5433
.pdfЛевосторонний и правосторонний пределы функции в точке
называются односторонними пределами.
Дадим определение непрерывности функции в точке.
Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = x0 , если:
1)функция f (x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, содержащей эту точку x0 ;
2)функция f (x) имеет одинаковые односторонние пределы в этой
точке x0 , то есть lim f (x)= lim f (x); |
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
3) эти односторонние пределы должны быть равны значению функции |
|
f (x) в этой точке x0 : lim f (x)= f (x0 ). |
|
x→x0 |
|
Функция y = f (x) |
называется разрывной в точке x = x0 , если она |
определена в сколь угодно малой окрестности точки x0 , но в самой точке x0
не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.
Точки разрыва функции можно разделить на два типа.
Точка разрыва x0 функции y = f (x) называется точкой разрыва 1-го
рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые не равны между собой или равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 не существует или равен бесконечности, то x0
– точка разрыва функции 2-го рода.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее
|
|
1 |
, при x < 0 |
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
||
график y = x2 , при 0 ≤ x <1. |
|||
|
2 − x, при x ≥1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Областью определения данной функции y является вся числовая ось, то есть D = R. Точками «подозрительными» на точки разрыва
50
являются |
точки |
x1 |
|
= 0 и |
x2 =1, так как |
при переходе |
через эти |
точки |
||||||||
функция |
y меняет свое аналитическое выражение с дробно – рациональной |
|||||||||||||||
на квадратичную и с квадратичной на линейную, соответственно. |
|
|||||||||||||||
Исследуем непрерывность функции y в точке x1 |
= 0: |
|
|
|
||||||||||||
lim y = lim |
1 |
= |
1 |
|
= −∞ |
|
|
|
|
|
||||||
|
− 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
x→0−0 |
x→−0 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim y = lim x2 |
= (+ 0)2 = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
x→0+0 |
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y(0)= x2 |
x = |
0 |
= 02 = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку |
условие |
непрерывности |
функции |
y |
в |
точке |
x1 = 0 |
|||||||||
нарушается, |
то |
x1 |
= 0 – |
точка разрыва функции y , т.к. |
левосторонний |
|||||||||||
предел функции |
y |
в точке x1 = 0 равен бесконечности, то |
x1 = 0 – точка |
|||||||||||||
разрыва 2-го рода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исследуем непрерывность функции y в точке x2 |
=1: |
|
|
|
||||||||||||
lim y = lim x2 |
= (1− 0)2 =1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
x→1−0 x→1−0
lim y = lim x2 = (2 − x)2 = 2 − (1+ 0)=1
x→1+0 x→1+0
y(1)= (2 − x)x =1= 2 −1=1
Условие непрерывности функции y в точке x2 =1 выполняется, значит, функция y в точке x2 =1 непрерывна.
51
Построим график функции y :
yy = x2
1 |
|
|
0 |
1 2 |
x |
y = 1 |
|
y = 2 − x |
x |
|
|
Рис. 54
Производная
Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a;b).
Аргументу |
x (a;b) |
дадим |
приращение |
x, |
получим точку |
||
(x + x) (a;b). |
Найдем |
соответствующее |
приращение функции: |
||||
y = f (x + |
x)− f (x). Составим отношение приращения |
y функции y к |
|||||
приращению |
x |
аргумента |
x: |
y |
|
|
|
и найдем предел этого отношения при |
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x → 0, то есть |
lim |
y . Если этот предел существует, то его называют |
|||||
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
производной функцией от данной функции y = f (x) и обозначают одним из
символов: y′(x), dy , f ′(x), y′ .
dx |
x |
|
|
|
|
|
|
Итак, по определению |
|
|
|
|
y′(x)= lim |
y(x + x)− y(x) |
. |
|
|
||
|
x→0 |
x |
|
|
|
||
52
Функция y = f (x), имеющая производную в каждой точке интервала
(a;b), называется дифференцируемой в этом интервале, а операция
нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значения производной функции y = f (x) в точке x = x0 обозначается
одним из символов: y′(x0 ), f ′(x0 ) или y′ x=x0 .
Пример. Найти по определению производную функции y = x2 .
