книги / Рудничная аэрология.-1
.pdfСоотношение (VIII,5) выражает в т о р о й з а к о н с е т е й , или закон сохранения энергии в сети, называемый также законом однозначности напоров.
Если в контуре имеется один или несколько источников энергии (вентилятор, естественная тяга и др.), каждый с удельной энергией (депрессией) йи, то суммарная потеря энергии в контуре будет равна ее поступлению от этих т источников
пт
2 |
а, = 2 ан/. |
(vin ,6) |
i- 1 |
j-1 |
|
Как видно, первый и второй законы вентиляционных сетей то ждественны первому и второму закону Кирхгофа для электрических сетей.
§ 53. Аналитические методы расчета вентиляционных сетей
Под расчетом сети понимается определение количеств воздуха, проходящих по ее отдельным ветвям, а также общего сопротивления сети. Последнее представляет собой сопротивление такой выработки, депрессия и расход воздуха в которой равны депрессии и общему расходу воздуха в сети.
Аналитические методы расчета вентиляционных сетей базируются на использовании первого и второго законов сетей. Применяя эти законы ко всем узлам и контурам данной сети, получают систему алгебраических уравнений, решение которой позволяет определить искомые расходы в ветвях. При этом, как легко убедиться, число уравнений получается больше числа неизвестных расходов. Поэтому так называемые з а в и с и м ы е у р а в н е н и я , которые выте кают из других уравнений, при расчете отбрасывают, оставляя в си стеме только н е з а в и с и м ы е у р а в н е н и я .
Число независимых уравнений для узлов равно N — 1, ибо уравнение для последнего узла вытекает из уравнений для всех предыдущих узлов. При расчете воздухораспределения число неизвестных расходов равно числу ветвей. Поэтому число независи мых уравнений в общей системе также должно быть равно числу вет вей L. Согласно соотношению (VIII,1)
L = M + N — i % |
(VIII,7) |
где М — число независимых контурных уравнений; |
|
M = L —N + Î . |
(VIII,8) |
Поскольку в соотношении (VIII,1) М — число ячеек в сети и урав нения (VIII,1) и (VIII,7) тождественны, можно заключить, что число независимых контурных уравнений равно числу ячеек. Иными сло вами, контурные уравнения должны составляться для каждой ячейки.
При составлении уравнений для узлов необходимо знать напра вления движения воздуха в ветвях. В ветвях с вентиляторами они заданы. Для ветвей без вентиляторов направлениями движения воздуха задаются произвольно. Если в результате решения полу чится, что данный расход имеет знак минус, это означает, что истин ное его направление противоположно ранее принятому.
В любой сети число независимых расходов равно
K Q= M ,
а число независимых напоров
Kh = N - 1.
Если независимые расходы и напоры известны, все остальные рас ходы и напоры в сети определяются через них.
Р, |
Р2 |
*г |
PJ |
Р, |
1 |
г |
А |
.7 |
и |
Рис. 63. Схема к расчету последовательного соединения выработок
Рассмотрим вначале решения последовательного, параллельного и однодиагонального соединений, а затем приближенные методы решения сложных вентиляционных сетей.
Последовательное соединение выработок. Любую точку в цепи последовательно соединенных выработок можно рассматривать как узел, в котором сходятся две ветви. Например, можно считать, что в точке А на рис. 63 сходятся ветви 1—2—А и А —3—4. Уравнение первого закона сети для узла А будет
или |
Q l - 2 - A — Q A - 3-4 == О |
(VIII,9) |
|
|
Q l - 4 - A = Ç A -3-4» |
т. е. расход воздуха, подходящего к точке А, равен расходу воздуха, уходящего от точки А. Поскольку положение точки А в цепи выра боток произвольно, из уравнения (VIII,9) следует, что р а с х о д в о з д у х а в п о с л е д о в а т е л ь н о с о е д и н е н н ы х в ы р а б о т к а х п о с т о я н е н :
<? = const. (VIII, 10)
Общая депрессия. Применив к потере давления в последовательно соединенных выработках те же рассуждения, что и в § 52 при выводе уравнения второго закона сети, можно написать, что общее падение давлепия между точками 1 и 4 равно
Да -4 = APl-2 + Д р2-3 + ДРз-4
или
Лх_4 —=^1»2 “Ь ^2-3 4" ^3-4*
В общем виде для п последовательно соединенных выработок имеем
(VIII,И)
f»1
где i — номер выработки.
