книги / Численные методы решения некорректных задач

ние параметра регуляризации, при котором необходимо определить эк­ стремаль функционала Ма [z] .

U —рабочий массив длиной не менее N*M + 3 * N + 2*M. NU —входной параметр —длина рабочего массива.

IERR —выходной параметр —код завершения программы:

IERR = 0 — найдено значение параметра регуляризации, удовлетво­ ряющее принципу обобщенной невязки, если это требовалось (при этом использовался метод хорд в форме (5) или найдена экстремаль функ­ ционала Ма [z] при фиксированном значении параметра ALFA (Cl < 1,0)); IERR - 1 — найдено значение параметра регуляризации, удовлетво­ ряющее принципу обобщенной невязки р(а) = 0 с заданной точностью, использовался модифицированный метод хорд (6) (встретились отри­ цательные значения обобщенной невязки, т.е. нарушена выпуклость функции т(р) = р( 1/р)), после окончания PTIPR в Z - экстремаль функ­

ционала Ма [z] ;

IERR = 64 — не хватает длины рабочего массива; значения всех вы­ ходных параметров не определены;

IERR = 65 — при подборе значения параметра регуляризации а, ко­ торому соответствует положительное значение обобщенной невязки, сде­

121

лано ШАХ умножений параметра а на 2, а обобщенная невязка отрица­ тельна; по окончании —в Z экстремаль функционала Ма [z] при значении параметра регуляризации, содержащемся в ALFA;

итераций методом хорд (6), но заданная точность не достигнута; при реализации метода хорд встретились отрицательные значения обобщен­

М° [г];

IERR = 69 — задано значение 1C, отличное от нуля и единицы. Значе­

ния входных параметров не определены.

При решении уравнения (1) может возникнуть необходимость опре­ деления экстремали функционала Ма [z] при различных значениях пара­ метра регуляризации а. В этом случае использование входа PTIPRE поз­ воляет избежать повторного формирования матрицы оператора и ее пре­ образований. Для этого достаточно при повторных вызовах программы обращаться ко входу PTIPRE с теми же фактическими параметрами. При этом необходимо сохранять и восстанавливать между обращениями к PTIPR и PTIPRE первые N * М элементов рабочего массива U. Использо­ вание входа PTIPRE возможно также в режиме подбора а по принципу обобщенной невязки, если, например, программа PTIPR окончилась по коду IERR = 65, 66 или 67.

В любом случае при обращениях к PTIPR и PTIPRE необходимо за­ давать начальное приближение Z допустимым; при 1C = 0 начальное при­

PTICRO, PTICR0, PTICR1, PTICR2, PTICI2, PTICR3, PTICR4, PTICR5, PTICR6, PTICR7, PTICR8, PTICR9.

Работа программы PTIPR аналогична работе программы PTIZR, но вместо обращения к программе минимизации методом сопряженных градиентов PTIZR1 производится обращение к программе минимиза­ ции методом проекции сопряженных градиентов PTISR1. Необходимые преобразования матрицы оператора и очередного приближения произ­ водятся программами PTISR2 и PTISR3. Описания программ PTISR1, PTISR2, PTISR3 см. в § 7 настоящей главы.

В качестве тестового примера использования программы рассмот­

122

§ 3. Описание программы решения интегрального уравнения типа свертки

В настоящем параграфе описана программа, реализующая алгоритм решения интегрального уравнения типа свертки с использованием ме­ тода регуляризации, основанного на определении экстремали функцио­

отрезке [L i, Ь2]. Если точное решение F(s) уравнения (7) имеет локаль­

становке мы приходим к задаче, эквивалентной (7):

ъ

fK(x - s)z(s)ds = и(х), х е [с, d].

а

В силу предположений о расположении локального носителя решения F(s) последнее уравнение можно переписать в виде

ния задачи может быть применена методика, основанная на применении быстрого преобразования Фурье, описанная в гл. I.