Решение. Областью определения D данной функции является вся
числовая ось, то есть D = R. Выберем произвольную точку x R . Дадим ей
приращение |
x, |
получим |
новую |
точку |
x + |
x R . Находим |
||
соответствующее приращение y функции y = x2 : |
|
|
||||||
y = y(x + x)− y(x)= (x + x)2 − x2 = |
|
|
||||||
= x2 + 2x |
x + ( x)2 − x2 = 2x |
x + ( x)2 . |
|
|
||||
Составим отношение |
y = |
2x |
x + ( |
x)2 |
= 2x + |
x |
и найдем предел |
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
отношения при x → 0:
lim |
y = lim(2x + x)= 2x + 0 = 2x. |
x→0 |
x x→0 |
Поскольку данный предел существует, то производная функции y = x2 в
точке x равна 2x, то есть (x2 )′ = 2x .
Пусть материальная точка (тело) движется неравномерно по закону прямолинейного движения S = S(t). Каждому значению истекшего времени
t соответствует определенное расстояние S |
до некоторой фиксированной |
|
точки O. Тогда средняя скорость Vcp движения точки за время t равна: |
||
V = S , где S = S(t + |
t)− S(t). |
|
cp |
t |
|
|
|
|
53
Предел средней скорости Vcp движения при стремлении к нулю промежутка времени t называется скоростью V движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью)
V = lim |
S . |
t→0 |
t |
Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t, то есть V = St′. В этом заключается механический смысл производной.
Если функция y = f (x) описывает какой-либо физический процесс, то производная y′есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.
y |
|
y = f (x) |
|
|
n |
M(x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
y |
l |
|
M0 |
A |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
α0 |
α( x) |
|
|
0 |
x0 |
|
x |
|
Рис. 55 |
|
|
Под касательной l к графику функции |
y = f (x) |
в точке M0 понимают |
|
предельное положение секущей M0M , когда точка M движется по кривой |
|||
к точке M0 (см. рис. 55). Нормалью n |
называется прямая, проходящая |
||
через данную точку M0 |
перпендикулярно касательной l (см. рис. 55). |
||
54
Пусть касательная l |
образует с положительным направлением оси Ox |
|||||||||
угол α0 , а |
секущая |
M0M |
– угол α( x). |
Тогда из прямоугольного |
||||||
треугольника |
AM |
0 |
M , получаем: tgα( |
x)= |
y . Переходя к пределу при |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim tgα( x)= lim |
y = y′(x )= tgα |
0 |
= k , |
|||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
x |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
То есть производная |
y′(x0 ) |
в точке x0 |
равна угловому коэффициенту k |
|||||||
касательной l |
к графику функции y = f (x) в точке, абсцисса которой равна |
|||||||||
x0 . В этом заключается геометрический смысл производной.
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку
M0 (x0 ; y0 ) в заданном направлении [y − y0 = k(x − x0 )], запишем уравнение касательной l к графику функции y = f (x) в точке M0 (x0 ; y0 ):
y − y0 = y′(x0 ) (x − x0 ).
Поскольку нормаль n перпендикулярна касательной l, то ее угловой
коэффициент k = − |
1 |
= − |
|
1 |
|
. Поэтому уравнение нормали n к кривой |
|||||
kl |
y′(x0 ) |
||||||||||
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = f (x) в точке M0 (x0 ; y0 ) |
|
имеет вид: |
|
||||||||
|
|
y − y = − |
1 |
|
(x − x ). |
||||||
|
|
y′(x0 ) |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y = x2
в точке M0 (−1;1).
Решение. Поскольку (x2 )′ = 2x, то
y′(x0 )= (2x) x=−1 = 2 (−1)= −2
и искомое уравнение касательной:
y −1= −2 (x − (−1)) или y −1= −2x − 2,
55
откуда 2x + y +1= 0, а искомое уравнение нормали:
y −1= − |
1 |
(x − (−1)) или 2y − 2 = x +1, |
|
||
|
− 2 |
|
откуда
x − 2y + 3 = 0.
Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.
