книги / Численные методы решения некорректных задач

ниями можно свести к задаче выпуклого программирования —минимиза­ ции функционала Ма [z] с выбором параметра регуляризации по обобщен­

inf Н2 ||,

z € { z: z € Д II Акг - и ь || < б + h || z ||>.

Связь обобщенного метода невязки и обобщенного принципа невязки для нелинейных некорректных задач исследована в [116].

21

§ 4. Обобщенная невязка и ее свойства

В настоящем параграфе мы подробно изучим свойства некоторых вспомогательных функций параметра регуляризации а > 0:

исвойства обобщенной невязки р^(а), введенной в § 2.

Ле м м а 3. Функции ФтДо),7П(<*)> Prj(a) к<*к функции параметра о обладаютследующими свойствами.

1.Они непрерывны при ot> 0.

2.Функции (а) вогнута, дифференцируема и Ф^ (а) = у^ (о).

3.Функция ( ос) монотонно не возрастает, а функции ФтДо), Prj(a) монотонно не убывают при а > 0, причем на интервале (0, о0) таком, что

z*° Ф 0, функция Ф^(ос) строго монотонна.

4. Справедливы следующие предельные соотношения:

а0+0

Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждения 2 и 3 легко вытекают из нера­ венства (18), впервые полученного и примененного для исследования вспомогательных функций в работах [127—131]. Фиксируя о' Е (0, о) и вычитая из очевидного неравенства

выражение для Ф^ (а'), получим

Аналогично получаем неравенство

%ФЧ (« )< (« '- в ) II z“ II2.

Из последних двух неравенств вытекает, что

22

Второе из этих неравенств является следствием невозрастания функции

Положив в первом из этих неравенств z = z^ , а во втором z = z^ и сложив их, получим

или

IMA(z“ - z “ )||2 + a||z“ - z “ ||2< (o t'-a )(z “ ,z“ - z “ ).

23

Вообще говоря, в силу того, что функция pjj(a) может не обладать свойством строгой монотонности, элемент а* может определяться неодно­ значно. При этом множество корней уравнения р^(а*) = 0 заполняет,

вообще говоря, некоторый интервал. Пусть а* принадлежит этому интер­

ес * валу. Для всех 2Ц выполнено условие (19). Из (19) и монотонности

функций ^ ( а ) , 7т?(°0 следует, что эти функции постоянны на указанном

интервале. Следовательно, элемент z% , взятый для произвольного а* из указанного интервала и определенный единственным образом, является экстремалью функционала (2) для любого а*, удовлетворяющего (19).

Свойства функции Рт,(а) = Рп(а) —(5 + hyj7т?(<*))2 могут быть легко получены аналогичным образом, однако, как отмечалось в § 3, корень уравнения р^ (а) =0 может не существовать при а > 0.

Прежде чем перейти к вопросам, связанным с отысканием корня обобщенной невязки, рассмотрим, какие дополнительные свойства приоб­ ретают вспомогательные функции и обобщенная невязка в случае задачи без ограничений (D = Z) (или если z% - внутренние точки множества D ).

В этом случае экстремаль функционала может быть найдена как реше­ ние уравнения Эйлера (5), а именно

A=«л»+

Ле м м а 4. Оператор R* обладаетследующими свойствами: 1) если D(Ah) = Z, го D(R°) = Z;

2)I I j S l K l / e ;

3)Rn положительно определен',

4)R% непрерывно зависит от ot в равномерной операторной топологии.

следует существование оператора RТ). Найдем его область определения. Пусть R(AhA,I + OLE ) - множество значений оператора A*hAh + аЕ, Ясно, что это линейное многообразие в Z, Покажем, что оно замкнуто. Пусть последовательность zn = (A*hAh + аЕ)фп сходится к z0 Е Z. Докажем,что найдется такое ф0 £ Z, что z0 = (А^А^ + <*Е) Фо-

Поскольку

Фп =(4нАн + аЕ Г 'г п,

|| (А*АЛ+ аЕ) фп ||2 = || A*hA h *„||2 + 2а(АЛьАь фп, фп) + о21| фп ||2,

(а ; а а фп, ф „ ) > 0,

ТО

Тем самым последовательность фп ограничена. Выберем из нее слабо схо­ дящуюся подпоследовательность. Не ограничивая общности, будем считать,

25

что фп -+ ф0. В силу слабой замкнутости замкнутого выпуклого множест­ ва D(AhAh) гильбертова пространства Z ф0 принадлежит D(AhAh). По­ скольку AfrAh + осЕ —линейный ограниченный оператор, то он является непрерывным из слабой топологии в слабую [95], из этого следует, что

(AhAh + а Е)ф0 = z0. Таким образом, мы показали, что ЩА^Аь + otE) — подпространство Z. Покажем, что R(AfiAb + (*Е) совпадает с Z. Разложим Z в прямую сумму:

Z = R(A'hA h + аЕ) ® (R(A*hAh + осЕ))1.

К Л ^ + ^ +Д о О Я Ж ^ !

Лемма доказана.

Лемма 4 гарантирует разрешимость и единственность решения урав­

что z ^ Ф 0, строго монотонны, причем достаточным условием строгой монотонности функций при всех ос > 0 является условие (8).