Иными словами, о б щ а я д е п р е с с и я п о с л е д о в а т е л ь н о г о с о е д и н е н и я в ы р а б о т о к р а в н а с у м м е д е п р е с с и й в с е х в х о д я щ и х в н е г о в ы р а б о т о к .
Общее сопротивление. Выразим в уравнении (VIII,И) общую депрессию соединения hn0CJl через его общее сопротивление 7?посл:
^посл “ Дпосл<?2
и депрессии выработок через их сопротивления i?£-:
После сокращения на Q в силу его постоянства получим
Д„осл = 2 Д / , |
(VIII,12) |
1-1 |
|
т. е. о б щ е е с о п р о т и в л е н и е п о с л е д о в а т е л ь н о г о с о е д и н е н и я в ы р а б о т о к р а в н о с у м м е с о п р о т и в л е н и й в с е х в х о д я щ и х в н е г о в ы р а б о т о к .
Используя |
формулу |
(VII,34) |
для эквивалентного отверстияу |
||
из уравнения |
(VIII,12) |
получим |
|
|
|
|
|
1 |
_ |
п |
|
|
|
у 1 |
(VIII,13) |
||
|
|
^ПОСЛ |
|
(-1 -4J |
|
|
|
|
|
||
Параллельное соединение |
выработок. Распределение воздуха• |
||||
Рассмотрим простое трехструйное параллельное соединение ^45
(рис. 64), в котором заданы сопротивления ветвей |
i?2, R 3 и общее |
||
количество |
воздуха Q0. Число |
ветвей в соединении L =? 3, число |
|
узлов N = |
2, число ячеек М = |
2. Согласно формуле (VIII,7) число |
|
независимых уравнений для нахождения расходов в ветвях Ql4 Ç2 и Q3 должно быть равно числу ветвей, т. е. трем. При этом, как отме чалось ранее, число узловых уравнений должно быть N — 1 = 2—1 = = 1, число контурных уравнений М = 2. Запишем их.
Уравнение узла Л (или В) согласно соотношению (VIII,2) будет
Qo— Qi (?2 (?з—0.
Контурные уравнения согласно формуле (VIII,5) будут: для кон тура А —1—В —2—А RiQΗRoQî = 0; для контура А —2—В —3—А
д * Q i-R s Q l = 0.
Таким образом, получаем общую систему уравнений:
Qo =(?1+(?2 + (?3> |
j |
RxQl = R 2Ql |
(VIII,14) |
Определив значения Q2 и Q3 соответственно из второго и третьего уравнений, подставляем их в первое уравнение и решаем его отно сительно Qx:
<?! =
Лз
Аналогично для Q2
Рис. 64. Схема к ра счету простого парал лельного соединения
Очевидно, что для т -й ветви параллельного соединения, содержащего всего п ветвей, будем иметь
(VIII,15)
(VIII,16)
В этих формулах т фиксировано и соответствует номеру ветви, в которой определяется расход, a i принимает значения от 1 до п.
