книги / Численные методы решения некорректных задач

при отсутствии ограничений обычное

поведение

(непрерывность, строгая

монотонность) таких функций, как

невязка,

не имеет места [62, 64].

В качестве пространства Z и Uвыберем

Z = U=R пространство дейст­

вительных чисел с естественной нормой II z

HR = | z | . Пусть а0 - положи­

Р и с.

1.6. Графики функций

<t>5 (a),

0

а'0

а

уg (а), /3$ (а) для нелинейной задачи

ного примера.

А, V и пространства

Итак, пусть дана задача (39), причем операторы

Z, X,

U удовлетворяют условиям,

перечисленным

выше; о множестве

D С х

дополнительно предположим, что О £ D. Оператор А будем считать

заданным точно.

Рассмотрим функционал

Ма [х]= Ъ АУ х - Щ II2 +

а Их II2.

Меру

несовместности

уравнения (39) на множестве D

определим как

Мб(мб

,А)=

inf

WAVх -

и6 II.

JC е

D

считать, что нам известно приближение р кь {щ,А)

Как и в § 1, будем

меры

несовместности

Д5 с точностью к > 0. Точность к

будем считать

согласованной с 6 таким образом, что к (б) -*0 при 5 -*0.

Л е м м а 10. Для любого мб Е ( / и любого a > 0 задача:

найти

Ма[х]

inf

х е D

разрешима, т.е. множество экстремалей X* Ф ф.

Доказательство этой леммы фактически дано в работе

[168]. При рас­

смотрении задачи с ограничениями необходимо учесть, что множество D П

П S (0, R)

для любого R > 0 слабо компактно, так как X —гильбертово

пространство, а D

выпукло

и замкнуто, и необходимо воспользоваться

непрерывностью оператора А V, действующего из слабой топологии прост­

ранства X в сильную топологию пространства U, а также слабой полунепре-

рывностью снизу функционала Их II2.

Пусть Q —оператор выбора, сопоставляющий множеству экстремалей

Х% фиксированный элемент х£ G

: QX% = х£ Е X*. Как и в § 4, рассмот­

рим вспомогательные функции

Ф5(а)

=

WAVx% -

II2

+ а Их£ II 2,

75 (а)

=

llxf

II2,

&>(<*)= lU K xf - м 6 II2 .

Xg Ф0 для любого а Е

(0, а0), функция Фб (а) строго монотонна.

3. Справедливы следующие соотношения:

lim

75 (а) =

lim

а 75 (а) = 0;

Ф + оо

ос —►+°°

lim Ф6(а) =

lim

/}5(а)= l\A V 0 - и6 II2 =v% ;

01 —►+00

(х —> +°°

lim

а 75 (а) = 0;

а -+О+ О

lim

Ф5(а) =

lim

/35 (а) = (р5 (м6 , А))1.

«-►0 + 0

л -*• о + о

в лемме 3 §4 . Заметим, что если х G D, \\AVx - ud 11<б,то

(и8, А) <5.

Будем считать, что б Е (0, б0]

(б0 фиксировано) и выполнено естест­

венное условие v§ =

ЧA V0 — щ

II >

б0 + М5(^5, А). Пусть число С, не

зависящее от б, удовлетворяет соотношениям

К С

\\A V 0 - u 6 \\

vb

(42)

< -------------- — = --------------------- .

5о

+ Мб(мб ^ )

5о + Мв («б, А)

Для данных Си иь введем в рассмотрение множества [64]

А\ ={<*: « > 0 ,

& (« )>

(6 + м2 (us ,A))2 );

А \

= { « :« >

0,

к ( а ) < С2(6+

м2 («6, Л))2};

В\

={а: а >

О, 06(“) <

(б + 1Л%(и6, А))2 };

В26 ={а: а>0,

Ф6(а)> С2(б + ni(uBtA ) f ) .

Л е м м а

12. Множества А 2 , А в , Вв , В\ непусты.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Справедливы следующие утверждения:

A J Фф, так как

lim

0г (а)=

> С 2(б + м2 (“в, А))2;

01 —■►+ оо

А \

Ф ф, так как

lim

06 (а) = (м6/“б. А ))2 < С2 (5 + Ms (м«, А))2;

ос -+ 0 + О

в \

Фф, так как

а

lim

06 (<*)= (Ms (“s. А))2 < (б + м2 («5. Л))2;

0 + О

В\Фф, так как

lim

Ф6 (а) = ^

> С2 (б + м2 (w6. Л))2.

а -* +°°

Все эти предельные соотношения доказаны в лемме 11.

Л е м м а 13.Множество

Е ь = (А \С \А \)

U (В\ П 5 | ) непусто.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А\

П А \ = ф. Тогда выбор а по принципу

невязки из неравенства (б + цк6 (и&, А ) ) 2 <

06 (а) < С 2 (б + ц%(иь,А))2

невозможен. Покажем, что в этом случае 2?£

С\В\ Фф. Для этого заметим,

что поскольку

& (а) монотонно не убывает при а > 0, то найдется такое

а* = sup {а: а > 0, Р6(а)<(8 + м2(мб. А ) ) 2} = supfi^,

что а* > 0. Причем по предположению

Tim

— 0

& (а) « (б + ^ ( u s , A ) ) 2,

а -* ос

lim

0б(«) > С2(8 + м2 (ив, А))2.

