книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках

уравнений Вольтерра II рода являются определенные выше пере­ ходные функции [57]. Решение данной задачи может быть най­ дено с помощью одного из стандартных численных методов [14].

При исследовании движения в жидкости деформируемых конструкций, в частности, подводных аппаратов, помимо волн, излучаемых при движении аппарата как твердого тела, необходи­ мо учитывать излучение, вызываемое деформирующейся поверх­ ностью. Большинство подводных аппаратов представляет собой подкрепленные оболочки и может быть представлено той или иной математической моделью.

Согласно общепринятой классификации, оболочки подразде­ ляются на тонкостенные и толстостенные в зависимости от от­ носительной толщины А = h/ R, где h — толщина оболочки, R — некоторый характерный геометрический параметр, чаще всего — минимальное значение радиуса кривизны координатной поверх­ ности. К тонким принято относить оболочки при А ^ 0,05, при этом допускается приближение 1 ± А « 1. Считается, что мак­ симальное значение А не должно превышать 0,4-0,5. Нередко вводится класс «оболочек средней толщины» при 0,05 ^ А < 0, 1. Для многих глубоководных аппаратов величина А может быть достаточно велика, что не позволяет описать их поведение моде­ лью тонкой оболочки.

В отличие от теории тонких оболочек, основанной на гипо­ тезах Кирхгофа-Лява, для толстостенной оболочки необходимо учитывать трехмерный характер напряженно-деформированного состояния, отказываясь от упрощающих допущений. Простей­ шим уточнением являются теории оболочек средней толщины, учитывающие поперечный сдвиг (модели РайсснераТимошен­ ко [171, 175]), поперечную нормальную деформацию (обжатие) (модель Власова-Нагди [25]) или совместное влияние сдвига и обжатия на напряженно-деформированное состояние оболочки (модели Райсснера-Нагди). Обзор уточненных теорий прове­ ден Э. И. Григолюком [53]. Было выявлено качественное влия­ ние учета поперечных деформаций на описание стационарно­ го и особенно нестационарного динамического деформирования оболочек. Так, применение модели Кирхгофа-Лява (В. В. Ново­ жилов, К. Ф. Черных и Е. И. Михайловский [121]) приводит к начально-краевой задаче параболического типа с бесконеч­

ный, Ю. А. Созоненко [106]) приводит к задаче гиперболического типа с конечной скоростью распространения возмущений.

практики. Однако при всех своих достоинствах сугубо числен­ ный метод не позволяет выявлять многие качественные законо­ мерности динамического поведения оболочек средней и большей толщины, для чего требуется его дополнение аналитическими методами. Возрождению аналитической механики немало спо­ собствует развитие в последние 10-15 лет программных средств компьютерной алгебры [63]. Другая современная тенденция — создание настраиваемых конечно-элементных комплексов [157], ориентированных на решение специфических начально-краевых задач, сформулированных пользователем в дифференциальной или вариационной постановке.

Более традиционное для теории оболочек направление свя­ зано с приближением трехмерной краевой задачи теории упру­ гости некоторой системой двумерных краевых задач. Подобная проблема допускает множество различных методов решения, на­ пример, разложение неизвестных в ряды по координате (, нор­ мальной к базисной поверхности оболочки, или асимптотическое интегрирование. Классификация методов приводится в работах Н.А. Алумяэ [2] и И. И. Воровича [27].

А. Л. Гольденвейзером [33, 34] были разработаны различные варианты метода асимптотического интегрирования уравнений трехмерной задачи теории упругости и доказано существование решения типа пограничного слоя с более высокой изменяемо­ стью, чем решение типа простого краевого эффекта.

Применение степенных рядов по нормальной координате было предложено О. Коши и Л. Пуассоном и впоследствии исполь­ зовано в большинстве работ по теориям оболочек. Наиболее общая формулировка метода степенных рядов была разработана Н.А. Кильчевским [81]. В работе [80] проведен также критиче­ ский анализ различных методов исследования нестационарных динамических процессов в оболочках. Метод степенных рядов достаточно прост, однако при удержании большого числа членов в частичных суммах приводит к системам уравнений весьма сложной структуры, с трудом поддающихся как анализу, так и алгоритмизации.

