книги / Теория графов и её приложения.-1
.pdfПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 14. АНАЛИЗ ГРАФА SMALL WORLD
Теоретический материал. Граф «Мир тéсен» (маленький мир – Small World – такое название есть и в закладках GRaph INterface (GRIN) – разновидность графа, который имеет следующее свойство: если взять две произвольные вершины, то они с большой вероятностью не являются смежными, однако одна достижима из другой посредством небольшого количества переходов через другие вершины.
Граф «Мир тесен» определяется как сеть, в которой типичное расстояние между двумя произвольно выбранными вершинами (количество шагов, необходимых, чтобы достичь одну из другой) растёт пропорционально логарифму от числа вершин сети.
Много реально существующих графов хорошо моделируются графом «Мир тесен». Социальные сети, нейронные сети, связность Интернета, вики-сайты, такие как Википедия, карты дорог (но не в России!), пищевые цепочки и др. проявляют свойства графа «Мир тесен».
В социальной сети проявляется такой эффект: незнакомых людей связывает небольшое количество промежуточных знакомых. Опять знакомых!
Такие графы иногда называют «стохастическими» или «вероятностными», и они могут быть классифицированы в соответствии с двумя показателями: коэффициентом кластеризации и средним расстоянием от одной вершины до другой (также известным как длина кратчайшего пути в среднем).
Коэффициент кластеризации – это мера степени, в которой вершины графа, имеют тенденцию объединяться.
На рис. 14.1 представлен пример графа «Мир тесен».
В примере графа «Мир тесен» выделены вершины – хабы с высокими степенями. Средняя степень вершины = 1,917. Средняя длина кратчайшего пути = 1,803. Коэффициент кластериза-
ции = 0,522
141
Рис. 14.1.
Пример графа «Мир тесен»
Высокий коэффициент кластеризации показывает тенденцию графа содержать в себе полные подграфы – клики или «почти» клики.
Графы «Мир тесен» были использованы для оценки показателя возможности использования информации, хранящейся в больших базахданных(Small World Data Transformation Measure).
Чем больше связи базы данных похожи на граф «Мир тесен», тем более вероятно, что пользователь будет в состоянии извлечь информацию в будущем.
В программе GRaph INterface (GRIN) характеристики графа Small World используется для социологических целей.
Граф «Мир тесен» обладает своего рода надёжностью – связность сохраняется при повреждениях или, точнее, дефектах (отказах).
Возможно также построение иерархии доминирования, например, в трудовом коллективе, где больший коэффициент иерархии имеет тот, кто управляет всеми, а им никто, соответственно меньший – тот, кем управляет всякий, а он никем, кроме своего компьютера.
Пример. Пусть задана офисная сеть (рис. 14.2).
142
Рис. 14.2. Некоторая офисная сеть
Определим её Small World-свойства. В программе GRIN задаём сеть, выбираем: Свойства, Анализ социальных сетей, Small World свойства, получаем отчёт (рис. 14.3).
Определим метрики этого графа (рис. 14.4–14.5).
Рис. 14.3. Отчёт по Small World свойствам сети (см. рис. 14.2)
143
а
б
Рис. 14.4. Результат определения Small World-свойства сети, представленной на рис. 15.2: а – панель цветов параметров, б – граф с раскрашенными вершинами
Рис. 14.5. Определение простых метрик графа, представленного на рис. 15.2
144
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Эйлер [Электронный ресурс]. – URL: http: //dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/8981 (дата обращения: 23.02.16).
2.Теорема Эйлера для многогранников [Электронный ресурс]. – URL: http: //dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1405606 (дата обращения: 24.02.16).
3.Аляев Ю.А., Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 357 с.
4.Тюрин С.Ф., Аляев Ю.А. Дискретная математика: практическая дискретная математика и математическая логика. – М.: Финансы и статистика, 2010. – 394 с.
5.Тюрин С.Ф., Ланцов В.М. Дискретная математика & математическая логика. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 271 с.
6.Тюрин С.Ф. Надёжность систем автоматизации: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. – 262 с.
7.Тюрин С.Ф., Аляев Ю.А. Дискретная математика: Тестдрайв по дискретной математике и математической логике: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. – 134 с.
8.Тюрин С.Ф. Вычислительная техника и информационные технологии. Цифровая схемотехника: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – 137 с.
9.Тюрин С.Ф. Вычислительная техника и информационные технологии. Руководство к лабораторным работам в системе
Proteus 7.2. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – 135 с.
10.Тюрин С.Ф., Гончаровский О.В., Громов О.А. Вычислительная техника и информационные технологии. Аппаратные средства вычислительной техники: конспект лекций. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 324 с.
145
11.Тюрин С.Ф., Греков А.В., Громов О.А. Реализация цифровых автоматов в системе Quartus фирмы Altera: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 134 с.
12.Quartus II Help v11.1 > enum_encoding VHDL Synthesis Attribute [Электронный ресурс]. – URL: http: //quartushelp.altera. com/11.1/mergedProjects/hdl/vhdl/vhdl_file_dir_enum_encoding.htm (дата обращения: 12.01.15).
13.Steve Naumov. Lecture #10. QuartusII Design Flow & Design Optimization ECE 37100 Lab, March 26, 2013 [Электронный ресурс]. – URL: https: //www.linkedin.com/company/purdue-univer- sity-calumet?trk=ppro_cprof (дата обращения: 12.01.15).
14.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программис-
та. – СПб.: Питер, 2001. – 502 с.
15.Тюрин C.Ф. Исследование операций и теория игр: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политех.
ун-та, 2014. – 178 с.
16.Тюрин C.Ф. Теория графов и её приложения: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политех. ун-та, 2015. – 159 с.
17.Понарин Я.П. Элементарная геометрия: в 2 т. – М.:
МЦНМО, 2004. – С. 74–76.
18.Расчет параметров сетевого графика [Электронный ресурс]. – URL: http: //100task.ru/sample/13.aspx (дата обращения: 13.06.14).
19.Microsoft Project [Электронный ресурс]. – URL: http: // ru.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Project (дата обращения: 01.05.14).
146
Приложение 1
Варианты неориентированных графов без петель
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
147
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
148
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 12
149
Вариант 13
Вариант 14
Вариант 15
Вариант 16
150