Отметим, что рассматриваемый алгоритм решения задачи (8) с пе­

шение z (s) на отрезке с - ---------- , d —-----------1, содержащем локаль­

ный носитель точного решения Т (5) задачи (7)*). Алгоритм решения задачи (8) с ядром K{t)9периодическим с периодом Т = d - с, в соот­ ветствии с § 7 гл. I реализован в виде программ PTIKR и PTIKR1. При этом для решения уравнения невязки

123

применяется метод Ньютона. Необходимая для реализации этого метода производная функции р(а) легко вычисляется по формуле (21) гл. 1. (Выражение для y'(ot) см. в § 6 гл. I.) Поскольку, как уже отмечалось в § 1 настоящей главы, в случае h = 0 функция о(р) = р(1/д) является монотонно убывающей и выпуклой, что гарантирует сходимость метода Ньютона (если на начальном приближении д0 значение о(д0) = РО/Мо) положительно), то предлагаемая программа реализует применение ме­ тода Ньютона фактически для решения уравнения о(р) = р(1/р) = 0. При

тода Ньютона гарантировать нельзя. Поэтому, если в процессе реализа­ ции метода Ньютона появляются такие значения параметра регуляриза­ ции а = 1/р, что р(а) < 0 (что может произойти, если нарушена выпук­ лость о(р)), то происходит переход на модификацию метода хорд (6).

Программа PT1KR, так же как и программы, описанные в предыду­ щих параграфах, может быть использована в двух режимах:

1) в первом режиме определяется экстремаль сглаживающего функ­ ционала Ма [z] при фиксированном значении параметра регуляризации а;

LI, L2 — входные параметры — границы локального носителя ядра X(s) уравнения (8) (переменные типа REAL).

124

N должно иметь вид 2к, где к —целое.

Z —выходной параметр —массив длиной N; после окончания работы программы PTIKR содержит экстремаль функционала Ма [z] при зна­ чении параметра регуляризации, находящегося в ALFA.

AN2 — выходной параметр — простая переменная, содержащая пос­ ле окончания работы программы значения функционала невязки Ф(я) =

ций метода Ньютона и метода хорд при решении уравнения невязки р(а) = 0.

ALFA — задаваемое значение параметра регуляризации. Во втором режиме (С1 > 1,0) служит начальным приближением для корня урав­ нения р(а) = 0. Начальное приближение рекомендуется выбирать таким образом, чтобы значение обобщенной невязки р(а) на нем было поло­ жительным. Если квадрат нормы правой части I I 1 1 ^ 2 больше б2, то это условие будет выполнено црй достаточно больших значениях пара­ метра регуляризации ALFA. Если условие р(а) > 0 на начальном при­ ближении не выполнено, то значение параметра регуляризации умножа­ ется на 2 до тех пор, пока значение обобщенной невязки не станет поло­ жительным (но не более ШАХ раз), а затем строится последовательность Ньютона, начиная от этого значения параметра. Во втором режиме (С1 > > 1.0) по окончании работы программы PTIKR параметр ALFA содержит значение параметра регуляризации, удовлетворяющее условию |р(а)| < е .

U —рабочий массив длиной не менее 6 * N.

NU — входной параметр — длина рабочего массива U; служит для контроля достаточности рабочего массива U.

IERR —выходной параметр —код завершения программы:

125

IERR = 0 - найдена экстремаль za функционала Ма [z] при фикси­ рованном значении параметра регуляризации в случае задания С1 < 1.0, или найдено, методом Ньютона значение параметра регуляризации ALFA, удовлетворяющее принципу обобщенной невязки, если это требовалось (С1 > 1,0);

IERR = 1 —в случае С1 > 1,0 при реализации метода Ньютона встре­ тились отрицательные значения обобщенной невязки р(а), т.е. нарушена выпуклость обобщенной невязки; решение уравнения невязки р(а) = 0 найдено методом хорд;

IERR = 64 - не хватает длины рабочего массива U; значение пара­ метра регуляризации ALFA при этом не изменилось, значение остальных выходных параметров не определено;

IERR = 65 - в случае С1 > 1,0 задано такое начальное значение па­ раметра регуляризации а, что р(а) < 0; умножением параметра регу­ ляризации на 2 не удалось подобрать такого значения, при котором

IERR = 66 — в случае С1 > 1,0 при реализации метода Ньютона сде­ лано IMAX итераций, а корень уравнения невязки I р(а) I < е = (ci —1)62

обобщенной невязки, меньшие нуля, произошел переход на метод хорд (это возможно при нарушении выпуклости обобщенной невязки а(д) (h Ф 0)); всего методом Ньютона и методом хорд сделано ШАХ итера­ ций, а решения уравнения невязки не найдено; по окончании в ALFA — очередное приближение метода хорд, а в Z — соответствующая ему экст­ ремаль функционала Ма [z] .