Определенные преимущества предоставляет использование разложений по ортогональным системам функций нормальной координаты (В. В. Понятовский [125, 126], Солер и др. [136, 137, 138], И. Н. Векуа [20, 21], И. Ю. Хома [146, 147]). Основные положения методики и многие качественные результаты были систематизированы и обобщены в монографии И. Н. Векуа [23]. Практическое использование теорий высокого порядка при ре­ шении нестационарных задач динамики толстостенных оболочек

тиным [55]. Ранее В. И. Гуляевым были получены уравнения тео­ рии высокого порядка для цилиндрических оболочек и исследо­ ваны волновые процессы в цилиндрической оболочке переменной толщины [56].

Дальнейшее развитие метод И. Н. Векуа получил в работах А. А. Амосова [4, 3, 5, 6]. Процедура построения системы урав­ нений была формализована и записана в матричной форме, оп­ тимальной как для последующего анализа, так и для построения численного решения. Операторная форма соотношений теории была впоследствии получена и применена к решению плоских и осесимметричных задач в [68, 69, 72].

Геометрические аспекты трехмерной теории слоистых оболочек были подробно изучены и опубликованы в работах М. У. Никабадзе [105-114]. Предложена параметризация области трехмерного пространства, занятой оболочкой, с исполь­ зованием двух равноправных базовых поверхностей лицевых поверхностей оболочки [108, 109, ПО]. Основы общей теории деформирования тел малых геометрических размеров изложены в [111, 114, 119, 115]. В основу положены ортогональные разло­ жения неизвестных по полиномам Лежандра или Чебышева, для которых построены рекуррентные соотношения [116, 117]. Урав­ нения движения теории оболочек записаны с учетом краевых условий на лицевых поверхностях [118]. Аналогичные резуль­ таты были получены автором и для слоистых криволинейных стержней с несколькими базовыми кривыми [107, 112, 113, 114].

При исследовании взаимодействия конструкции с аку­ стическими волнами в жидкости ключевым моментом являет­ ся постановка нестационарной задачи динамики оболочки при произвольных внешних воздействиях [50]. Различные подхо­

намики для толстостенных анизотропных оболочек переменной толщины с гладкими лицевыми поверхностями произвольной геометрии приведена в статье [67], частный случай данной мо­ дели использован в работе [71].

Получить аналитическое решение начально-краевой задачи динамики оболочки, взаимодействующей с внешней средой, возможно только в некоторых частных случаях оболочек канонической геометрии. Большинство результатов связано с плоской задачей о дифракции волн на тонкой упругой

решение для коэффициентов Фурье может быть получено путем сведения задачи к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода (Н. Huang [167]). Аналогичный прием использовался B. Д. Кубенко [87], В. Д. Кубенко и Н. Н. Панасюком [88]. Тем не менее, данный метод правильнее называть полуаналитическим, так как избежать применения численных методов на этапе решения интегральных уравнений не удается [87]. Для средних и толстостенных оболочек задача существенно усложняется [56].

Помимо метода разделения переменных, в динамике оболочек используется также метод разложения по собственным функ­ циям оператора начально-краевой задачи (В. А. Ковалев [83], C. И. Жаворонок, А. Л. Медведский [70]). Преимуществом тако­ го подхода является анализ излучения акустических волн дви­ жением оболочки, соответствующим каждому тону собственных колебаний «сухой» конструкции, с возможностью частотной опти­ мизации. С другой стороны, при определении частот и форм соб­ ственных колебаний могут быть использованы все преимущества стандартных конечно-элементных программных комплексов [149, 170], позволяющих решить задачу стационарной динамики прак­ тически для любой конструкции, в том числе для дискретноподкрепленной оболочки (А. Л. Медведский и др. [100, 103]).

Эффективность метода собственных функций снижается при исследовании начального этапа взаимодействия, для описания которого требуется учет не только низших, но и многих высших форм собственных колебаний оболочки. В этом случае предпо­ чтительным является непосредственное решение нестационарной задачи динамики оболочки. Трудность численного интегриро­ вания систем уравнений гиперболического типа, содержащих недифференциальные члены с коэффициентами порядка 1 / А, связана с возникновением сильноосциллирующих компонентов решения (В. Г. Баженов и др. [11]) и преодолевается переходом к системе уравнений первого порядка и применением специальных методов численного интегрирования (Е. Г. Евсеев и А. Ю. Семе­ нов [65, 66], В. Л. Иванов [74]). Численные методы нестацио­ нарной динамики оболочек, позволяющие корректно подавлять нефизические осцилляции решения, изложены в монографии

16 Введение

программными комплексами осуществляется в основном путем введения демпфирующих членов типа «искусственной вязкости» в уравнения движения при использовании стандартных методов интегрирования уравнений во временной области [149, 170].