ос

ос * .+ 0

lim

ФА(а)> С 2(5+м£(ий, Л))2 +<** llx£ V

> С2(5 +

(иьА ))2

ос -* ос +0

(последнее неравенство верно, если

х%* Ф 0),

lim

Ф6(а) = 0М «л, А))2 <

С2(6 + ц\ (м6> А ))2,

Of -* 0+0

можно утверждать, что

В \ Фф.

$

= 0, то X* ={0)

и Ф6 (а) =

(а) = v\

для всех а > а* a

Если же х*

поэтому

lim

Ф5(а:) = Ф

б ^ * ) ^ ^

С2(8+ UKs {u6tA))2.

ос — a*

+0

Сформулируем теперь альтернативный принцип выбора параметра

регуляризации: пусть й = A Vx, х £

D, II и -

щ II < 6

0 при 6 -*0 и пусть

выполнено

(42). Тогда в

качестве

приближенного

решения

(39) будем

выбирать*5 =Xg Е

где

Е8.

сл

Т е о р е м а

7. Пусть 6„, кп -* 0 ирм л -►°°.

-* х, a Ух&п ->

-> Г = F 3F сильно в норме пространства Z .

А 2 п, то

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

^

А \п

в силу экстремаль­

ных свойств х&псправедливо

(5

/О)2 + «„ II хЬн II2 <

<

|| лкх6и -«б„

II2

+ а„ 1хЬн II2

<

<

ИЛ Fx

-M6fj II2 + а„ II х

II2

<

52 +

<

(5,.

+

о„

(“ьпА ))2 + «л

Л

II2,

п

и, следовательно,

11*6

II

<

II х II.

°п

Если a „ e B l п П В\°п , то

мК"6 ( «

б „ , / 0

) 2 ,

Ф

б „ (5 „ )>

с 2( 5 „ +

Фб„ ( <*n)

<

II A V x

- U6 п II2

+

ап II X

II2 <

<

(5„ + /

5"

(и6

п

A ) ) 2 * eiH U

II2.

°П

Из этих неравенств получаем

— 'СГ

S’. И*6„

II2

<

2

1

Фб„(а„)< а» II*

II2,

откуда

" ' • ■ ' ^ с Г Л

1 * 1 * .

Таким образом, последовательность {*б„} относительно слабо компакт­

на. Далее, поскольку в обоих случаях

М

« я )=

- “ы

1,2 <

с 2(5„+ л*; к , м

» 2 ^ о

при п -►°° и оператор ЛК

усиленно

непрерьгоен, то,

как в теореме 1,

ел

_

_

_

в норме пространства Z.

хьп -►х . Следовательно,

Кх

= z

З а м е ч а н и я . 1.

Таким

образом, z bn - Vxbyj можно рассматривать

как приближенные решения уравнения

(1) с нелинейным оператором А.

2.

Альтернативный принцип невязки означает, что если выбор ос по

рыва

согласно принципу

сглаживающего

функционала [120,

128, 138].

3.

В формулировке

альтернативного

принципа невязки

можно по­

д = inf

IIA z - й II > 0

z е

D

д > 0, то такой элемент ~z - argmin IIA z -

й II

(IIA z - ЪII = д, Т Е D) назы-

z е D

_

вается псевдорешением. Если

множество

псевдорешений Z = { z : z ED ,

IIAz

-~й\\ = д}состоит не из

единственного

элемента, то легко видеть,

что Z

выпукло и замкнуто, а

поэтому существует единственный элемент

z = argmin II z II.

(43)

z е z

приближенным данным {Ан,

vh V = ($, й), 5 > О, h > О,

II щ - ~й\\ <

< б, \\Ah —A IK Л, рассматривая как частный случай ц = 0.

Легко показать, что построенный выше ( § 2 ) алгоритм не является

регуляризирующим

в случае, если Д"> 0. Рассмотрим пример

[100]: D =

= Z = U = R2, z

Уравнение (1) —система линейных алгебраических

х + оу = 8,

Г 1

о

й

х + 2оу = 1,

т е. Ан =

2о

где | а | < —— ,

[1

у / Т

ИЛ - A h II < А, и6 = ^ ^ , II

- и II = 5, 5 > 0 .

ние

_ /1

/2 \

=

ъ = ^

^

I . Мера несовместности возмущенной системы

= inf

11>1лг

-

us II = 0 УоФ 0, 5 > 0, так как Ah соответствует невырож-

inf II z II,

z € Z n ={z:

zGD,

\\Ahz - ив II2 <(б + Й llz II)2

+Ц^(щ,Аи)}

или в данном случае z =

Z n = {z: (х + оу -

8)2 + (х + 2ау ~ I)2 < [б + й(х2 + j 2)1^2]2}.