Общая депрессия. Общей депрессией параллельного соединения йпар называется разность давлений между началом и концом соеди нения. Для соединения, представленного на рис. 64,
^пар — РА Рв - |
|
В то же время для ветви 1 РА—рв — это ее депрессия |
для |
ветви 2 — депрессия h2для ветви 3 — ее депрессия Л3. Следовательно,
^naj. ~ h i*a h 2 — h3
или для п ветвей |
|
^пар — — ^2 — • • • — km— • • • — ^м |
(VIII,17) |
т. е. в п а р а л л е л ь н о м с о е д и н е н и и |
о б щ а я д е |
п р е с с и я р а в н а |
д е п р е с с и и л ю б о й е г о в е т в и |
л , следовательно, д е |
п р е с с и р в е т в е й р а в н ы м е ж д у |
с о б о й . |
Это — непосредственное следствие |
однозначности давле |
ния в точке. |
|
|
Равенство депрессий ветвей параллельного соединения следует |
||
также из |
двух последних уравнений системы (VIII, 14). |
|
Общее сопротивление. Согласно определению общего сопроти |
||
вления |
|
|
|
Йпар = Дпар<?*#, |
(VIII ,18) |
где Лпар — общее сопротивление параллельного соединения; |
||
QQ —■ количество воздуха, поступающего |
в параллельное сое |
|
|
динение. |
|
Выражая в уравнении (VIII,18) йпар через депрессию одной из вет вей, например ftm, и решая полученное выражение относительно /?пар, получим
Z? _ ^гпЯт
откуда с учетом соотношения (VIII,16) будем иметь
(VIII,19)
L 1-х
Так как при определении i?nap общую депрессию йпар можно при равнять любой депрессии из п ветвей, то для /?пар можно написать п тождественных выражений, различающихся значением сопротивле ния избранной ветви [т. е. в формуле (VIII,19) т может принимать значения от 1 до п]. Например, для параллельного соединения из двух ветвей
|
R пар |
(VIII,20) |
где |
и Н2 — сопротивления |
ветвей. |
Поскольку в формуле (VIII,19) знаменатель всегда больше еди ницы,
•^пар ^ Rmi |
|
т. е. о б щ е е с о п р о т и в л е н и е |
п а р а л л е л ь н о г о |
с о е д и н е н и я в с е г д а м е н ь ш е с о п р о т и в л е н и я л ю
б о й |
е г о в е т в и . Так, если сопротивления всех |
ветвей |
одина |
|
ковы |
и равны |
R, для параллельного соединения из |
двух |
ветвей |
Лпар = |
R |
R |
R |
и т- Д- |
ИЗ |
трех ветвей Лпар = - < р из четырех — i?nap = -jg |
|||
Следовательно, чем больше параллельных ветвей имеет вентиляционная сеть шахты, тем меньше ее сопротивление.
Выражая сопротивление в формуле (VIII,19) через эквивалентные отверстия, согласно выражению (VII,34) получим
= |
(VIII, 21) |
|
i=1 |
т. е. о б щ е е э к в и в а л е н т н о е о т в е р с т и е п а р а л л е л ь н о г о с о е д и н е н и я р а в н о с у м м е э к в и в а л е н т н ы х о т в е р с т и й е г о в е т в е й .
Открытое параллельное соединение. Открытым называется такое параллельное соединение, в котором две или несколько параллель ных ветвей выходят в атмосферу (рис. 65). Очевидно, давление воз духа в точках выхода ветвей в атмосферу одинаково и равно атмо сферному давлению (если в этих точках не располагаются вентиляторы
Рис. 65. Открытое параллельное соединение:
а — вентиляционный план; б — вентиляционная схема; в — замкнутая схема открытого соединения; i —4 — точки начала и конца выработок
или другие источники энергии). Поэтому в аэродинамических схе мах все эти точки можно объединить в одну (см. рис. 65, в); в резуль тате открытое соединение превращается в закрытое (замкнутое) и расчет вентиляционной сети производится изложенными выше способами.
Сложные параллельные соединения при вентиляционных расчетах сводят к более простым. Так, при параллельном соединении, изо браженном на рис. 66, а, вначале определяют общее сопротивление простых параллельных соединений 2—3 и 4—5, затем заменяют их условными выработками (штриховые линии) с сопротивлениями,
равными общим сопротивления |
этих параллельных соединений |
|
{рис. 66, б), сводя тем самым |
сложное соединение |
к про |
стому 1—2—3—4—5—1 (рис. 66, в). |
|
|
Диагональное соединение выработок. Аналитическим |
методом |
|
относительно просто рассчитывается лишь однодиагональное соеди нение (рис. 67).
Распределение воздуха. Пусть применительно к схеме рис. 67 за даны общее количество поступающего в соединение воздуха Qa
и сопротивления ветвей R x, R 2, R 3l Т?4, ЛБ* Требуется найти расходы воздуха в ветвях Qx, Q2, Ç3, <?4, Ç6.
