книги / Теория графов и её приложения.-1
.pdf
Минимизациялогическоговыраженияпредставленанарис. 3.11.
Рис. 3.11. Минимизация логического выражения в Logic Converter
Например, A′B′ – это C, D.
B′C′ – это A D, A′C′D′ – это всего одна дуга, т.е. максимальное значение равно двум, β1 = 2:
β0 = 3, β1 = 2, α1 = 3, α0 = 2.
Проверим:
α0 + β0 = 2 + 3, α1 + β1 = 3 + 2.
Нахождение множества внешней устойчивости орграфа
Запишем логическое выражение по методу Магу для графа (рис. 3.12).
Рис. 3.12. Ориентированный граф
41
(A B) (B C D) C D (E C)
Введём это выражение в Logic Converter (рис. 3.13).
Рис. 3.13. Ввод логического выражения внешней устойчивости в Logic Converter
Минимизируем (рис. 3.14).
Рис. 3.14. Минимизация логического выражения внешней устойчивости в Logic Converter
Получили:
(A B) C D = A C D B C D.
42
Следовательно, смотри рис. 3.15 или рис. 3.16.
Рис. 3.15. Подмножество несмежных вершин ACD
Рис. 3.16. Подмножество несмежных вершин BCD
Выполнить задание 2СРС: найти вершинное и рёберное («дуговое») покрытие заданного ориентированного графа. Найти множество внутренней и внешней устойчивости, используя
Logic Convertor.
Задача о видеонаблюдении
Имеется граф банковского хранилища с сейфами 1,2…9, соединённых коридорами (рис. 3.17). Каково минимальное количество видеокамер, которые надо установить так, чтобы они могли наблюдать за всеми сейфами?
43
Рис. 3.17. Задача о видеонаблюдении
Матрица«наблюдений» – смежностипредставленавтабл. 3.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
3 . 1 |
|
|
Матрица смежности графа (см. рис. 3.16) |
|
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
6 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
9 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
Задача сводится к нахождению минимального внешне устойчивого множества графа, которое равно {2, 5}, что легко определяется по матрице с учётом того, что видеокамера «видит» и свой сейф.
44
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4. АНАЛИЗ ТЕОРЕМ ХОЛЛА И РАМСЕЯ
1.Опрос по теоретическому материалу.
2.Коллективное решение задач по теме занятия у доски «вручную».
3.«Летучка».
Задание 1. Найти трансверсальное покрытие для заданного двудольного графа.
1.1. Рассмотрим матрицу инцидентности проективной плоскости Фано (табл. 4.1).
Пусть номера прямых – это одна доля, точки – вторая доля.
Тогда Е = {{1,2,4}, {1,3,7}, {2,6,7}, {1,5,6}, {4,5,7}, {3,4,6}, {2,3,5}}.
Таблица 4 . 1
Матрица инцидентности двудольного графа – проективной плоскости Фано
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Получим трансверсаль:
T = {1, 3, 6, 5, 7, 4, 2}.
Следовательно, трансверсаль совпадает с множеством вершин графа (рис. 4.1).
45
Рис. 4.1. Граф – проективная плоскость Фано
1.2. Определить трансверсаль для латинских квадратов
(рис. 4.2).
Рис. 4.2. Два латинских квадрата
В латинских квадратах (см. рис. 4.2) трансверсаль одна, например:
Т= {1,2,3}: Т[{1,2,3}*{1,2,3}*{1,2,3}] = (1,2,3)
1.4.Определить трансверсаль для латинских прямоугольников (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Два латинских прямоугольника
В латинских прямоугольниках (см. рис. 4.3) много транс-
версалей, например: {1,2,3}, {1,3,4}, {1,3,5}…:
Задание 2. Проверить выполнение теоремы Холла для двудольного графа (рис. 4.4):
{{v1, v2}, {v1, v3}, {v2, v3}, {v1, v2, v3}, {v1, v3, v4, v5}}.
46
Строим двудольный граф (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Некоторый двудольный граф
Здесь объединение четырех множеств содержит только три элемента:
Е1 Е2 Е3 Е4 = {v1, v2, v3}.
Задание 3. Анализ теоремы Рамсея. Получить некоторые возможныевариантыграфаизтрёх, изчетырёхвершин.
Подготовьте отчёт и будьте готовы к ответу на вопросы по занятию:
1.Что такое двудольный граф
2.Что такое трансверсаль?
3.Как определяется трансверсальное покрытие?
4.Как формулируется теорема Холла?
5.Что такое теорема о свадьбах?
6.Выполняется ли теорема Холла для графа «Буква Z»?
7.Как формулируется головоломка о вечеринках?
8.В чём смысл теории Рамсея?
9.Что такое числа Рамсея?
10.Сколько возможных графов можно построить на 6 вершинах?
47
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5.
НАХОЖДЕНИЕ КРАТЧАЙШЕГО ПУТИ В ГРАФЕ
С РЁБРАМИ ЕДИНИЧНОЙ ДЛИНЫ.
ЗАДАЧА О ХАНОЙСКОЙ БАШНЕ
1.Опрос по теоретическому материалу – особенности задачи о Ханойской башне.
2.Коллективное решение задач по теме занятия у доски «вручную».
3.Самостоятельная работа по вариантам – на ПЭВМ в программе GRIN.
4.«Летучка» – «вручную».
Построение графа задачи о Ханойской башне представлено на рис. 5.1–5.6.
Рис. 5.1. Граф задачи о Ханойской башне в трех координатах XYZ
48
Рис. 5.2. Граф задачи о Ханойской башне в двух координатах XY, выделенных цветом
Рис. 5.3. Декартовы координаты задачи о Ханойской башне для двух дисков
49
Рис. 5.4. Построение первых трех треугольников
Рис. 5.5. Разметка графов задачи о Ханойской башне для двух дисков
50