ар — разность плотностей воздуха и диффундирующего газа, то, подставив выражение (XIV,29) в (XIV,27) и произведя дифферен­ цирование с учетом уравнений (XIV,24), получим

T . e., несмотря на изменение плотности потока воздуха вследствие изменения в нем концентрации диффундирующего газа, с м е с ь в о з д у х а и г а з а в е д е т с е б я к а к н е с ж и м а е м а я ж и д к о с т ь .

Особенности диффузии активных газов. Рассмотрим поток воз­ духа в наклонной выработке, плотность которого вследствие про­ исходящих в нем процессов диффузии изменяется по оси Oz (рис. 123), увеличиваясь от кровли к почве. Выделим в потоке некоторый эле­ ментарный объем со, находящийся в данный момент в слое 1 плот­ ностью PiПусть в следующее мгновение он переместится под дейст­ вием пульсационной скорости в слой 2 плотностью р2, причем р2 < <CPv Допустим, что расстояние между слоями 1 и 2 равно длине прандтлевского пути перемешивания /, т. е. объем со в слое 2 сохра­ няет еще свою индивидуальность и, следовательно, его плотность равна рх. Тогда вследствие разности плотностей смеси в объеме со и в окружающих его объемах появится направленная вертикально вниз (по действию силы тяжести) выталкивающая сила, которая