При использовании программы PTIKR для решения уравнения (8) может возникнуть необходимость определять экстремаль функционала Ма [z] при различных значениях параметра регуляризации а и одних и тех же значениях правой части (8). Непосредственное использование прог­ раммы PTIKR повлечет за собой многократное применение преобразо­ вания Фурье для одних и тех же функций. Избежать этих повторных пре­ образований позволяет вход PTIKRE программы PTIKR. При этом при повторном обращении достаточно обращаться не к самой программе PTIKR, а ко входу PTIKRE с фактическими параметрами, имеющими тот же смысл. При обращении ко входу PTIKRE необходимо следить за со­ хранением (восстановлением) перед обращением содержимого рабочего массива U. Заметим, что использование входа PTIKRE возможно и в случае режима подбора параметра регуляризации, например, в случае, когда PTIKR завершилась по коду IERR = 65,66 или 67*).

*) Программа PTIKR может быть применена также для решения задач (8) с периодическими ядрами. В этом случае ядро К (t) с периодом Т - d - с должно быть задано на отрезке [Lx, L 2J длиной L 2 - L x =271 Границы L 2 должны быть согласованы с носителями правой части [с, d] и решения [д, b\'.b —a =d —с. На­ пример, если [с, d] = [а, Ь]* то необходимо выбирать L x = - Г = с - d, a L 2 = Т.

126

Собственно решение интегрального уравнения осуществляется прог­ раммой PTIKR1, которая осуществляет поиск экстремали функционала М01[z] и решение уравнения невязки р(а) = 0 методом Ньютона и хорд.

Операторы с 7 по 20 программы PTIKR1 вычисляют значение ядра и производят преобразование Фурье над ядром и правой частью, обра­

по заданному вектору z в зависимости от знака последнего параметра Р. Действительная и мнимая части исходного вектора после работы прог­ раммы замещаются действительной и мнимой частями его дискретного образа Фурье*).

При повторном входе в программу PTIKR1 преобразование Фурье не производится.

Операторы с 21 по 48 подбирают значение параметра регуляризации, которому соответствует положительное значение обобщенной невязки. Если значение переменной EPRO —точности решения уравнения невязки — задано равным нулю, то после первого вычисления экстремали програм­ ма прекращает работу. В противном случае операторы с 49 по 83 реали­ зуют метод Ньютона для решения уравнения невязки. Если реализация метода Ньютона приводит к отрицательным значениям обобщенной не­ вязки, то программа переходит на метод хорд, реализованный операто­ рами с 84 по 117.

Наконец, операторы с 118 по 148 формируют код завершения прог­ раммы и производят обратное преобразование Фурье, снова обращаясь

кпрограмме FTF1C со значением Р < 0.

Вкачестве тестового расчета предлагается использовать решение уравнения

*) Нужно отметить, что в последнее время очень интенсивно разрабатываются программы быстрого дискретного преобразования Фурье. Если у читателей есть другие стандартные программы БДПФ, быть может, более удобные или быстродей­ ствующие, то необходимо внести соответствующие изменения в программу PTIKR1.

127

129

Значения правой части и(х) на равномерной сетке на [0, 2] опреде­ лим как произведение циркулярной матрицы А, аппроксимирующей интегральный оператор в уравнении по формуле прямоугольником (рис. 4.5), на вектор значений точного решения. Погрешности задания пра­ вой части и оператора возьмем соответственно равными И2 = КГ9, б2 =

= КГ8.

Применение к этой задачи программы PTIKR позволяет получить решение, численные значения которого приведены на рис. 4.5. Это ре­

с =a + ll,C = A+ Lii d = b +l2,D = B +L2. Будем считать, что прибли­

применяется метод Ньютона; необходимая для этого производная р (а)

130