Для достаточно

малых А, б F ^ Zn, так как, предположив противное,

приходим к неверному неравенству 1/2 < 5(1 —5)

+ (б + й/2) 2, правая

приближенного уравнения

Pnfo, Ah) =

inf

ИЛйг

-

II использовать

z

G D

следующую оценку сверху для меры несовместности [35,111]:

=

inf

(5 + /2 II zII + ИЛЛг -

ид II).

(44)

z G D

Л е м м а

14

[35]. При сформулированных выше условиях Рп {us,Ah)>

> р , причем

Urn

Дт?(ИбМл) = Д’

17 -►

О

Поскольку для любых z ED

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Д =

inf

II Ан * -

Мб II ^ II

- Ah) z II + II и -

u$ II

+

z G D

+ iii4/,z -

Mg К

h il zll + 5 + \\Ahz - иь II,

TO

Д<:

inf

(6 +/2 llzll+11Ллг - м 6 1) = /хт?(Цб,Лл).

z G D

Далее, пусть z ED таково, что il Л г - и II = Д . Тогда

Д < p n(u6, Ah)

=

ini

(8 + Л

II zll + II Ahz - иь \\)<

z G D

< 5 + h II z II + II Ahz - иь II < 6 + h II z II + И(A - Ан) * И+

+ II щ

- й II + IIA t - и II < 2(8

+ h II z II) + Д,

т.е.

p v (a ) = II AhZJJ -

IP - (5 + h II z* II + p ^ f o ,Ah) f ,

(45)

1)

р^(а) непрерывна и монотонно не убывает при ос > 0;

2)

lim

р£(а)

=

II ы6 II2 - (5 + % (ы6,Ah) f \

Ot —►+оо

3)

Пт

Р$(а)

<

(Мч(“б>Лй))2 ~ ( s + р5(«8,Л й))2 < 0, так как

а -> О + О

мт,(и8,Лл) <

^ ( “6-^*);

IIщ И> 8 +ft,(usMh);

(46)

тогда найдется такое а* > 0, что

(47)

Р?(«*)

=0.

Последнее уравнение эквивалентно уравнению

1Анг*

- м6 И= 5 +А llz" i + {j.^(us,Ah),

(48)

невязки: по заданным (ЛЛ, м5, т?) вычисляется

д£(нб М л) =

(8 +А II гII + II ЛЛг -

м6 II) +к =

= Ап(ИбМл) + к;

к > 0 , к = #С(Т7)0

при 77 О

(подробнее о вычислении д*(м6, Ан) см. ниже).

Если условие (46)

не выполнено, то в качестве приближения к нор­

нено, то находим

а*, удовлетворяющее уравнению (47). В качестве при­

ближения

к нормальному

псевдорешению уравнения (1) полагаем

г = z a*

е,г\ •

8. lim

=7, где 7 - нормальное псевдорешение урав-

Т е о р е м а

нения (1),

п -* о

т.е. построенный алгоритм является регуляризирующим алго­

ритмом отыскания нормального псевдорешения уравнения (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если Г = 0, то

<

(8к + hk llz4fcll+ ft!^(usk> Ahk) f

llztjk H2 =

=

^AhkZr,k —MgII2 + “it Пгп * II2 <(8fc+Afc Иг Il + Д-)2 + otjf IIz II2. (49)

II znk IK

II г II.

(50)

Считая, как

и при доказательстве теорем 1, 2, что znk

сл

- > г * , г * € Д

получим неравенство

II г* II <

Иш

II гч II <

Цт Иг„ II < 1 г* 0.

(51)

к -+ оо

'к о©

<

2(8k +hk U r)J ) + ^r)(u6k,Ahk)<2(8k +hk II* II) +

+

£i,(“s fc, A„k) -*■Ц

ДГ

= inf

WAVx- й II,

(52)

х е D

причем множество псевдорешений

X

= {х.

xGD, ЫУх -м 1

=д )Фф.

ХИ= { х„:

*н = argmin IIх II} = Argmin IIх II.

х G X

х G X

Теперь по приближенным данным! Ah, щ , г\ } построим оценку сверху

меры несовместности

$п(и8, Ah) = inf

{ 5 + ф(Н, II Vx II) + II AhVx - us II}

(53)

x G D

(требования к функции

ф(к, у)

сформулированы в начале § 8).

Л е м м а

15. При сформулированных в начале §8 условиях от­

носительно пространств X,

Z,

U, операторов А, Ah и функции

ф (h, у)

Мт? ("б >АН) Ж

причем

iim

^(«5,^4/,)= /х.

д <

inf

(8 + ф(h, II Vx») + U hVx - щ II) = Цг,(щ,А„).

x e D

Далее, пусть х Е Х Я

D, т.е. IIA Vx —и II = д- Тогда

jtKj^Cus,

Ah) =

inf

(8 + ф(И, II Fxll) + I\AhVx - щ II) <

x e

D

< 8 + фф, II Fx II) + HAhVx - US IK

< 8

+ фф, II Vx В) + $AHVX - A Vx И+ Iln - u8Я+

+ HAVX -

M IK 2(8 + ф(И, II Vx II)) + д -»• м