книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках

С\У№Уз\ п 1—единичный вектор внешней нормали к телу G ь р*о — давление в падающей волне; р о ~ давление в отраженной и излученной волнах на поверхности П.

На поверхности твердого тела выполняются условия непротекания (2.4.11), при этом первое условие на нормальные состав­

где V 1—вектор скорости точки тела G\, который в случае абсолютно твердого тела имеет вид

а его нормальная составляющая V^1 из (2.4.19)-(2.4.20) выража­ ется так:

В результате из (2.4.13), (2.4.18) и (2.4.21) находим сле­ дующее интегральное соотношение, связывающее давление на поверхности и кинематические параметры движения абсолютно твердого тела:

Здесь рю соответствует давлению отражения от неподвиж­ ного абсолютно твердого тела G\, а р%о — давление излучения, связанное с движением тела G \.

Движение деформируемой оболочки в акустической среде. Указанный подход может быть применен и в задачах гидроупругости оболочек G\, помещенных в полуограниченную акустическую среду Go. Уравнение движения оболочки в общем виде представляется так [26]:

72 Гл. 2. Поверхностные функции влияния для акустической среды

Как и в случае контакта упругой и акустической сред, на ли­ цевой поверхности оболочки П+ в случае использования урав­ нений модели первого порядка или на срединной поверхности П в рамках сдвиговой теории или модели Кирхгофа необходимо задать условия непротекания

где w — нормальное перемещение поверхности оболочки, контак­ тирующей с акустической средой.

Для определения давления р воспользуемся выражением (2.4.22), а также условием непротекания (2.4.25). В результате получим следующую связь действующего на оболочку давле­ ния р и перемещения w:

p($.<) = P*o(S.<)ln + Gp(&t)*** dtw{%,t) - vlQ{%,t) п -

(2.4.26) Данный подход может быть распространен и на задачи мень­ шей пространственной размерности — двумерные или одномер­

ные.

Г л а в а 3

ДВИЖ ЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

В АКУСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН

В главе исследуется задача о движении абсолютно твердого тела, ограниченного гладкой выпуклой поверхностью, под дей­ ствием сферической акустической волны давления [42, 58, 60, 61, 76]. Для определения давления на поверхности твердого тела используется гипотеза тонкого слоя, рассмотренная во второй главе. Система линеаризованных уравнений движения записы­ вается в интегральной форме и с учетом вида поверхностной функции влияния приводится к системе интегральных уравнений Вольтерра II рода, решаемой численно методом квадратур.

3.1. Интегральные уравнения движения абсолютно твердого тела в акустической среде

Рассматривается однородное абсолютно твердое тело G, мас­ сой т и плотностью р, ограниченное гладкой выпуклой по­ верхностью П. Тело погружено в неограниченную акустическую среду со скоростью распространения звука со, плотностью ро и взаимодействует с нестационарной волной давления р*. На­ чальный момент времени t = 0 соответствует касанию фронтом акустической волны некоторой точки А Е П. В начальный мо­ мент времени тело находится в покое. Движение твердого тела изучается в неподвижной декартовой прямоугольной системе ко­ ординат Ох 1Ж2Ж3 с ортонормированным базисом е* (* = 1,2,3). Также введем связанную с телом систему главных централь­ ных осей O iт/I 2/2УЗ с ортонормированным базисом е« (* = 1,2,3) (рис. 3.1). В дальнейшем будем предполагать, что тело обладает «нулевой» плавучестью (р = ро).

Положение связанной системы координат 0\у\у2у% относи­ тельно неподвижной Ох 1*2*3 определяется радиусом-вектором U c = UdGi ее начала и углами Эйлера а = (ф, в, 7)т . Введенные векторы удовлетворяют следующим уравнениям (1.3.13):

и начальными условиями (1.3.14):

U c(0) = и с0, а(0) = ао,

(3.1.5)

U co = НС2()€Ц? otQ= (V’o,0o,7o)T -

Здесь С„(ао) и (ДДао) — матрицы перехода (1.3.3) и (1.3.4). Движение акустической среды описывается волновым урав­

нением относительно потенциала вектора скорости <р> (1.2.17) (индекс «а» в обозначении параметров акустической среды опу­ щен):

В начальный момент времени среда находится в невозму­ щенном состоянии, что соответствует однородным начальным условиям:

При этом давление р* и вектор скорости v* в падающей волне считаются заданными и удовлетворяют уравнениям (3.1.6).

