книги / Численные методы решения некорректных задач

вариацию V% (z) функции z. (Такая постановка задачи удобна в некоторых

z2(s) могут отличаться на константу, естественно закрепить значения функ­ ций на одном из концов отрезка [а, Ь]. Будем для определенности считать, что нам известно значение точного решения z(s) в точке s = а. Не уменьшая общности, положим"г(д) = 0.

взаимно однозначно отображает V на AV С U, т.е. из равенства Azx = Az2

Уа(Г) < Vb(F).

Справедливы следующие утверждения.

Т е о р е м а 8. Функционал V% (z) достигаетна К(т?) своей точной ниж­ ней грани.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть zn —минимизирующая последователь­ ность zn Е V(ri):

Покажем, что функции zn равномерно ограничены. Ясно, что V$(zn)< < С для любых п, С другой стороны, из определения V%(z) следует, что для любой точки s из отрезка [а, Ь\ справедливо

I z rt(s) I “ I z n (5) z n 0 0 I ^ C.

Последнее соотношение и доказывает равномерную ограниченность после­ довательности zn(s) .

Теперь согласно теореме Хелли [95] из последовательности zn(s) мож­ но выделить подпоследовательность z„k(s) , сходящуюся при к -><*>в каж­

81

равномерна ограничена.

Предположим противное. Тогда существуют такая подпоследователь­ ность z„k(s) и такие точки sk £ [а, Ь]у что последовательность znk(sk) =

= ак - бесконечно большая. Ясно, что У?(гПк) < С для любых пк. Поэтому

ак - C<znk(s)<ak +C

для любых s £ [а, Ь]. Введем в рассмотрение функции z°(s) = 1 для всех s £ [а, Ь] и y k(s) = znk(s) - znfc(a). Очевидно, что нормыу к ограничены в совокупности. Из линейности оператора А следует, что Aznjc = znk(a)Az° + + Аук. Заметим, что Az° Ф 0, а элементы ||Ду* II ограничены в совокуп­ ности. С другой стороны, числовая последовательность гПк(а) неограничена и, стало быть, неограничена и функциональная последовательность

Aznk = z„k(a)Az° +Аук.

Однако это противоречит неравенству \\Aznk - и6 || < 5 . Таким образом, доказано, что последовательность функций zn(s) равномерно ограничена. Дальнейшее доказательство теоремы 8 проводится без изменений.

Пусть теперь zn £ F(r?) —произвольный элемент, для которого

ность z \ = znnfc>сходящуюся к некоторому элементу z £ V в каждой точке,

а следовательно, и в метрике пространства Z. Переходя к пределу, легко

= _ = z _ - _

убедиться, что Az = Az, а следовательно, z = z, т.е. функции z(s) и z(s)

82

совпадают на [а, b] почти всюду. Поскольку Vb(zk) < V%(л), то из леммы 7 получаем

равномерно на отрезке [а, 6]. Предположим противное. Тогда существуют

Очевидно, что в силу равномерной непрерывности функции T(s) на отрезке

В силу доказанной выше поточечной сходимости существует такое N(e),

Выберем произвольное к > N(e), рассмотрим элемент z%и получим оценку снизу для его вариации на [а, Ь]. Пусть %к E[xlt х/+1]. Тогда при к >N(e) имеем

m-1

83

Г л а в а III

АЛГОРИТМЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ НА СПЕЦИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВАХ

В гл. II нам удалось в ряде случаев решить первую, поставленную нами задачу - как, исходя из качественной информации об искомом решении, выделить компактное множество корректности М, содержащее точное ре­ шение. Как было показанд, это легко сделать, если точное решение задачи принадлежит Z l c, Zc, Z lc - Равномерное приближение к точному реше­ нию задачи можно построить, если точное решение —непрерывная функция ограниченной вариации. Перейдем теперь ко второй задаче - как построить эффективные численные алгоритмы решения некорректной задачи на ука­ занных выше множествах.

§ 1. Применение метода условного градиента для решения задач на специальных множествах

Остановимся сначала на решении некорректно поставленной задачи

Z l c - Поскольку оператор Л линеен, то Ф(г) —квадратичная функция z.

