книги / Теория графов и её приложения.-1

Автоморфизм графа есть отображение множества вершин на себя, сохраняющее смежность. Множество таких автоморфизмов образует вершинную группу графа или просто группу графа. Группа подстановок на множестве ребер называется реберной группой графа, которая тесно связана с вершинной. Реберная и вершинная группы графа изоморфны тогда и только тогда, когда имеется не более одной изолированной вершины и нет компонентов связности, состоящих из единственного ребра.

Граф, для которого единственный возможный автоморфизм это тождественное отображение, называется асимметрическим. Наименьшееасимметрическоедеревоимеетсемьвершин(рис. В8).

Рис. В8. Асимметрическийграфссемьювершинами

11

Наименьший асимметрический граф – шесть вершин и ребер (рис. В9).

Рис. В9. Наименьший асимметрический граф с шестью вершинами

12

Для любой конечной группы найдется такой конечный неориентированный граф, что его группа автоморфизмов изоморфна данной. Это и есть теорема Р. Фрухта, в основе доказательства – преобразование цветного графа группы, обобщения графа Кэли.

Роберт Вертхаймер Фрухт

(9 августа 1906 – 26 июня 1997)

Роберт Вертхаймер Фрухт (позже известный как Роберто Фручт) был немецко-чилийским математиком, изучавшим группы симметрии графов.

13

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1. ЗАДАНИЕ ГРАФОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ СВОЙСТВ

Вопросы занятия

1.Коллективное решение задачи задания графа.

2.Экспресс-контрольная работа – «летучка».

Задача 1. Транспортировка информационных объектов, интерпретируемая в виде графа.

Дано: в первом защищённом хранилище Х имеется множество информационных объектов, состоящее из трёх элементов: первый информационный объект – позывной «волк» (в), второй информационный объект– позывной «коза» (к), третий информационныйобъект – позывной «мешок(капусты)» – (м).

Требуется переместить множество информационных объектов во второе защищённое хранилище Z через объект Y («река)» с помощью специального технического средства службы безопасности – «перевозчик» – (п), в котором только одно место.

Множество {в, к, м}, находящееся в защищённых хранилищах, безопасно, но его подмножества {в, к}, {к, м} являются опасными и запрещены.

Будем задавать множества в виде таблицы. Исходное положение – начальная вершина графа:

Целевое состояние – заключительная вершина графа:

14

Построить соответствующий граф и определить его цикломатическое и хроматическое число.

Задача 2. Получить матрицу смежности и инцидентности для орграфа, например, схемы движения документов, из четырёх вершин по кодам строк матрицы смежности 4.3.1.816.

Переводим в двоичный код последовательность 4.3.1.816.

Получаем: 0100.0011.0001.10002.

Матрица смежности орграфа показана в табл. 1.1.

Обозначимдугиграфа: t1, t2, t3, t4, t5 иизобразимего(рис. 1.1).

Рис. 1.1. Орграф 4.3.1.816

с обозначенными дугами t1, t2, t3, t4, t5

Матрица инцидентности содержит строки по числу вершин графа и столбцы по числу дуг. Если дуга исходит из вершины графа, то в соответствующей клетке матрицы ставится –1, а если

15

входит в вершину, то ставится 1. В каждой строке сумма единиц с минусом – это полустепень исхода (расхода), а сумма единиц без минуса – полустепень захода (прихода). Изобразим матрицу инцидентности (табл. 1.2).

Таблица 1 . 2

Матрица инцидентности орграфа 4.3.1.816

Задача 3. Для орграфа 4.3.1.816 получить матрицу всех возможных путей, например передачи документов, длиной 2.

В этом случае матрица смежности графа умножается сама на себя. Умножение проводится по правилам теоретико-множест- венных операций с номерами множеств.

Квадрат матрицы смежности представляет собой матрицу всех путей длиной 2, куб – длиной 3 и т.д. Найдем все пути длиной 2. Квадрат матрицы смежности М2 имеет вид:

Процесс получения квадрата матрицы смежности М2 проиллюстрируем на примере вычисления первой строки матрицы.

Первый элемент первой строки определяется как объединение поразрядных пересечений первой строки и первого столбца матрицы М: 0100 ∩ 0001 = (0∩0) (1∩0) (0∩0) (0∩1) = 0.

16

Второй элемент первой строки – как объединение поразрядных пересечений первой строки и второго столбца матрицы М: 0100 ∩ 1000 = (0∩1) (1∩0) (0∩0) (0∩0) = 0.

Третий элемент первой строки – как объединение поразрядных пересечений первой строки и третьего столбца матрицы М: 0100 ∩ 0100 = (0∩0) (1∩1) (0∩0) (0∩0) = 1.

Четвертый элемент первой строки – как объединение поразрядных пересечений первой строки и четвертого столбца мат-

рицы М: 0100 ∩ 0110 = (0∩0) (1∩1) (0∩1) (0∩0) = 1.

Таким образом, получили первую строку матрицы: M2 – 0011. Видим, что эта строка содержит единицы в третьей и четвёртой позициях. Действительно, смотрим на рис. 1.1, видим, что есть пути длиной 2 из вершины 1 в вершины 3 и 4 (в них можно попасть за два шага через вершину 2).

Задача 4. Анализ графа проективной плоскости Фано.

О такой плоскости шла речь в курсе дискретной математики, и это уже практически дискретная геометрия, которая используется в теории групп, которая, в свою очередь, обеспечивает как помехоустойчивое кодирование, так и криптографию. Рассмотрим матрицу инцидентности соответствующего графа (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Матрица инцидентности для плоскости Фано

Обратите внимание, что каждая строка получена особой перестановкой – циклическим сдвигом исходной строки влево!

17

Это не простой граф, где бинарные отношения, здесь тернарные отношения, т.е. задано множество троек: Т = {(1,2,4), (1,3,7), (2,6,7), (1,5,6), (4,5,7), (3,4,6), (2,3,5)} (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Граф проективной плоскости Фано

Каково цикломатическое число графа (см. рис. 1.3)?

Вершины S: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Рёбра A:

(1,5), (1,7), (1,2), (2,5), (5,7), (2,7) (5,6), (6,7), (6,3), (7,3), (3,5) (3,2), (3,4), (4,7), (4,2).

Итак, рёбер A = 15, вершин S = 7.

λ (G) = A – S + 1 = 15 – 7 + 1 = 9.

По существу, тройки Т – это линии (прямые), одна из которых (2, 3, 5) – круг, т.е. это прямые как бы на шаре. А если это так, то сколько граней?

Уберём пока круг 2, 3, 5, пирамида почти получается, вершина как бы – 7 (рис. 1.4).

Число вершин S = 7, число граней H = 7 (одна – основание), число рёбер A = 12. По теореме Эйлера S + H = A + 2, т.е. 7 + 7 = 12 + 2.

18