3.Функция Вч(X) = ^(l/X) выпукла по X при X > 0.

До к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства п. 1 заметим, что из п. 2 леммы 3 следует, что достаточно найти у^(а). Зафиксируем а > 0 и рас­

смотрим такие приращения Да, что а + Да > 0. Обозначим Az% = z£+Л“ -

26

—z^. По утверждению 4) леммы 4 || Дг^ || -> 0 при Да -*0. Запишем урав­ нения Эйлера, соответствующие а и а + Да:

rj “**QZT} “ ^ /jw6 >

Вычитая эти равенства, получим

AZ£ = -Аа(А*Ал + (а+ Д а ) * ) - ^ .

Рассмотрим теперь разностное отношение

Да -►0. При этом мы воспользовались непрерывностью Rn по а и огра­ ниченностью Rn как линейного оператора из Z в Z. Формула (21) дока­ зана. Так как R% - положительно определенный оператор (лемма 4 ) , то 7rj(a) < 0 для любого a Е (0, a0] , где z%° 'Ф 0, т.е. 7^ (а) (а также Фт?(а),

27

Рп(ос), PTJ(°0) строго монотонны на интервале (0, а0] . Для завершения доказательства п. 2 заметим, что поскольку U —гильбертово пространст­ во, то оно представимо в виде прямой суммы двух ортогональных под­ пространств [90]:

ственным вычислением второй производной функции Рп(1/Х) способом, аналогичным вычислению первой производной функции уп(а).

вычислены в работах [135, 136] в конечномерном случае с помощью раз­ ложения решения уравнения Эйлера (5) по собственным векторам матри­ цы АнАь. Там же была отмечена выпуклость функции Pv(\) = ^(1/Х )

зации поиска корня уравнения (19) желательно иметь оценкусверху для параметра регуляризации а*, т.е. такое значение параметра ос > о*, что рп(а) > 0. Отметим, что оценка сверху параметра регуляризации при выборе его по принципу невязки (Л = 0) была получена для уравне­

||м6 | Ы М йг“ - « 6 |Г

28

у Е (_оо,+оо)

0 < M “ [ ( l - 7) z“ ] -M*[z*].

Оценим сверхуЛ/“ [(1 —y)z*\ при у Е [0,1]:

Отсюда

0 < M a[ ( l - y ) z $ ) - M “ [z“ ] < 27( M „ z “ - « 8llll>4ftz “ ll -

—о 11г “ Я2) + 72( 1Ы йг “ 112 +oBz“ ll2).

Сокращая полученное неравенство на у > 0 и устремляя у к нулю справа, получим

1Ыйг “ 1ИиАг“ - ц 6 Л

а ^ ---------------------------------

чае получим Ма [0] < Ма [z%], что противоречит условию z% Ф 0. Подстав­ ляя в (22) оценку снизу дляz\j, получим (23).

С л е д с т в и е . Если

\\Аи\\2С8

II иь II—С5

то 0v(a) > С282 .

Действительно, если 0v(a) =С282, то, подставляя II>1Лz^ - м б II = С6 в (23), получаем верхнюю оценку 5 параметра регуляризации при выборе

29

Для оценки снизу llz®*0 воспользуемся тем, что z% — экстремаль функ­

ционала М01[z]:

Отсюда следует, что

II z«* II > Ъ — = = = = = = = = = ----- .

\Jh2 +(C2 —1)(а + Л2) + Л

Подставляя оценку для llz^*ll в оценку для а*, получим утверждение леммы.

Рассмотрим подробнее вопрос реализации метода Ньютона для решения уравнения (19) . Вообще говоря, метод Ньютона применим лишь в случае начального приближения, достаточно близкого к корню а* уравнения

поэтому итерационный процесс метода Ньютона удобно строить по формуле

в лемме 7. Если Л = 0, то последовательность а Л, получаемая по формуле (25), будет сходится к а* (в этом случае в качестве начального прибли­ жения а0 естественно взять а из (24) при С= 1) . При h Ф0 гарантировать сходимости итерационного процесса нельзя. В этом случае при реализа­ ции решения уравнения (19) можно рекомендовать применение методов деления отрезка пополам или хорд [91], или комбинации этих методов с методом Ньютона. Методы отыскания корня (если он существует) обоб­ щенной невязки PV (OL) = II Ahz^ —и&II2 —(5 + h IIz£ II) 2 аналогичны.

Заметим, что для отыскания экстремали сглаживающего функционала (или его конечно-разностной аппроксимации) при фиксированном а > 0 можно вместо решения уравнения Эйлера воспользоваться каким-либо методом минимизации дифференцируемого выпуклого функционала в гильбертовом пространстве (методом скорейшего спуска, сопряженных градиентов, Ньютона и т.п.). Подробное описание этих методов можно найти, например, в работах [32,33,93,144,146,152,191,192].

Рассмотрим теперь случай D¥*Z. В этом случае 7т?(°0> 0 т?(ос) , Р^(ос) не являются, вообще говоря, дифференцируемыми функциями для лю­ бого а > 0 . Выбор параметра регуляризации также может проводиться по обобщенному принципу невязки, т.е. из решения уравнения (19), однако для поиска корня уравнения (19) необходимо применять чис­

30