5433

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец – с концом вектора b, при чем конец вектора a и начало вектора b совмещаются и обозначается:

c = a + b.

Пусть даны вектора a и b. (См. рис. 2)

Рис.2

Чтобы их сложить, то есть найти сумму a + b этих векторов, необходимо нарисовать a и b в одном и том же масштабе таким образом, чтобы начало вектора b – второго слагаемого, совпало с концом вектора a –

первого слагаемого (см. рис. 3). Тогда отрезок, соединяющий начало вектора a с концом вектора b будет суммой a + b в том же масштабе, в котором

представлены a и b.

b

a

a + b

Рис. 3

10

Противоположным вектору a называется такой вектор (− a),

который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть (− a)+ a = 0.

Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и

вектора (− b), противоположного вектору b, то есть a − b = a + (− b).

Произведением вектора a на число λ называется такой вектор λa, направление которого совпадает с вектором a, если λ > 0 и

противоположно направлению вектора a, если λ < 0; длина же вектора λa

вλ раз «больше» длины вектора a, то есть

λa = λ a .

Пусть дан вектор a (см. рис. 4), тогда векторы b = 2a, c = −3a

изображены на рисунке 5.

b

a

c

Свойства линейных операций над векторами:

1.(a + b)+ c = a + (b + c)

2.a + b = b + a

3.a + 0 = a

4.a + (− a)= 0

5.α (β a)= (α β )a

11

6.λ(a + b)= λ a + λ b

7.(λ + µ)a = λa + µa

8.1 a = a, где α , β , λ , µ – действительные числа.

Действия над векторами в координатной форме.

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i, j , k

пространства, через которые условились выражать все векторы пространства, называются базисными векторами или базисом.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

векторов i, j и k называются осями координат. Плоскости xOy, xOz и yOz, проходящие через каждую пару осей координат называются координатными плоскостями.

Если выбрана прямоугольная декартова система координат, то любой вектор a пространства может быть единственным образом разложен по векторам i, j , k базисным как:

12

a = a1 i + a2 j + a3 k ,

то есть для каждого вектора a пространства в выбранной прямоугольной декартовой системе координат найдется единственная тройка чисел – координат {a1,a2 ,a3}, что позволяет написать равенство:

(см. рис. 6).

Если два вектора a и b в прямоугольной декартовой системе координат заданы своими координатами, то есть

b= {b1,b2 ,b3}, то

1)λa = {λ a1,λ a2 ,λ a3};

2)a + b = {a1 + b1;a2 + b2 ;a3 + b3}.

Пример. Найти координаты вектора c = 2a + b, если a = {1;2;3},

b = {−1;0;1}.

Решение:

2a = {2 1;2 2;2 3}= {2;4;6}.

c = 2a + b = {2;4;6}+ {−1;0;1}= {2 + (−1);4 + 0;6 +1}= {1;4;7}.

Ответ: c = {1;4;7}.

Для произвольной точки M (x; y; z) в прямоугольной декартовой системе координат координатами вектора OM являются проекции вектора на оси Ox, Oy, Oz соответственно, то есть OM = {x; y; z}. (См. рис. 7)

13

Длина вектора OM находится из двух прямоугольных треугольников

OBA и OAM :

OA2 = OB2 + AB2 = x2 + y2 ;

OM = OA2 + AM 2 = x2 + y2 + z2 .

Пример. Найти a , если a = i − 2 j + 2k .

Решение.

Координаты вектора a: a = {1;−2;2}.

Длина вектора a: a = 12 + (− 2)2 + 22 = 3.

Ответ: a = 3.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b

называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и обозначается: a b, то есть

a b = a b cos(ab).

Свойства скалярного произведения:

1)a b = b a;

2)(λa) b = λ(a b), λ R;

3)a (b + c)= a b + a c;

14

Пример. Найти длину вектора c = a + 2b, если a = 2, b =1,

ab = 60 .

Решение. По формуле (2.1), находим

c = c c = (a + 2b) (a + 2b)= a 2 + 4ab + 4 b 2 =

= 22 + 4a b cosab+ 4 12 = 4 + 4 2 1 cos60 + 4 =

=8 + 8 1 = 12 = 23.

2

Ответ: c = 23 .

Если два вектора a и b заданы своими координатами: a = {a1;a2 ;a3}

Пример. Найти скалярное произведение векторов 2a и (− 3b), если

a = {1;2;3} и b = {0;−1;1}.

Решение. Координаты векторов 2a и (− 3b):

2a = 2{1;2;3}= {2 1;2 2;2 3}= {2;4;6};

(− 3b)= −3{0;−1;1}= {− 3 0;−3 (−1);−3 1}= {0;3;−3}.

По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно:

2a (− 3b)= 2 0 + 4 3+ 6 (− 3)= 0 +12 −18 = −6.

Ответ: − 6.

15

Некоторые приложения скалярного произведения:

1. Угол между двумя ненулевыми векторами a = {a1;a2 ;a3} и

b = {b1;b2 ;b3} из определения скалярного произведения вычисляется по

формуле:

следовательно, (ab) = 90 , то есть a b.

Ответ: 90 .

2. Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле:

16

Векторное произведение векторов

Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости) вектора a, b

и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца третьего вектора c поворот от первого вектора a ко второму

вектору b по кротчайшему пути виден против хода часовой стрелки, и левую, если по часовой. (См. рис. 8)

b b

Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой

вектор c, что:

3) тройка векторов a, b, и c – правая, и обозначается a×b = c.

Из определения векторного произведения непосредственно вытекают

следующие соотношения между ортами i, j , и k :

i× j = k , j× k = i, k ×i = j .

Поскольку тройки векторов (j,i,k), (k, j,i)и (i,k, j) левые, то

j×i = −k , k × j = −i, i× k = − j.

17

Свойства векторного произведения:

1)a×b = −(b× a);

2)c× (a + b)= c× a + c× b;

3)λ(a×b)= (λa)×b = a× (λb), λ R;

4)a×b = 0 a || b.

Векторное произведение двух векторов a = {a1;a2 ;a3} и b = {b1;b2 ;b3}

находится по формуле:

= (− 2 − 3) i − (−1− 0) j + (1− 0) k = − 5i + j + k .

Ответ: a×b = − 5i + j + k .

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b (см. рис. 9)

равна модулю векторного произведения векторов a и b, так как:

b

α

a

Рис. 9

a×b = a b sinα = Sпарал.

18

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (см. рис. 10) равна половине модуля векторного произведения, построенного на векторах a и b, то есть

S= 1 S = 1 a×b .

2 парал. 2

b

aРис. 10

Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах

a = 2i − k и b = j − k .

Решение. a = {2;0 −1} и b = {0;1;−1}. Тогда

22

Ответ: 1,5 кв. ед.

Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведение трех векторов a, b и c, составленное следующим образом: (a×b) c, то есть первые два вектора a и b

умножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор c. Такое произведение векторов называется векторно-скалярным или смешанным и

обозначается (a×b) c = abc.

19