книги / Численные методы решения некорректных задач

ленные методы, не требующие вычисления производных функций р* (а), такие как, например, метод хорд, метод деления отрезка пополам. При этом для отыскания z*E D при фиксированном а > 0 необходимо приме­ нять градиентные методы минимизации сглаживающего функционала с ограничениями [43,145].

Некоторые алгоритмы численной реализации обобщенного принципа невязки для задач как без ограничений, так и с простыми ограничениями будут рассмотрены ниже.

В настоящей работе мы совершенно не касаемся вопроса о решении неустойчивых экстремальных задач, рассматриваемого, например, в рабо­ тах [И , 28, 33, 111, 117, 137, 171-173, 179]. В стороне остались также вопросы применения регуляризованных ньютоновских, квазиньютоновских и других итерационных методов [1, 15, 16, 30, 31, 44, 45, 80, 81, 154,187,188].

§ 5. Конечномерная аппроксимация некорректных задач

При решении некорректных задач обычно необходимо аппроксимиро­ вать исходную, чаще всего бесконечномерную задачу некоторой конечно­ мерной задачей, для которой и будут разрабатываться вычислительные алгоритмы и программы для ЭВМ.

Мы рассмотрим вопрос о переходе к конечномерной аппроксимации на примере интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Мы не будем останавливаться на том, какие условия должны быть наложены, чтобы гарантировать сходимость конечномерных экстремалей аппрокси­ мированного сглаживающего функционала к экстремали исходного функ­

иприменять некоторую модификацию обобщенного принципа невязки

[61].В дальнейшем будем считать, что размерность конечномерной зада­ чи выбрана настолько большой, что погрешность аппроксимации опера­ тора А уравнения (1) значительно меньше погрешностей А и 6.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода:

F (s), соответствующее м(х), есть гладкая функция на [а, Ь]. Например, будем считать что z(s) непрерывна на [а9Ъ] и имеет почти всюду про­ изводную, интегрируемую на [я, А] с квадратом. В этом случае естественно положить Z = W\ [а9Ь] .

оператор, соответствующий ядру Kh (x,s) .

31

Используя стандартную схему построения регуляризирующего алго­ ритма, мы получим приближенное решение z ^ v^ Е Z = W\ [а, Ь], которое при 1 7 0 сходится к F в норме пространства W\ [д, Ь] . Из теоремы вложе­ ния Соболева [153] следует, что z**1® при г}-+0 сходится к z равномер­ но на [я,6 ] , т.е.

В описанной постановке функционал Ma [z] для задачи (26) имеет

вид

При построении конечно-разностной аппроксимации для простоты будем исходить из выражения (27) для сглаживающего функционала.

Для этого прежде всего выберем сетки { = г и соответст­ венно на отрезках [а, Ь] и [с, d]. После этого, пользуясь каким-либо квадратурными формулами, например формулами метода трапеций, можем построить конечно-разностный аналог оператора А интегрального урав­ нения (26). Конечно-разностный оператор (который мы также будем обозначать через A: Rn ->Rm там, где это не вызывает недоразумений) является линейным оператором с матрицей А = {д//Ь Простейший вариант аппроксимации, которым мы будем пользоваться в дальнейшем, дается формулами

I s 1 , 2 , . . . , m .

Для завершения перехода к конечномерной задаче теперь достаточно аппроксимировать интегралы, входящие в квадраты норм в пространст­ вах W\ и L 2 •Будем считать для простоты, что сетки равномерны с шагами hs и hx . Обозначим z(s7*) = z7-, и5 (xf) = щ. Используя для аппроксимации интегралов формулы прямоугольников, получим

/[z(s)]2d s ~ 2 zf hs;

а/ = 1

/[^ (s)]2cfs« 2 (Zy-Zy.iJ2/*,.

Теперь можем легко выписать условия минимума по переменным Zj, / = 1, 2, . .. , и, функционала

Ат п

32

аппроксимирующего (27):

компоненты вектора / . Таким образом, мы приходим к задаче решения системы уравнений

Заметим, что если рассматривать оператор А интегрального уравнения (26) как действующий из £ 2 [а, Ь] в Ь г [с, d] (информация о гладкости точного решения J (s ) отсутствует), то сглаживающий функционал при­ нимает вид

M“ M = IU/,Z —H6 111,+ <*11*111,,

и уравнение для его экстремали после перехода к конечно-разностной аппроксимации записывается в форме (28) с матрицей

К системе уравнений (28) можно прийти, исходя из уравнений Эйлера AfiAhz + az = 0 в W\ [а, Ъ]. Здесь Ан - оператор из W\ [я, Ь} в

33

Р и с . 1.2. Результаты модельного расчета с помощью решения уравнения Эйлера и вы­ бора параметра регуляризации по обобщен­ ному принципу невязки при следующих

L 2 [0, Ь] , А% - оператор, сопряженный к Лн, А%: L2 [с, d ] ->W2 [a,b]. Используя свойства оператора А%: L 2 -*W\ [165,181] и переходя в уравнении Эйлера к конечно-разностной аппроксимации, нетрудно вновь получить систему уравнений (28) .