При использовании метода ГВИУ исследование динамики оболочки, погруженной в акустическую среду, сводится к ре­ шению начально-краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений движения оболочки в частных производных первого или второго порядка, содержащих интегральные операторы во временной области с ядрами, образованными фундаментальными решениями задач дифракции акустической волны на идентичном жестком препятствии [103]. Таким образом удается исходную задачу взаимодействия сред привести к задаче динамики некото­ рой эквивалентной конструкции, наделенной дополнительными демпфирующими свойствами, соответствующими влиянию среды.

Решения ряда задач для оболочек в форме криволиней­ ных гладких цилиндров и поверхностей вращения второго порядка с помощью переходных функций задачи дифракции, построенных на основе обобщенной гипотезы тонкого слоя

иконечно-разностного метода интегрирования уравнений

движения, были получены А. Л. Медведским, Л. Н. Рабинским, С. И. Жаворонком и др. в цикле работ, выполненных под руко­ водством А. Г. Горшкова [71, 132, 38, 41, 40, 129, 130, 131, 162].

Настоящая работа посвящена дальнейшему обобщению и развитию математического моделирования нестационарного вза­ имодействия слабых ударных волн в жидкости с подводными аппаратами на основе приближенных фундаментальных решений нестационарных задач механики сплошной среды и численных методов гранично-временных интегральных уравнений, конеч­ ных элементов и конечных разностей.

В первой главе сформулирована задача нестационарного вза­ имодействия акустической среды с деформируемым телом. При­ ведена постановка задачи нестационарной динамики идеальной сжимаемой жидкости в акустическом приближении. Сформули­ рована в общем виде задача Коши для абсолютно твердого тела и на ее основе получены линеаризованные уравнения движения абсолютно твердого тела. Построены разрешающие уравнения трехмерной теории толстостенных анизотропных оболочек, по­ ставлены начально-краевые задачи динамики оболочек. На ос­ нове общей трехмерной теории получена как частный случай теория первого порядка, учитывающая трансверсальную подат­ ливость оболочки. Сформулированы условия на границе раз­ дела жидкости и деформируемого твердого тела и постановка

начально-краевой задачи взаимодействия акустической среды и деформируемой оболочки.

Во второй главе развивается теория поверхностных функций влияния для акустической среды. Приведены основные сведения из теории фундаментальных решений. Сформулированы и до­ казаны теоремы взаимности для акустической среды. Проведен анализ начально-краевой задачи динамики акустической среды в окрестности гладкой выпуклой поверхности препятствия, обос­ новано упрощение постановки начально-краевой задачи дифрак­ ции акустических волн, именуемое далее модифицированной ги­ потезой тонкого слоя. В приближенной постановке построено фундаментальное решение задачи дифракции — поверхностная функция влияния для акустической среды, и описано ее приме­ нение для приближенного вычисления давления в акустической среде на поверхности препятствия.

В третьей главе построено решение задачи о возмущенном движении абсолютно твердого тела в неограниченной акустиче­ ской среде в окрестности некоторого равновесного состояния. На базе поверхностной функции влияния давление на поверх­ ности твердого тела записано в виде интегральной зависимо­ сти типа свертки. Уравнение движения тела при учете влия­ ния акустической среды приведено к интегральному уравнению Вольтерра II рода. Описаны конечно-элементная аппроксимация интегральных операторов для тела, ограниченного произвольной поверхностью, и процедура численного решения интегрального уравнения движения на основе метода квадратур. Получены решения задач о движении в акустической среде абсолютно твердого эллипсоида вращения и составного тела.

Вчетвертой главе описана методика исследования нестаци­ онарного динамического поведения подводного аппарата под дей­ ствием акустической волны. Для вычисления коэффициентов ин­ тегральных уравнений используется численная параметризация произвольной выпуклой ограничивающей поверхности, основан­ ная на изопараметрических треугольных конечных элементах. Изложены основные принципы интеграции системы твердотель­ ного моделирования S OLIDW ORKS® и системы вычислительной математики MATLAB®.

