5433

Смешанное произведение трех векторов a, b и c представляет собой число, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (см. рис. 11), взятое со знаком «плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.

c

b

a

Рис. 11

Свойства смешанного произведения:

1)(a×b) c = (b× c) a = (c× a) b;

2)(a×b) c = a (b× c);

3) abc = −acb; abc = −bac, abc = −cba;

4) Если abc = 0, то векторы a, b и c компланарны.

Смешанное произведение трех векторов a, b и c заданных своими

Пример. Вычислить смешанное произведение векторов a = 2i − j,

b = j − k, c = i + j + k.

Решение.

a = {2;−1;0}, b = {0;1;−1}, c = {1;1;1}. Тогда

20

Ответ: abc = 5.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c (см. рис. 11) вычисляется по формуле:

Vnap. = abc .

Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a, b и c

(см. рис. 12) вычисляется по формуле:

a c

b

Рис. 12

Пример. Найти объем пирамиды, построенной на векторах

a = {1;2;3}, b = {0;1;−1} и c = {0;−1;0}.

Решение.

21

§ 3. Прямая на плоскости

Под прямой понимают прямую линию. Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства, связывающего координаты точек прямой.

Уравнение прямой позволяет изучение геометрических свойств прямой заменить исследованием ее уравнения. Так, для того, чтобы установить лежит ли точка M0 (x0 ; y0 )на прямой F(x, y)= 0, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям) удовлетворяют ли координаты точки M0 уравнению F(x, y)= 0 этой прямой, то есть выполняется ли равенство F(x, y)= 0.

Пример. Лежит ли точка M0 (1;2) на прямой l :3x − y +1= 0.

Решение. Подставив в уравнение прямой 3x − y +1= 0 координаты точки M0 , то есть x0 =1 и y0 = 2 вместо x и y, получаем:

3 1− 2 +1 = 3 −1= 2 ≠ 0.

Следовательно, точка M0 не лежит на данной прямой l.

Общее уравнение прямой.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости

22

Выберем произвольную точку M (x; y) на прямой l. Тогда вектор

проходящей через точку (x0 ; y0 ) и перпендикулярной вектору N{A;B}.

Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором

нормали прямой. Вектор N{A;B} является вектором нормали прямой l.

Пример. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку

M0 (1;2) и перпендикулярной вектору PQ, если P(0;1) и Q(−1;2).

Решение. Находим координаты вектора PQ, являющимся вектором

нормали прямой l:

N = PQ = {−1− 0;2 −1}= {−1;1}.

Обозначив C = −Ax0 − By0 , получаем общее уравнение прямой на

плоскости вида:

23

Исследуем уравнение (3.2):

1. При A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 уравнение (3.2) примет вид:

Ax + By = −C .

Разделив обе части последнего уравнения на (− C)

где a и b величины отрезков, которые прямая l отсекает от осей координат (см. рис. 14).

yl

b

Пример. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку

M0 (1;2) и отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).

y

l

b

2 M0

Рис. 15

24

Решение. Пусть уравнение искомой прямой l имеет вид (3.3), то есть

l : x + y =1. Так как a = b по условию, то уравнение (3.3) можно

ab

переписать в виде: l : x + y =1 или l : x + y = a.

aa

откуда a = 3. Следовательно, l : x + y = 3 – уравнение искомой прямой.

Ответ: x + y = 3.

Пример. Построить прямую l : 2x − 3y − 6 = 0.

Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида (3.3):

2x − 3y − 6 = 0; 2x − 3y = 6;

Рис. 16

Уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:

By = −Ax − C или y = − A x − C .

B B

Обозначив k = − A , b = − C , получим уравнение прямой с угловым

BB

коэффициентом k :

25

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла α наклона прямой l к

положительному направлению оси Ox (см. рис. 17), то есть k = tgα . y

M0 (1;2) и образующей с положительным направлением оси Ox угол

Решение. Пусть искомое уравнение прямой l запишется в виде (3.4)

последнее уравнение x =1, y = 2 находим: l : 2 =1+ b, откуда Таким образом, искомое уравнение прямой l имеет вид:

Ответ: y = x +1.

Пусть прямая l проходит через точку M0 (x0 ; y0 ) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:

l : y = kx + b,

где b – пока неизвестная величина.

26

уравнением пучка прямых с центром в точке M0 (x0 ; y0 ).

Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси

Oy, так как tg90 = +∞.

Пример. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку пересечения прямых l1 : x − y + 2 = 0 и l2 : 2x + y − 5 = 0 и образующей с положительным направлением оси Ox угол 135 .

Решение. Координаты точки M0 пересечения прямых l1 и l2 находим из системы уравнений этих прямых:

x − y + 2 = 0

+ − =

2x y 5 0

Сложив эти уравнения в данной системе, получаем: 3x − 3 = 0, откуда

x =1. Тогда y = x + 2 =1+ 2 = 3.

Итак, координаты точки M0 (1;3).

По условию α =135 , значит k = tg135 = −1. Подставляя в

уравнение (3.5) k = −1 и x0 =1, y0 = 3 находим искомое уравнение прямой

l : y − 3 = −1 (x −1) или

l : y − 3+ x −1= 0 или

l : x + y − 4 = 0.

Ответ: x + y − 4 = 0.

27

2. При A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax + By = 0.

y l

1M0

Рис. 19

3. При A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 уравнение (3.2) примет вид: By + C = 0

или y = − C . Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Ox и

28

Пример. Построить прямую l :3y + 6 = 0.

Решение. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на

плоскости A = 0, B = 3, C = 6, параллельной оси Ox и проходящей через

точку (0;−2). (См. рис. 21).

y

y

29