В качестве иллюстрации рассмотрим результаты решения модельной задачи для уравнения (26) . Пусть

я = О, Z>= 1, с= —2, d = 2; K(x,s)= 1/(1 + 100(*-s)2);

z (s) = (exp { -(s - 0,3)2 /0,03} +

+ exp { -(s - 0,7)2/0,03 } )/10,9550408 - 0,052130913; n = m = 41.

Результаты расчетов на ЭВМ с помощью численного решения уравнения Эйлера и выбора параметра регуляризации в соответствии с обобщенным

численные методы минимизации функционалов, например метод сопряжен-

34

Рис. 1.3. Результаты модельного расчета с

при уровнях погрешностей h 2 =2,24 X 10“7, б2 = 6,87 X 10'6

ных градиентов. При этом можно рассматривать задачи с ограничения­

§ 6. Численные методы решения некоторых задач линейной алгебры

Для решения системы линейных уравнений (28) можно использовать различные численные методы. При этом следует учитывать, что матрица В 01 системы является симметричной и положительно определенной. Это позволяет использовать для решения (28) очень эффективные специаль­ ные методы.

В качестве одного из таких методов можно предложить метод квадрат­ ного корня [189]. Поскольку матрица В а с элементами bfj вещественна, симметрична и положительно определена, то она представима в виде про­ изведения матриц (Та)*Та ,где Та —верхняя треугольная матрица:

Элементы матрицы Т01 находятся последовательно по следующим фор­ мулам:

Ьл *

/* 2 ,3 .........я;

35

Система (28) принимает вид

(Т*У T az a =f.

Введя обозначение у 01= Т01z a, можно заменить уравнение (28) эквива­ лентно двумя другими:

(T« y y * = f Taz a =y0l

Каждое из этих уравнений решается элементарно, так как имеет треуголь­ ную матрицу. В [189] приведены экономичные стандартные программы решения систем линейных уравнений методом квадратного корня.

При отыскании корня невязки или обобщенной невязки систему

а правая часть вообще не изменяется. Это позволяет строить специальные

матрица, транспонированная к Л/,.

Пользуясь методом квадратного корня, по формулам (29) трехдиаго­ нальную матрицу С можно представить в виде C = S*S (отметим, что мат­ рица S будет двухдиагональной). Сделав замену j>a =.Sza (za =S~V a)> получим

(A%Ah ^ a C ) S 'ly 0l=A*hu.

Умножая это уравнение слева на (S“!) *, получим

(D*D + aE)ya =D*u, D ^ A hS ^ .

Представим матрицу D в виде D - Q P R , где Q —ортогональная мат­ рица порядка m X m ,R —ортогональная матрица порядкап Х п 9Р —правая двухдиагональная матрица порядка тХп (матрицаР имеет отличными от нуля лишь элементы Pn,Ptj+i)- Для построения такого разложения дос­ таточно найти такие Q~l , R ~l , чтобы матрица Р = Q~lDR~x была двух­ диагональной.

Матрицы QT1 ,R~l можно искать, например, в виде б ”1 = Qn . . . 6261» R~%= R\R 2 . . . Rn, где Qi,Rf —матрицы операторов отражения ( /= 1, 2, . . .

. . . , п) (см. [40]), удовлетворяющие равенствам б/ = б/*= QJl , Rt = Rf= = R i 1 ( / = 1, 2, . . . , я). Тем самым Q = 6162 .. .Qn >R =RnRn-i - Ri- Матрицы Qiy Rf будем строить следующим образом. Пусть ах —первый столбец матрицы D . Матрицу 61 будем искать из условия обращения в нуль всех элементов, начиная со второго, в первом столбце матрицы

36

где / — вектор-столбец из Rm с координатами (1, 0, 0, . . . , 0). Таким образом,

(*<*>)*.