В рассматриваемом соединении число ветвей L = |
5, число узлов |
|||||||
Лг = 4, |
число ячеек |
М = 2. Следовательно, |
для |
его |
расчета |
необ |
||
ходимо |
составить |
— 1 = 3 |
узловых и 1 |
= 2 |
контурных |
урав |
||
нения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая направление обхода по часовой стрелке, получим для |
||||||||
узлов 1 ,2 ,3 и контуров 1—2—3—1 и 2—4—3—2 *: |
|
|
||||||
|
|
(?о |
— <?з ~ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
(?i — (?2 + Q$ — 0 ; |
|
|
|
(VIII,22) |
||
|
|
Л —^4 |
(?& — 0; |
|
|
|
||
|
|
#i(?î — -RfiÇô — Л з « " |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
R<LQ\ — RiQl + RbQl = |
0 . |
|
|
|
|
|
Рис. 66. Схема к |
расчету |
сложного |
параллельного Рис. 67. Схема к расчету |
|
|
|
соединения |
простого диагонального |
|
|
|
|
|
соединения |
Пяти независимых уравнений системы (VIII,22) достаточно для |
||||
определения |
пяти неизвестных |
расходов. |
||
Из рис. |
67 |
видно, |
что число независимых расходов в сети |
|
равно трем для рассматриваемой схемы; остальные "два могут быть
выражены через них. |
Поэтому число уравнений для |
опреде |
||
ления расходов уменьшается до |
трех. Для их получения примем |
|||
в |
качестве независимых |
расходов |
Q1, (?4 и Qb (Q2 = Q1 + |
(?sî Q3 = |
= |
QA + Qb)\ выразим из второго и третьего уравнений |
системы |
||
(VIII,22) (?2 и Q3 через независимые расходы Qx, Ç4, Qb и подставим
* В ветвях с неизвестными расходами их направление принимается про извольно. Полученный при решении отрицательный расход говорит о том, что его истинное направление противоположно первоначально принятому.
полученные выражения в первое, четвертое и пятое уравнения. После подстановки будем иметь:
Qo = Q i + Q * + Q 5;
а д - |
а д - |
* з (<?4+ |
<?б)2 |
= |
0; |
(VIII,23) |
д 2 «?1 + |
Ça)2 - |
^ Q î + |
R bQ\ |
= |
0 . |
|
В последних двух уравнениях можно перейти к двум неизвест ным, разделив их почленно на QI. Обозначив
(VIII,24)
получим
(VIII,25)
или, решая первое уравнение относительно я, второе — относи тельно у,
(VIII,26)
(корни берутся со знаком плюс, так как х и у существенно поло жительны).
Система (VIII,25) имеет точное решение в радикалах. Однако оно настолько сложно, что практического значения не имеет. Поэтому обычно находят приближенные решения графическим путем или ме тодом последовательных приближений.
Графическое решение системы (VIII,25) сводится к отысканию координат точки пересечения гипербол 1 и 2 (рис. 68), являющихся графиками первого и второго уравнений.
При методе последовательных приближений, полагая у = 0 в первом уравнении системы (VIII,26), определяют первое приближе ние х х\ подставив его во второе уравнение системы, находят первое приближение уг; затем с учетом этого значения ух по первому урав нению определяют второе приближение х 21 по которому, в свою очередь, устанавливают второе приближение у2, и т. д. — до полу чения необходимой сходимости между двумя последовательными значениями х и у. На рис. 68 стрелками указан ход вычислений. Как видно, при достаточно большом числе вычислений можно полу чить значения х и у, сколь угодно близкие к истинным значениям корней системы (VIII,25).
После нахождения корней уравнений (VIII,25) х и у из соотно шений (VIII,24) и первого уравнения системы (VIII,23) легко опре делить независимые расходы:
О = |
. |
Qt=yQti
Q i = x Q 6.
