книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках

1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 41

т

Здесь (1.4.79) содержит значения сг*-7 при z = ±1. Аналогично определяются производные компонентов вектора щ.

Тогда уравнения движения (1.4.48), (1.4.49) с учетом краевых условий (1.4.53) приводятся к следующему виду:

Здесь введены следующие линейные операторы:

Аналогичным образом запишем кинематические соотноше­ ния (1.4.50)—(1.4.52), учитывая кинематические краевые условия (1.4.53) на лицевых поверхностях S±:

42 Гл. 1. Постановка задач дифракции

Таким образом, как двумерные уравнения движения (1.4.82), (1.4.83), так и двумерные кинематические соотношения (1.4.85)- (1.4.87) сформулированы с учетом силовых краевых условий (1.4.53) и кинематических краевых условий (1.4.42) на лицевых поверхностях S±, то есть система уравнений (1.4.82)—(1.4.87) со­ ответствует постановке задачи при смешанных краевых условиях на лицевых поверхностях.

При заданном на S± поле главного вектора внешних сил q± уравнения движения записываются в виде (1.4.82), (1.4.83), ки­ нематические соотношения (1.4.86), (1.4.87) с учетом (1.4.42) преобразуются путем подстановки значений компонентов вектора перемещения на S± в виде разложения

При задании на лицевых поверхностях оболочки S± поля вектора скорости v± кинематические соотношения записываются в виде (1.4.85)—(1.4.87), а уравнения движения (1.4.82), (1.4.83) путем подстановки значений компонентов тензора напряжения на S± в виде

(1.4.92)

44 Гл. 1. Постановка задач дифракции

Трехмерная модель оболочки JV-ro порядка. Полученные выше системы уравнений трехмерной теории оболочек постро­ ены в бесконечномерном пространстве Нм0[—1,1]- Для форму­ лировки прикладной трехмерной модели оболочки необходимо ограничиться некоторым конечномерным подпространством Н щ и получить конечную систему уравнений.

Простейшая модель формулируется в подпространстве Н щ для каждой переменной задачи и носит название «теория обо­ лочек N-vo порядка» [23, 6]. В рамках теории N-го поряд­ ка начально-краевая задача формулируется относительно 18^ неизвестных: 6N коэффициентов Фурье компонентов тензора напряжения, 6N коэффициентов компонентов тензора скорости деформации, 3N коэффициентов вектора перемещения и 3N коэффициентов компонентов вектора скорости.

Приведем сводку соотношений начально-краевой задачи тео­ рии N-ro порядка при смешанных краевых условиях на поверх­

(1.4.103)

j -4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 45

кинематические соотношения, записанные относительно ско­ ростей;

— физические соотношения, записанные в скоростях изменения деформаций и напряжений (при постоянных во временной обла­ сти физических константах среды);

(1.4.108)

— силовые и геометрические краевые условия на боковой поверх­ ности.

Система (1.4.99), (1.4.105) содержит 18JV скалярных уравнений относительно 18N неизвестных, в том числе 3N дифференциальных уравнений (1.4.99), (1.4.100) в частных производных первого порядка по пространственной и временной переменным, 5N уравнений (1.4.101), (1.4.102) в частных производных 1-го порядка по пространственным переменным, 9N уравнений (1.4.104), (1.4.105), содержащих только производ­ ные 1-го порядка по времени, и N линейных функциональных уравнений (1.4.103). 18N уравнениям системы (1.4.99), (1.4.105) соответствуют 6N краевых условий (1.4.107), (1.4.108) и 6N начальных условий (1.4.106).

Модель оболочки первого порядка. Модель оболочки 1-го порядка является частным случаем общей модели JV-го порядка при N = 1, т. е. формулируется в подпространстве Я мх Операто­ ры, входящие в (1.4.99)—(1.4.103), задаются матрицами размер­ ности 2 x 2.

1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 47

Краевые условия на контуре Г = <9S° имеют вид:

- h / 2 h/2

Здесь использованы следующие обозначения:

—qa — компоненты вектора тангенциальных внешних сил на поверхности S°,

—р — приведенное нормальное внешнее давление сил на по­

верхность SO,

— m a — компоненты вектора внешних изгибающих моментов на S°,

—qa — внешнее расслаивающее усилие,

—Т а — вектор краевых тангенциальных сил,

—М а — вектор краевых изгибающих моментов,

—Q — вектор краевых поперечных сил,

к поверхности П векторов скорости в падающей, отраженной и излученной волнах соответственно; v* — вектор скорости в па­ дающей волне; v — вектор скорости в отраженной и излученной волне; w — нормальный к поверхности П компонент вектора ско­ рости движения оболочки или твердого тела.

Кроме того, в соответствии с (1.1.16) на бесконечности по­

В случае незамкнутой оболочки постановка начально-краевой задачи включает также краевые условия (1.4.107), (1.4.108).

Гидродинамическое давление р, действующее на поверх­ ность П, в линейной задаче может быть представлено в виде суперпозиции

где р\, р2 — давление в отраженной и излученной препятствием акустических волнах, для определения которых ставится следу­ ющая начально-краевая задача:

где pi, pi, Vi, i = 1,2 — решения двух следующих задач. Задача 1. Дифракция волны на неподвижном препятствии:

Задача 2. Определение давления в излученной волне:

Если препятствие неподвижно, необходимость решения зада­ чи 2 отпадает.