5433

ε – окрестности точки x0 вторую производную, непрерывную в точке x0 , то

f ′′(x0 )= 0.

Достаточное условие перегиба функции y = f (x) в точке x0 : если

функция y = f (x) непрерывна в ε – окрестности точки x0 , имеет в точке x0

конечную или бесконечную определенного знака производную f ′′(x0 ), а функция f ′′(x) определена в ε – окрестности точки x0 , кроме быть может самой точки x0 , и меняет знак при переходе через эту точку, то x0 – точка перегиба функции y = f (x).

Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба

функции y = x3 − 3x +1.

Решение. Область определения D данной функции есть множество

всех действительных чисел R, то есть D = R.

Находим:

y′ = (x3 − 3x +1)′ = 3x2 − 3; y′′ = (y′)′ = (3x2 − 3)′ = 6x.

Используя необходимое условие перегиба, находим:

y′′ = 0 6x = 0, откуда x = 0 – точка «подозрительная» на точку

перегиба.

Используем достаточные условия перегиба:

Так как x = 0 D и при переходе через эту точку y′′ меняет знак, то x = 0 – точка перегиба данной функции.

70

Так как для любого x < 0 y′′(x)< 0, то в интервале (− ∞;0) функция

y выпукла вниз.

Так как для любого x > 0 y′′(x)> 0, то в интервале (0;+∞) функция

y выпукла вверх.

Основные требования к результатам исследования

ипостроения графика:

1)все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисление пределов функции, вычисление производных в точках, решение уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой;

2)все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисления привести в решении задачи;

3)масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции;

4)на рисунке изобразить пунктирной прямой вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты, указать уравнения асимптот;

5)обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты;

6)обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты;

7)обозначить координаты точек пересечения кривой с координатными

осями.

71

(x − 3)2

Пример. Построить график функции y = (x −1)3 .

Решение.

1. Областью определения D данной функции y является множество

всех действительных чисел R, кроме x =1, то есть D = R \{1}.

y(− x)≠ −y(x), то функция y не является четной и нечетной, то есть данная

72

данной функции y .

4. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.

Используем достаточные условия экстремума. Найденные три критические точки наносим на область определения D и определяем знак y′

в каждом из четырех интервалов.

y′

73

монотонно возрастает.

5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки

перегиба.

=− (2x −10)(x −1)− 4(x2 −10x + 21)=

(x −1)5

=− 2x2 −12x +10 − 4x2 + 40x − 84 = 2x2 − 28x + 74 .

(x −1)5 (x −1)5

Итак, y′′ = 2(x2 −14x + 37).

(x −1)5

74

y′′

0 1 7 − 23 7+ 23 x

y

y′′(0)= 74 = −74 < 0. −1

Так как точки x1,2 = 7 ± 23 D и при переходе через эти точки

y′′меняет знак, то x1,2 = 7 ± 23 – точки перегиба графика функции y .

(1;7 − 23), (7 + 23;+∞)функция y выпукла вверх.

6. Находим координаты точек пересечения кривой с координатными

осями:

Ox : y = 0 (x − 3)2 = 0, откуда x = 3;

75

7. Строим эскиз графика данной функции. (См. рис. 65).

y

-9

x =1

Рис. 65

76

77

Задание 2

Решить систему по правилу Крамера.

78