Общая депрессия. В случае простого диагонального соединения его общая депрессия равна разности давлений в точках 1 и 4 (см. рис. 67)
^дттаг ~ Pi А »
Давление в любой точке сети определяется давлением в некото рой начальной точке и падением его на пути движения воздуха от начальной до рассматриваемой точки. Таких путей в сети может
быть несколько (например, давле |
|
|
|
|
||||||
ние в точках определяется величи |
|
|
|
|
||||||
ной давления в точке 1 и падением |
|
|
|
|
||||||
его на пути от точки 1 до |
точки 4 |
|
|
|
|
|||||
по направлениям 1—2—4, 1—3—4, |
|
|
|
|
||||||
1—3—2—4 |
и даже по |
направле |
|
|
|
|
||||
нию 1—2—3—4, |
если |
учесть, что |
|
|
|
|
||||
на участке 2—3 давление увеличи |
|
|
|
|
||||||
вается вследствие противополож |
|
|
|
|
||||||
ности |
направления движения воз |
|
|
|
|
|||||
духа |
и направления обхода, т. е. |
|
|
|
|
|||||
депрессия участка 2—3 |
должна |
|
|
|
|
|||||
войти в общую сумму |
депрессий |
|
|
|
|
|||||
с отрицательным знаком). |
|
|
|
|
|
|||||
В то же время давление в точке |
|
|
|
|
||||||
может иметь лишь одно значение. |
Рис. 68. Графическое |
решение |
си |
|||||||
Следовательно, каким |
бы путем |
|||||||||
стемы |
уравнений |
(VI11,25) : |
|
|||||||
рассматриваемый |
объем |
воздуха |
|
|||||||
xt9 аса, |
г/t, V — приближенные |
зна |
||||||||
не попал в конечную точку, дав |
||||||||||
чения корней уравнений ас и у |
|
|||||||||
ление |
его в |
этой точке будет одно |
|
|
|
|
||||
и то |
же. Иными |
словами, п о т е |
р я д а в л е н и я |
( и л и д е - |
||||||
п р е с с и я ) |
в о з д у х а |
п р и |
е г о д в и ж е н,и и |
в с е т и |
||||||
в ы р а б о т о к |
з а в и с и т не |
от п у т и д в и ж е н и я , |
||||||||
а т о л ь к о о т м е с т о п о л о ж е н и я в с е т и т о ч е к н а ч а л а и к о н ц а п у т и . Е с л и м е с т о п о л о ж е н и е т о ч е к ф и к с и р о в а н о , д е п р е с с и я по л ю б о м у п у т и м е ж д у н и м и д о л ж н а б ы т ь о д н а и т а же.
Из сказанного следует, что для рассматриваемой схемы общая депрессия может быть выражена следующим образом:
^ илг “■^1-2-4 — ^1-3-4 — = А1 -3 - 2 —4*
1Г19
или
* д ц а г — * 1 - 2 “ Ь * 2 - 4 — * 1 - 3 “ Ь * 3 - 4 — * 1 - 2 — * 2 - 3 "Ь * 3 - 4 — * 1 - 3 “Ь *3 *-2 “ Ь * 2 - 4 *
Следует иметь в виду, что при суммировании депрессий вырабо ток по тому или иному направлению их депрессия берется со знаком плюс, если направление движения воздуха в выработке совпадает с направлением обхода, и со знаком минус, если эти направления противоположны.
Общее сопротивление. Общее сопротивление простого диагональ ного соединения может быть определено по известной депрессии сое динения Адиаг и общему расходу воздуха через соединение Q0
|
|
jy |
*Диаг |
|
|
|
|
|
|
•“ |
диаг — |
ç a |
» |
|
|
где п — показатель, |
характеризующий |
режим |
движения |
воздуха |
|||
в системе |
в |
целом. |
|
|
|
|
|
Если во всех ветвях сети режим движения турбулентный, п = 2; |
|||||||
при ламинарном |
режиме |
движения во_ всех |
ветвях п = |
1 ; если |
|||
в части ветвей режим движения турбулентный, в части — ламинар
ный (например, в путях утечек), то 2 > п > |
1. |
|
При использовании двучленного |
закона |
сопротивления (VI,42) |
h = R[Q0 + |
RlQ'0 |
|
под общим сопротивлением сети следует понимать сопротивление та кой выработки, линейное и квадратичное сопротивления которой i?' и RI равны линейному и квадратичному сопротивлениям сети.
Устойчивость диагонального соединения. Характерным свойством диагонального соединения является возможность изменения напра вления движения воздуха в диагонали. Применительно к схеме рис. 67 движение воздуха в диагонали будет происходить от точки 3 к точке 2, если
Рз > Pi- |
(VIII, 27) |
Имея в виду, что р3 = Pi — *i_ 3î р 2 = р х—/г1-2, соотношение (VIII,27) можно записать в виде
* 1-з < * i -2 |
(VIII,28) |
или |
|
*3-4 >*2-4- |
(VIII,29) |
Разделим (VIII,28) на (VIII,29) и выразим депрессии через сопро
тивления и расходы, имея в виду, что Q2 = Qx + Qb, Q3 = QA + Ç 6- Получим
*i_ |
(VIII,30) |
|
Ri * |
||
|