На бесконечности возмущения в акустической среде отсут­ ствуют:

На границе твердого тела ставятся условия непротекания акустической среды (2.4.19), имеющие вид

где Vn — нормальная составляющая вектора скорости точек по­ верхности тела П; г>*га — нормальная составляющая вектора ско­ рости точек в падающей волне; vn — нормальная составляющая вектора скорости точек в отраженной от неподвижного тела волне; п —вектор единичной внешней нормали поверхности П; г — радиус-вектор точки поверхности П в связанных координа­ тах.

Нормальная составляющая вектора скорости точек поверхно­ сти тела П определяется так (2.4.21):

76 Гл. 3. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде

Главный вектор F и главный момент М, приведенные к цен­ тру масс тела, вычисляются следующим образом (2.4.17):

тывает направление поверхностных сил с учетом выбранного направления нормали к поверхности П.

Решение поставленной задачи в замкнутом виде найдено только для тел канонической формы [50, 54]. Для твердого тела, ограниченного гладкой выпуклой поверхностью П, решение задачи может быть получено в рамках различных упрощающих гипотез. Использование таких гипотез позволяет связать гидро­ динамическое давление р, действующее на поверхности твердо­ го тела, с кинематическими параметрами последнего, и свести исходную задачу к интегрированию системы уравнений дви­ жения абсолютно твердого тела. Для определения давления р далее используется модифицированная гипотеза тонкого слоя, изложенная во второй главе, согласно которой основной вклад в гидродинамическую составляющую нагрузки на тело вносит движение акустической среды по нормали к поверхности П, при этом движением вдоль поверхности тела в первом приближении можно пренебречь.

Давление на поверхности П можно представить в виде (2.4.23)

где р* — давление в падающей волне; р\ — давление в отражен­

В обозначении функции влияния G(г, т) учтено, что она оп­ ределяется параметризацией поверхности П, заданной в связан­

ной системе координат Оц/ц/гУз. и зависит от времени и местной средней кривизны Н = Я (г) граничной поверхности тела П.

Выражения (3.1.12) для равнодействующей силы F и момента М с учетом (3.1.14) и (3.1.15) представляются так:

по

п0

M (r) = p*(r,т)г x n d S +

—11 dS J G (r, r —i) (r x oo(t)) ■[n ® (r x n)] dt. (3.1.18)

П0

Так как для твердого тела векторы г, п не зависят от време­ ни, то порядок интегрирования в (3.1.17) и (3.1.18) может быть изменен, и выражения для равнодействующей силы и вектора момента приводятся к следующему виду:

I

F (r) = —F*(T ) + | F r (r, t)dt

формулой Дирихле [89] и изменим с учетом (3.1.21) порядок интегрирования в интеграле, содержащем F r (£,£):

80 Гл. 3. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде

Аналогичные преобразования справедливы и для повтор­ ных интегралов (3.1.27), содержащих функции G „ (t — () и G% (t — С), а также для слагаемых, входящих в выражение (3.1.28) для угловой скорости оо(т) :

Определим входящие в (3.1.33) матричные операторы: М г (т,< )= |г>*га(г, t)G(r, т—t) г х ndS;

G f (г ) = 11 G(r >r )n ® n dS, n

G £ (r) = 11 G(r, r) n ® (r x n) dS, (з | 34) n

Преобразуем уравнения движения с учетом (3.1.29)—(3.1.34):

Т Т

V C(T ) + m -1 1 G „(т —t ) • ~Vc(t) dt — m ~ l | G £(T —t) • со(t)dt =