Теперь матрицу R x будем выбирать так, чтобы в (QXD)RX,во-первых, остались ненулевыми элементы первого столбца, начиная со второго, и, во-вторых, элементы первой строки, начиная с третьего, были нулями. Первому требованию можно удовлетворить, если искать R х в виде

1 0 . . . 0 “

0

Ri

L о

Пусть Ьх — первая строка матрицы QXD без первого элемента, bx Е R" 1. Тогда второе условие будет означать, что (bх, vg) =0, v§ —столбцы мат­

где 0/, Rg — матрицы отражения в пространствах меньшей размерности.

без труда решается с использованием порядка п операций, например мето­ дом прогонки [151]. Обратный переход от переменных х а к переменным осуществляется оператором S ~lR Однако этот переход к переменной z01 часто нет необходимости делать при каждом а. Например, если h = 0 и вы­ бор а производится по принципу невязки, то необходимо только проверять

реализующие описанный алгоритм.

37

§ 7. Уравнения типа свертки

Даже при решении на больших ЭВМ одномерных интегральных урав­ нений Фредгольма 1-го рода размерности сеток по каждой из перемен­ ных не могут превышать 80—100 точек. Для уравнений типа свертки, которые будут рассмотрены ниже, оказывается возможным построить численные методы, позволяющие решать одномерные уравнения типа свертки на сетках более чем из 1000 точек, используя лишь оперативную память ЭВМ средней мощности. При этом учитывается специфический вид уравнений типа свертки и применяется преобразование Фурье (для не­ которых других типов уравнений 1-го рода с ядрами специального вида эф­ фективно применяются другие интегральные преобразования, см. [82, 143, 178]). Разработка численных методов специально для уравнений 1-го рода типа свертки началась в работах [53, 56, 156-158, 178].

В настоящем параграфе будут рассмотрены методы решения одномер­ ных и двумерных уравнений типа свертки. Рассмотрим часто встречаю­ щееся в приложениях (примеры физических задач см. в [71, 178]) интег­ ральное уравнение 1-го рода

т.е. А —взаимно однозначный оператор. Будем рассматривать задачу (30) без ограничений (D = Z ). Пусть некоторой функции и (х) соответствует единственное решение уравнения (30) — функция z~(s)GW2, причем известны не сама функция й (х) и оператор А , а заданные с известными

Рассмотрим сглаживающий функционал

Ma[z] = \\Ahz —иь \\\7 + all z ll^/i .

Поскольку W2 (—00, +°°) — гильбертово пространство, то (см. §1) для любого а > 0 и любого иь G L 2 существует единственный элемент z“ (s), реализующий минимум функционала M a [z]. Если выбор параметра регу­

мерно сходится к z (s) на каждом замкнутом отрезке вещественной оси. Воспользовавшись теоремой о свертке, равенством Планшереля [23] и проварьировав функционал M a [z] на множестве функций из W2,

38

а затем построить ядро обращения Ка (Г), используя стандартные програм­ мы вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций, и при­ менить формулу (32). Вопрос о выборе параметра регуляризации а рас­

A : W\ [0, 2д] -*Z,2[0, 2а].

Оператор А (ядро К (у)) может быть задан как точно, так и приближенно. Пусть выполнены следующие условия на носители входящих в уравнение функций:

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно доказать, что однородное уравне­ ние имеет лишь тривиальное решение. Предположим, что это не так. Тогда найдется такая функция z (5) =£0, что

2а

/К (х - s) z (s) ds = 0.

о

39

Поскольку К (у) и z (,s) имеют локальные носители, то, доопределив указанные функции нулями на всей числовой оси и применив преобра­ зование Фурье, получим

k(co)z(cS) = О,

где К(со), z(co) - образы функций К (у), z(s). Функции К (у) и z (s) имеют локальные носители, поэтому А(со) и г (со) - аналитические функ­ ции (см. [23]) и, следовательно, z (s) = 0. Лемма доказана.

В силу условий, наложенных на носители, после доопределения нуля­ ми функций z (s), и(х) на отрезке [0, 2а] и функции К (у) на отрезке [-я , а] их можно периодически продолжить с периодом 2а на всю вещест­

(в дальнейшем n предполагается четным). Аппроксимируем уравнение

(33)для простоты по формуле прямоугольников:

л—1

делим дискретное преобразование Фурье [17, 125] для функции f k диск­

Здесь сот = тАсо, Асо = 2n/T.

Обратное дискретное преобразование Фурье имеет вид / , = - " £ * ?те1“ т*к)

Пт =0

к- 0 ,1 , ... , л —1.

Доказательство этого факта непосредственно следует из соотношения

40