Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5433

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

608.05 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

5. При A = 0, B ≠ 0, C = 0 уравнение (3.2) примет вид: By = 0 или y = 0. Это уравнение координатной оси Ox (См. рис. 24)

Рис. 24

6. При A ≠ 0, B = 0, C = 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax = 0 или x = 0. Это уравнение координатной оси Oy. (См. рис. 25)

Рис. 25

Итак, рассмотрены все возможные случаи общего уравнения (3.2) прямой на плоскости.

Выведем уравнение прямой l, проходящей через две заданные точки

M1(x1; y1 ) и M2 (x2 ; y2 ) на плоскости xOyв прямоугольной декартовой системе координат. (См. рис. 26)

M2
M1
l	x
Рис. 26
Поскольку точка M1(x1; y1 ) лежит на прямой l	то, подставляя x = x1 и
y = y1 в уравнение (3.5), находим, что уравнение прямой l имеет вид:
l : y − y1 = k (x − x1 ),	(3.6)
где k – пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая l

проходит и через точку

M2 (x2 ; y2 ), то ее координаты

должны удовлетворять уравнению (3.6), то есть:

− y

= k (x

− x ),

откуда

k =

y2 − y1

x2 − x1

Подставляя найденное значение

в уравнение (3.6), получим уравнение

прямой, проходящей через точки M1

и M2 :

l :

y − y1

x − x1

(3.7)

− y

− x

Пример. Составить уравнение прямой l, проходящей через точки

M1 (1;2) и M2 (−1;3).

Решение. Подставляя в уравнение

(3.7) x1 =1, y1

= 2 и x2 = −1,

y2 = 3, находим искомое уравнение прямой

y − 2

x −1

;

y − 2

x −1

;

− 2(y − 2)=1 (x −1);

− 2y + 4 = x −1,

3− 2

−1−1

− 2

следовательно, l : x + 2y − 5 = 0.

Ответ: x + 2y − 5 = 0.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть две прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми

коэффициентами

k1 и k2 , соответственно, то есть

l1 : y = k1x + b1;

l2 : y = k2 x + b2 .

Требуется

найти

угол ϕ , на который

надо повернуть

прямую l, вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l2 . (См. рис.27)

y	l2
	ϕ	l1
	ϕ
α1	α2
0		x
		x

Рис. 27

По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: α2 = ϕ +α1 или

ϕ = α2 −α1 . Если ϕ ≠ 90 , то

tgϕ = tg(α

−α

tgα2 − tgα1

+ tgα

tgα

Но так как tgα1

= k1 и tgα2 = k2 , то

tgϕ =

k2 − k1

(3.8)

1+ k k

Таким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя

прямыми на плоскости.

Пример.

Найти угол

между

прямыми

l1 : x − 2y +1= 0 и

l2 :3x + y − 3 = 0.

Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых l1 и l2 в виде уравнений с угловыми коэффициентами k1 и k2 , соответственно:

l : 2y = x +1 или l : y =

x +

, значит k

;

l2 : y = −3x + 3, значит k2 = −3.

Подставляя найденные значения

= −3 в формулу (3.8),

находим угол ϕ между прямыми l1

и l2 :

− 3−

−

tgϕ =

= 7, откуда

ϕ = arctg 7.

(− 3)

−

Ответ: ϕ = arctg 7.

Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми,

то правая часть формулы (3.8) берется по модулю, то есть

tgϕ =		k2 − k1		.

	1	+ k k	2
		1

Если прямые l1 : y = k1x + b1; l2 : y = k2 x + b2 параллельны, то ϕ = 0 и

tgϕ = 0, следовательно, из формулы (3.8) получаем, что k2 − k1 = 0, то есть k2 = k1 . И обратно, если прямые l1 и l2 таковы, что k1 = k2 , значит tgϕ = 0, то есть прямые параллельны.

Если прямые l			и l	2	перпендикулярны, то ϕ = π , следовательно
1				2			2
							2
ctgϕ =	1+ k1 k2	= 0, откуда k k					= −1. Справедливо и обратное
ctgϕ =		= 0, откуда k k				2	= −1. Справедливо и обратное
	k2 − k1				1	2
	k2 − k1

утверждение.

Пример. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку

M (1;2) и перпендикулярной прямой L :3x + 2y − 5 = 0.

Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения

прямой с угловым коэффициентом kL :

L :3x + 2y − 5 = 0,

2y = −3x + 5,

y = −

x +

, значит k

= −

Прямые l и L перпендикулярны по условию, значит kl kL = −1,

следовательно, k

= −

Подставляя в уравнение (3.5) k

, x

=1, y

= 2 находим искомое

уравнение прямой l:

l : y − 2 = 2 (x −1) 3

l:3y − 6 = 2x − 2

l: 2x − 3y + 4 = 0

Ответ: 2x − 3y + 4 = 0.

§4. Функция одного переменного. Основные понятия

Понятие функции является одним из главных понятий математики. С этим понятием часто встречаемся в природе, изучая различные процессы и

явления.

Пусть D – некоторое множество действительных чисел. Если каждому числу x D – поставлено в соответствие по какому-то правилу или закону f единственное действительное число y , то говорят, что на множестве D

задана функция одного переменного и обозначается: y = f (x). Число x D

называется аргументом функции, y – значением функции, множество D –

областью определения функции, множество всех значений y , которые соответствуют числам множества D – областью значений функции – E . (См. рис. 28)

E		y = f (x)
y
	D
0	x	x
	Рис. 28
Графиком Г(f ) функции	y = f (x)	называется множество всех точек

(x, y) плоскости xOy таких, что x D , а y = f (x), то есть

Г(f )= {(x, y) x D, y = f (x)}.

Далее будем задавать функцию одного переменного аналитически, то есть с помощью формулы. В этом случае под областью определения D

функции понимают множество всех тех значений x, для которых данная формула имеет смысл.

Пример. Формула y = x2 задает функцию y одного переменного x .

Поскольку данная формула имеет смысл при всех действительных значениях переменной x , то область определения D данной функции есть множество

всех действительных чисел R, то есть D = R. Так как квадрат действительного числа – число неотрицательное, то множество значений E

данной функции y = x2 есть множество всех неотрицательных чисел, то есть

E = {y y ≥ 0}. Графиком функции y = x2 является парабола в плоскости

xOy с вершиной в точке O, ветви которой направлены в положительном

направлении оси Oy. (См. рис. 29)

			y		y = x	2
				E	y = x	2
				E
				1
					D


		-1		0	1	x
						x
				Рис. 29
Пусть	задана	функция		y = f (x), x D ,		такая, что для x1 ≠ x2 ,
f (x1 )≠ f (x2 ), то есть		для любого y E			найдется единственное x D такое,
что f (x)= y	или x = f −1 (y). Тем самым определена функция f −1 , называемая
функцией, обратной к функции				f . (См. рис. 30)

y = f (x)

x = f −1(y)

Рис. 30

Покажем как строим график обратной функции. Если для обратной функции обозначить аргумент через x, а функцию через y , то графики функций y = f (x) и x = f −1(y) совпадают. Разница состоит лишь в том, что для функции y = f (x) ось Ox – ось абсцисс, а ось Oy – ось ординат, а для функции x = f −1(y) роль осей меняется.

Если же обозначить аргумент обратной функции через x, а значение функции через y , то получается иной график. Именно, нужно перевести друг в друга оси Ox и Oy. Это делается с помощью отражения всей плоскости xOy относительно биссектрисы первого координатного угла, то есть прямой y = x. При этом отражении график функции y = f (x) переходит в график обратной функции y = f −1(x).

Итак, график обратной функции симметричен графику заданной функции относительно прямой y = x. (См. рис.31)

yy = f −1(x)

y = x

y = f (x)

Рис. 31

Пример. Функция y = ex является обратной функцией к функции

y = ln x. (См. рис. 32)

y = ex

y = x

y = ln x

Рис. 32

Основные элементарные функции

Следующие шесть типов функции называются основными элементарными функциями:

I. Постоянная функция y = C – функция, ставящая в соответствие каждому действительному числу x одно и то же число C . (См. рис. 33)

D = R, E = {C}.

y = C

Рис. 33

II. Степенная функция y = xα .

а) α – целое число.

Если α – четное, то D = R, E = {y y ≥ 0}.

y = xα (α - четное, целое)

Рис. 34

Если α – нечетное, то D = R, E = R.

yy = xα (α - нечетное, целое)

0		x
		Рис. 35
Графики функции	y = x−α	(α – целое) показаны на рис. 36 и рис. 37
соответственно.
В случае если	α –	четное, D = R \{0} – множество всех