Таким образом, производная Фреше функционала Ф(г) удовлетворяет условию Липшица с константой L = 2\\А \\2.

85

Задачу отыскания приближенного решения в нашем случае можно решить^ минимизируя функционал Ф(г) соответственно на множествах Z l 0 Zc, Z I с . При этом нет необходимости находить минимум Ф(г) на этих множествах. Достаточно найти такой элемент г$ из указанных мно­ жеств, что Ф(гб) < 5 2. Таким образом,^щя отыскания приближенного ре­ шения (1) на множествах Z \ Ct Zc , Z l c необходимо научиться строить последовательность, минимизирующую некоторый выпуклый дифферен­ цируемый функционал на замкнутом выпуклом ограниченном множестве в гильбертовом пространстве.

го минимального значения на множестве М [27]. Ясно, ч т о п р и н а д л е ­ жит границе множества М (рис. 3.1). Заметим, что особенно просто задача (4) решается, если М - ограниченный замкнутый выпуклый много­ гранник в R". Тогда задача (4) - задача линейного программирования, ко-

гогранникаМ известны, просто перебором всех его вершин. Пусть найдена. Далее z ^ строится по формуле z (*+i)a5ZW + Xjt(5 -(* )-Z(*)),

где Xfc G [0,1 ] является решением одномерной задачи минимизации ф(2(Аг+1))= ф(2(*) + xk( j <*) _ z<*>)) =

86

оператор А линеен), то задача (5) тривиальна: найти минимум параболы по X на отрезке [0, 1]. Если оператор А линеен, то построенная последо­ вательность z является минимизирующей для функционала Ф (z) на множестве М [28].

Таким образом, поскольку в нашем случае Ф(г) - квадратичная функция и задача (5) решается тривиально, то для построения эффектив­ ных алгоритмов приближенного решения некорректно поставленной задачи

(1) на множествах Z l c ,Z c , Z l c достаточно научиться эффективно решать задачу (4). В § 3 гл. II мы просто вычислили вершины многогранников

М1С, М±с> Мс, М 2с • в которые переходят множества Z l c , Z l c , Zc при конечно-разностной аппроксимации. Теперь задача (4) может быть просто решена перебором вершин указанных многогранников. При этом решении

задачи (1) на множестве выпуклых функций Zc многогранник Мс можно

заменить на многогранник М2С (см. замечание к теореме 6 гл. II). Послед­ ний многогранник имеет п + 1 вершину и решение задачи (4) также не сос­ тавляет труда. Итак, задача линейного программирования (4) решается на каждой итерации за п шагов перебором вершин указанных многогранни­ ков.

З а м е ч а н и е . Рассмотрим случай, когда оператор Л задан прибли­ женно. Пусть точное решение задачи (1) принадлежит одному из множеств

Z |c , Z c или Z lc . В этом случае (см. гл. И) за приближенное решение мож­ но принять произвольный элемент г ц соответственно из Z l c ,Z c или Z |c , для которого II Ahzv - us II < Ф(h, II z^ II) + б, а если операторы А, Ан ли­ нейны, то II Ahzn - иь I K h II z n II + б. Очевидно, что в последнем неравен­ стве норму z n можно заменить ее оценкой сверху постоянной С0 = sup II z II

соответственно на множествах Z |c , Z c или Z l c . В качестве С0 можно принять, например, С(Ь - а) . После этого алгоритмы отыскания прибли­ женного решения некорректно поставленной задачи (1) на множествах

Z4C, Z c или Z l c строятся так же, как и в случае, когда оператор известен точно.

