книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках
..pdf
146 Гл. 6. Нестационарные задачи о дифракции волн на оболочках
6.2. Плоские задачи о дифракции цилиндрических акустических волн на криволинейных цилиндрических оболочках
Предположим теперь, что цилиндрическая волна, возбуж даемая расположенным в точке К(со,Ьо) бесконечно длинным линейным источником постоянной интенсивности, в момент вре мени т = 0, касается поверхности криволинейного цилиндра с образующей Г. Положение фронта волны в момент касания определяется величиной d — радиусом цилиндрической волны.
В местной цилиндрической системе координат, ось Oz ко торой совпадает с осью источника волны, распространение ци линдрической волны описывается следующей начально-краевой
задачей: |
|
|
|
|
ф = r~ xdr (гдгр ) ; |
|
(6.2.1) |
||
Ит=о = Ф \т = о |
= 0; |
|
(6-2.2) |
|
р = 0(1) (г-)- оо); |
г2 = |
у 1 + |
у2 . |
(6.2.3) |
Здесь уа — координаты |
прямоугольной |
декартовой |
системы |
|
с началом в точке К . |
|
|
|
|
Применяя к задаче (6.2.1)—(6.2.3) преобразование Лапласа во временной области, получим соответствующую краевую задачу
в изображениях: |
— s2ipL = 0; |
(6.2.4) |
r ^ ldr rdripL |
||
p L = 0(1) |
( г —>оо). |
(6.2.5) |
Здесь и далее s — параметр преобразования Лапласа. Общее решение уравнения (6.2.4) имеет вид
p L(r, s) = Л(й),Жо(г5) + B(s)Io(rs), |
(6.2.6) |
.Жо(rs) — цилиндрическая функция Макдональда нулевого ин декса. С учетом краевого условия (6.2.5) получим
<pL(r, s) = A(s).'/(o(rs). |
(6.2.7) |
Далее будем рассматривать случай цилиндрической волны со скачком давления на фронте г-1/2 при затухании решения в каждой точке пространства. Полагая Д(й) = —-\/2 (7rs3)-1/2, получим решение в пространстве изображений по Лапласу в сле дующем виде:
г |
г - |
з - 1/ 2 |
.Ж0 |
(rs) , |
(6.2.8) |
<р (г, S) = |
—v2 7Г |
|
6.2. Дифракция цилиндрической волны на оболочках |
147 |
в соответствии с которым скорость и давление за фронтом па дающей волны в пространстве изображений определяются соот ношениями
vL(r, s) = dripL(r, s) |
= л/2 |
7rs3 ^ |
Ж0(rs); |
(6.2.9) |
pL(r, = |
= ^2 |
(TTS)^ 1/2 |
(rs). |
(6.2.10) |
Оригинал потенциала цилиндрической волны (6.2.8) вычис ляется как свертка следующих функций:
|
-3/2 |
= 20(т) |
т / 7г; |
|
iL-1_ |
„\ |
_2 |
( 6. 2. 11) |
|
2 1/?2 |
||||
rs)] |
= 0 (г —г) |
т |
|
|
Оригиналы функций (6.2.11) находятся с помощью таблиц [62]. Принимая во внимание (6.2.11), для (6.2.8) получим [128]:
ip(r, т) = 47г~ |
2(т + г ) 0 ( г - г ) [ ,Ж ( т ) |
+ 8 (т )]; |
(6.2.12) |
|||
1 |
|
dt |
. |
<#/ |
1 |
|
|
|
1 —т t 2 |
|
|||
Ж(т) |
1 _ |
t- |
т . I. |
$ (т ) = |
1 - t 2 |
dt |
о |
|
1 — |
|
о |
|
|
— полные эллиптические интегралы первого и второго рода [134] аргумента т:
т = г + г
Скорость и давление в цилиндрической волне в соответствии с (6.2.12) равны
v(r, т) = |
V2 |
|
|
Гу/т+ 1г0 (г —г) [гЖ(тп) —(т + г)Ш{т)]; |
(6.2.13) |
||
|
р(г,т) = - |
0 (т —г) Ж(т). |
(6.2.14) |
жт + г
Можно показать [103], что
lim |
р ( г , т ) |
, |
' = |
1. |
|
Т —Г—»-0 |
v(r,T |
|
Переходя к системе координат, связанной с поверхностью оболочки, получим окончательные выражения для потенциала, скорости и давления в падающей на оболочку цилиндрической волне:
<р* (г, т) = —47г-1л/ 2 л/т + г + d 0 (т —г + d) \Ж{т) — ё '(т )]; (6.2.15)
148 Гл. 6. Нестационарные задачи о дифракции волн на оболочках
г>* (г, т) = _ v^ e (^ |
r + d) |
—[т —г + с?й(т)]} ; |
||
7ГГ\/Т + |
г + |
d |
|
(6.2.16) |
_______ |
|
|||
Р* (г, г) = - |
г + |
0 (г —г + d) Ж{т). |
(6.2.17) |
|
■к т + |
d |
|
|
|
Здесь аргумент т и радиус цилиндрической волны г имеют вид
т — г + |
d . |
гШ = [®‘(0 - Ч 2 + ж2(£) - со 2 • |
|
т + г + |
d ’ |
||
|
Для определения константы d и координаты точки касания £о имеем систему уравнений:
х ЧО~Ьо |
+ ж2( £ ) - с<) = d2; |
(6.2.18) |
* '( € ) - 6о + |
*2( О - с 0 = 0 . |
(6.2.19) |
Давление Р2 в отраженной волне определяется сверткой ско рости в падающей волне г>* с соответствующей переходной функ цией:
P l ( £ , r ) = - W.(€ ,7 7 ,T ) |4=0 -
т —r (€)+d
^ |
[ |
v * ( Z , r j , T - t ) |
R' |
y f - t dt. (6.2.20) |
J |
|
?1=0 |
* |
|
|
0 |
|
|
|
Наконец, давление p2 в излученной волне определяется соот |
||||
ношениями (6.1.9), |
(6.1.10). |
|
|
|
Уравнения движения оболочки имеют вид (2.4.24), однород ные краевые условия соответствуют (1.4.108), однородные на чальные условия — (1.4.106).
Дифракция цилиндрической волны давления на |
гипер |
||
болической оболочке. |
Гиперболический цилиндр |
(рис. 6.10) |
|
задается в декартовых координатах следующим образом: |
|
||
Г : х 1= Г 1 е |
+ Р2 , ж2 = £; £ € [£ -£ + ], |
|
(6.2.21) |
где /3 = tg(ip/2), ip — угол между асимптотами гиперболы. Компоненты вектора нормали к поверхности и ненулевая
главная кривизна определяются соотношениями
„1 _ |
/9 |
/32+ £2 |
4 = |
|
( 6 . 2. 22) |
п0 — |
£2(1+/32) + /34 |
£2(1 + /З2) + /З4 |
|||
|
|
|
|||
|
m |
= р 2 е |
+ |
+ 0 * ~3/2. |
(6.2.23) |
