книги / Теория графов и её приложения.-1
.pdf
Рис. 2.18. Некоторый орграф
Рис. 2.19. Задание графа, представленного на рис. 2.18, в программе GRIN
Вводим названия вершин (рис. 2.20).
Рис. 2.20. Введение буквенных обозначений вершин графа, представленного на рис. 2.19
31
И тут выясняется, что вершинное покрытие не активно для орграфа. Будем строить его вручную. Вводим обозначения рёбер (рис. 2.21).
Рис. 2.21. Введение буквенных обозначений рёбер графа на рис. 2.20
Получим таблицу покрытий (рис. 2.22).
Рис. 2.22. Таблица покрытий – определение вершинного покрытия – это число α0
Мы определили вершинное покрытие – это число α0, в данном случае необходимо две вершины – В и Е, т.е. α0 = 2. Определяем дуговое покрытие – граф-то ориентированный.
Рис. 2.23. Таблица покрытий – определение рёберного покрытия – это число α1
32
Наименьшее число рёбер, покрывающих все вершины, – рёберное покрытие α1, в данном случае необходимы три ребра,
т.е. α1 = 3.
Рис. 2.24
Выполнить задание 1СРС: Определить метрики неориентированного графа: построить граф в программе GRIN по заданной матрице смежности, определить простые метрики (радиус, диа-
33
метр, центр, степени вершин), плотность, неплотность, вершинное покрытие, хроматическое число, цикломатическое число, эйлеровы пути, эйлеровы циклы, гамильтоновы пути, гамильтоновы циклы, точки сочленения, минимальное стягивающее дерево.
Подготовьте отчёт и будьте готовы к ответу на вопросы по занятию:
1.Что такое степень вершины?
2.Как формулируется теорема о сумме степеней вершин?
3.Что такое радиус и диаметр графа?
4.Что такое центр графа?
5.Что такое регулярный граф?
6.Что такое плотность графа?
7.Что такое неплотность графа?
8.Что такое вершинное покрытие? Число вершинной связности?
9.Чтотакоерёберноепокрытие? Числорёбернойсвязности?
10.Что такое хроматическое число?
11.Что такое цикломатическое число?
12.Что такое эйлеров путь? Условия существования?
13.Что такое эйлеров цикл? Условия существования?
14.Что такое гамильтонов путь? Условия существования?
15.Что такое гамильтонов цикл? Условия существования?
16.Что такое точка сочленения?
17.Что такое мост?
18.Что такое минимальное стягивающее дерево?
34
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВ ВНУТРЕННЕЙ И ВНЕШНЕЙ
УСТОЙЧИВОСТИ ОРИЕНТИРОВАННОГО ГРАФА
Вопросы занятия
1.Опрос по теоретическому материалу – числа вершинной β0 и рёберной β1 независимости; множества внутренней и внешней устойчивости графа.
2.Коллективное решение задач по теме занятия у доски «вручную».
3.Самостоятельная работа по вариантам – на ПЭВМ в программе GRIN.
4.«Летучка» – «вручную».
Пример определения множеств внутренней устойчивости ориентированного графа
Пусть задан некоторый орграф (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Некоторый орграф
Матрица смежности этого графа имеет следующий вид
(рис. 3.2).
Метод Магу нахождения максимального внутренне устойчивого множества предполагает получение по матрице смежности КНФ, описывающей условия существования такого множества, по каждой вершине, смежной другим вершинам. Для заданного
35
Рис. 3.2. Матрица смежности графа рис. 3.1
графа, если вершина 1 смежна вершине 2, то это условие звучит так: если 1, то не 2: (1→не 2).
Это эквивалентно (не 1 или не 2)
Если 2, то не 3, и если 2, то не 4: (2→не 3) (2→не 4). Это эквивалентно (не 2 или не 3) (не 2 или не 4)
Вершине 3 смежных нет – пропускаем её. Вершине 4 смежных нет – пропускаем её.
Если 5, то не 3: (5→не 3). Это эквивалентно (не 5 или не 3). Запишем формулу:
(1 2)(2 3)(2 4)(5 3).
Получим ДНФ, используя распределительный закон:
(2 134)(5 3) = (25 23 1345 134).
По закону поглощения получаем:
(25 23 134).
Эта запись означает, что получены следующие множества: 1-я конъюнкция – не 2 и не 5 – значит, множество {1,3,4}. 2-я конъюнкция – не 2 и не 3 – множество {1,4,5}.
3-я конъюнкция – не 1 и не 3 и не 4 – множество {2,5}. Мощность максимального множества равна 3.
36
Пример нахождения множества внешней устойчивости орграфа
Метод Магу нахождения минимального внешне устойчивого множества предполагает получение КНФ, описывающей условия существования такого множества, по каждой вершине, смежной другим вершинам. Для заданного графа на рис. 3.1 вершина 1 смежна вершине 2, и это условие звучит так: 1 или 2.
Вершина 2 смежна 3 и 4: (2 или 3 или 4). Вершине 3 смежных нет – записываем 3. Вершине 4 смежных нет – записываем 4. Вершина 5 смежна 3: (5 или 3).
Запишем формулу:
(1 2)(2 3 4) 3 4(5 3).
Упрощаем:
(1 2) 3 4 = 134 234 .
Таким образом, получаем два минимальных внешне устойчивых множества:
{1,3,4}, {2,3,4}.
Мощность максимального множества равна 3.
Исследование орграфа на устойчивость
Запишемлогическоевыражениепометоду Магудлярис. 3.3:
(A → B) (B → C) (B → D) (E → C) .
Преобразуя, получим:
(A B) (B C) (B D) (E C) .
Вводим выражение в Logic Converter (рис. 3.3).
37
Рис. 3.3. Ввод логического выражения в Logic Converter
Получаем таблицу истинности (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Получение таблицы истинности для логического выражения в Logic Converter
Минимизируем (рис. 3.5).
Рис. 3.5. Минимизация логического выражения в Logic Converter
38
Получили: A′C′D′– это значит B, E (рис. 3.6).
Рис. 3.6. Независимые вершины B, E
Далее: B′C′ – это значит A, D, E (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Независимые вершины A, D, E
И, наконец, B′E′ – это значит A, C, D (рис. 3.8).
Рис. 3.8. Независимые вершины A, C, D
Таким образом, число вершинной независимости β0 = 3. Теперь определим число рёберной («дужной» – у нас орграф!) независимости β1.
Для этого обозначим рёбра буквами, опять-таки для ис-
пользования Logic Converter (рис. 3.9).
39
Рис. 3.9. Граф с рис. 3.8 с новыми буквенными обозначениями рёбер
Видно, чтомаксимумнесмеженA иD (C илиD), т.е. β1 = 2. Определимчислонезависимостиβ1 спомощьюLogic Converter. Запишемлогическоевыражениепометоду Магудлярис. 3.9:
(A → B C)(С→ B)(B → C D)(D → B) .
Преобразуя, получим:
(A B C)(С B)(B C D)(D B)
Вводим логическое выражение в Logic Converter (рис. 3.10).
Рис. 3.10. Ввод логического выражения в Logic Converter
40