Проиллюстрируем возможности методов типа условного градиента на специальных множествах. Будем, как и прежде, в качестве модельной

На рис. 3.2 приведены результаты расчета для уравнения (6) на мно­ жестве монотонно убывающих функций. За точное решение уравнения

87

(6) берется z (s) = 1 —s2, правая часть (6) возмущается случайной погреш­ ностью, равномерно распределенной на отрезке [—60,5 0], где 50 составляет 1 % от максимума значений правой части. При этом среднеквадратичная погрешность соответствует значению 52 = 7,36 *1(Г6. Точное решение и най­ денное после 400 итераций приближенное решение изображено на рис. 3.2*). Полученное приближенное решение соответствует значению функционала невязки Ф(г) =7,97 • 10~6. Дальнейшее применение метода условного градиента мало изменяет невязку и решение. Использовалось начальное

(6)на множестве монотонных выпуклых функций. Точное решение"* (s) =

=1 —s2. Уровень возмущения входных данных составляет 3 % от макси­ мума правой части. Полученное при этом приближенное решение соответ­ ствует значению невязки 6,62 • 1(Г5 и получено после 50 итераций метода

*) На рис. 3.2-3.12 точкам соответствует приближенное решение, сплошной ли­ нии - точное решение.

88

Возможности метода условного градиента демонстрирует и рис. 3.4. Здесь задача (6) решается на множестве выпуклых функций. Точное реше­ ние F(s) = 4s(l - s), правая часть возмущена таким образом, что б2 = = 8,22 * 10’ 6 . Приближенное решение, полученное после 800 итераций ме­ тода условного градиента, соответствует значению невязки 9,31- 1(Г6, что составляет примерно 1 % от максимума правой части.

Метод условного градиента может быть использован также для пост­ роения приближенных решений задачи (1) на множестве функций ограни­ ченной вариации К. В § 5 гл. II было показано, что за приближенное реше­ ние задачи (1) в случае, когда точное решение есть непрерывная функция ограниченной вариации, можно взять произвольный элемент реализую­ щий минимум V%(z) на множестве F(r?). Будем для простоты считать опе­ ратор А линейным и известным точно (h = 0). Тогда за приближенное ре­ шение задачи (1) принимаем такой элемент z5, что

r£(z6)= min F»(z) = т. Z е К(ч)

Будем решать эту задачу следующим образом. Пусть С такая произ­ вольная константа, что С ^ т. Поставим следующую задачу. На множест­ ве функций Fc = { z: Fj(z) < С }, вариации которых не превосходят С, найти такой элемент zc , что II Azc -Mg II < б*). Эту задачу можно решать,

ны эффективные численные алгоритмы решения некорректной задачи на множестве Fc .

Теперь остается найти наименьшее значение С, для которого выполне­ но условие

min 4>(z)<52, z ^ v c

т.е. задача нахождения zc разрешима. Приближенно эту задачу можно ре­ шать простым перебором (уменьшая С) на выбранной сетке значений пара­ метра С.

Таким образом, мы пришли к следующей задаче: построить последова­ тельность, минимизирующую квадратичный функционал Ф(г) на множест­ ве функций, вариация которых не превосходит заданного значения С. После перехода к конечно-разностной аппроксимации возникает задача: построить последовательность векторов z ^ е R”, минимизирующую квадратичную функцию у (z) на множестве Мус векторов z Е R”, компоненты которых удовлетворяют неравенству

I *2 - *ii +!*з - z21+ . . . + \zn - z„_1|<C.

Предположим для простоты, что известно одно из граничных значений Г(а) или z (Ь) . Не уменьшая общности, будем считать, что"г (б) = 0. Тогда естественно положить zn = О.

*) Последняя задача имеет самостоятельный интерес, так как множество Ус яв­ ляется компактом в Lp, р > 1. Таким образом, приближенное решение, полученное на множестве корректности Vс- сходится к точному решению задачи2 в Lp, р > \.

89

Рассмотрим более подробно вопрос о том, что представляет собой

/¥= к, О

Поскольку йкТ(к) = —8к т(~к} ф 0, то из последнего равенства следует, что я _ * < 0 . Полученное противоречие доказывает лемму.

Т е о р е м а 1. Множество векторов Мус представляетсобой выпук­

лый многогранник в R", вершины которого Г*7* (/ = —(я —1) , . . . , —1, 1,. .. , я - 1) имеютвид (7).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку выпуклая независимость векторов

/= - ( * - О

/* о

90