Впятой главе приведены интегро-дифференциальные урав­

нения движения оболочки в акустической среде, полученные с использованием поверхностной функции влияния. Изложе­ ны основные особенности разностных схем, используемых при численном решении связанных задач гидроупругости оболо­ чек. Описана приближенная разностная формулировка диффе­

ренциальных операторов линейной теории оболочек, проведена оценка сходимости дискретного разностного аналога к исход­ ной дифференциальной задаче. Получено дискретное представле­ ние внешней нагрузки, действующей на оболочку, погруженную в жидкость. Проведено сравнительное исследование используе­ мых разностных схем.

В шестой главе исследуются в связанной постановке плос­ кие нестационарные задачи о дифракции акустических волн на упругих оболочках с гладкой криволинейной координатной по­ верхностью. Рассмотрены задачи о дифракции плоской косой и цилиндрической акустических волн на упругих оболочках со срединной поверхностью в форме параболического и эллиптиче­ ского цилиндров, а также осесимметричные задачи о дифрак­ ции сферической акустической волны на упругих оболочках со срединной поверхностью в форме параболоида, эллипсоида и гиперболоида вращения.

Работа над материалом, вошедшим с книгу, велась в течение многих лет под руководством лауреата Государственной премии Российской Федерации, доктора физико-математических наук, профессора А. Г. Горшкова. Анатолий Герасимович Горшков ско­ ропостижно скончался весной 2006 года. Авторы выражают глу­ бокую благодарность своему Учителю, замечательному человеку и блестящему ученому, сыгравшему ключевую роль в формиро­ вании научного мировоззрения коллектива его учеников.

Параграфы 1.1-1.3, главы 2 и 3, параграфы 4.3 и 4.4 написа­ ны А. Л. Медведским, параграфы 1.5, 5.3, 5.5, глава 6 и приложе­ ния — Л. Н. Рабинским, введение, параграфы 1.4, 5.1, 5.2, 5.4 —

С.И. Жаворонком, параграфы 4.1-4.3 — М. Ю. Куприковым.

Вработе над пятой главой принял активное участие доктор физико-математических наук, профессор В. Ф. Формалев, кото­

рому авторы выражают искреннюю благодарность за плодотворное обсуждение материала. Авторы также выражают благодарность молодым членам научной школы М. Ю. Андрееву и Р. М. Кахраманову, участвовавшим в подготовке четвертой главы.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 09-01-07082-д, 08-07-00160-а, 08-01 -00290-а, 09-01 -00731 -а), Гранта Президента РФ по государственной поддержке Ведущих Научных школ РФ НШ-64683.2010.8 и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (Государственные контракты №П459 от 03.08.2009, П1732 от 25.09.2009, П2436 от 19.11.2009, 02.740.11.0504 от 16.03.2010).

Г л а в а 1

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА КРИВОЛИНЕЙНЫ Х ПРЕПЯТСТВИЯХ

В главе 1 приводится постановка задачи нестационарного взаимодействия абсолютно твердых и деформируемых матери­ альных тел. Описаны линейные приближения моделей движения материальных тел: динамика идеальной сжимаемой жидкости в рамках акустического приближения и возмущенное движе­ ние абсолютно твердого тела в окрестности состояния покоя. Построена приближенная трехмерная теория анизотропных обо­ лочек и на ее основе получены модели оболочек средней тол­ щины, учитывающие трансверсальную податливость материала. Рассмотрена постановка краевых условий на поверхностях раз­ дела сред и сформулирована линейная начально-краевая задача дифракции слабых ударных волн на абсолютно твердых телах и деформируемых оболочках, погруженных в жидкость. Описано применение метода поверхностных функций влияния в задачах нестационарного взаимодействия материальных тел.

Математические модели приводятся к операторной записи в произвольных криволинейных системах координат. Везде в ра­ боте производится суммирование по повторяющимся индексам, пределы суммирования определяются размерностью рассматри­ ваемых задач либо оговариваются отдельно.

1.1. Постановка задачи нестационарного взаимодействия

Рассмотрим движение двух материальных тел Go и G\, занимающих области G/ С Ж3 (I = 0,1), G\ с Go. Область Go является полуограниченной, область G\ либо полуограничена, либо ограничена гладкой выпуклой поверхностью раздела П = 8 G0 = dG 1= G0 П Gi (рис. 1.1).