Запишем формулы производных элементарных функций:
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
n ′ |
= n x |
n−1 |
, |
|
n R, n ≠ 0; |
||||||||||||
(c) = 0, c = const ; |
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(ax )′ = ax ln a, a > 0, a ≠1; |
(ex )′ = ex ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(log |
|
x)′ |
= |
|
|
|
1 |
|
|
, a > 0, a ≠1; |
(ln x)′ = |
1 |
; |
|
|
|||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x lna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(sin x)′ = cos x; |
(cos x)′ |
= −sin x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(tg x)′ = |
1 |
|
|
|
; |
|
(ctgx)′ = − |
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos2 |
|
|
|
sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(arcsin x)′ = |
|
1 |
|
|
|
; (arccos x)′ |
|
= − |
|
|
1 |
|
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x2 |
||||||||||||||
(arctg x)′ = |
|
1 |
|
; |
|
(arcctg x)′ = − |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
||||||||||||||
а также формулы, выражающие правила дифференцирования:
(c u)′ |
= c u , c = const , u = u(x); |
(u ± v)′ = u′ ± v′, u = u(x), v = v(x); |
|
(u v)′ |
= u′ v + u v′, u = u(x), v = v(x); |
u ′ |
u′ v − u v′ |
u = u(x), v = v(x). |
||||
|
|
|
= |
|
, |
|
|
|
|||||
v |
|
v2 |
|
|||
56
Пример. Найти производную функции y = (2x +1) ex .
Решение. По правилу дифференцирования произведения двух функций, находим:
y′ = ((2x +1) ex )′ = (2x +1)′ ex + (2x +1) (ex )′.
Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:
y′ = (2x)′ + (1)′ ex + (2x +1) ex = 2(x)′ + 0 ex + (2x +1) ex =
= [2 1+ 0] ex + (2x +1) ex = 2ex + (2x +1) ex = (2x + 3) ex .
|
Производная сложной функции |
Пусть функция |
y = f (u) определена на множестве D1 , а функция |
u = g(x) определена |
на множестве D2 , причем для любой точки x D2 , |
соответствует значение u = g(x) D1 . Тогда на множестве D2 определена
функция y = f (g(x)), которая называется сложной функцией от x (или функцией от функции).
Переменную u = g(x) называют промежуточным аргументом сложной
функции y . |
|
|
|
Пример. Функция y = cos3x |
является сложной функцией, так как |
||
y = cosu, u = 3x. |
|
|
|
Пусть y = f (u), |
u = g(x), тогда y = f (g(x)) – сложная функция с |
||
промежуточным аргументом u |
и |
независимым аргументом x. Тогда |
|
производная сложной |
функции |
y |
по независимой переменной x равна |
произведению производной функции y по промежуточной переменной u на
производную промежуточной переменной u по независимой переменной x,
то есть y′x = fu′ u′x .
57
Пример. Найти производную функции y = e3x .
Решение. Данная функция y является сложной, так как y = eu ,
u = 3x. По правилу дифференцирования сложной функции, находим:
y′x = yu′ u′x = (eu )′u (3x)′x = eu 3 = e3x 3 = 3e3x .
Производные высших порядков
Производная y′ = f ′(x) функции y = f (x) есть также функция от x и
называется производной первого порядка.
Если функция f ′(x) дифференцируема, то ее производная называется
производной второго порядка и обозначается y′′, то есть y′′ = (y′)′.
Производная от производной второго порядка, если она существует,
называется производной третьего порядка и обозначается y′′′, то есть
y′′′ = (y′′)′.
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается y(n) , то есть
y(n) = (y(n−1) )′.
Пример. Найти производную третьего порядка от функции y = cos3x.
Решение.
y′ = (cos3x)′ = −sin3x (3x)′ = −sin3x 3 = −3sin3x,
y′′ = (y′)′ = (− 3sin 3x)′ = −3 (sin3x)′ = −3 cos3x (3x)′ = = −3 cos3x 3 = −9cos3x,
y′′′ = (y′′)′ = (− 9cos3x)′ = −9 (cos3x)′ = −9 (− sin3x) (3x)′ = = 9sin3x 3 = 27sin3x.
Итак, y′′′ = (y′′)′ = 27sin3x.
58
Дифференциал функции
Пусть задана функция y = f (x) |
и можно вычислить |
f (x0 ), то есть |
|||
значение этой функции |
в точке x0 . Требуется вычислить |
значение этой |
|||
функции y в точке x0 + |
x. |
|
|
|
|
Если данная функция y = f (x) |
дифференцируема в точке |
x0 , то в |
|||
точке (x0 ; f (x0 )) существует касательная l к графику функции |
y = f (x) |
||||
(см. рис. 56). Тогда приращение функции y можно представить в виде: |
|||||
|
y = f ′(x0 ) |
x +α( x). |
|
|
|
y |
|
|
y = f (x) |
|
|
|
y |
dy |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 ) |
|
α( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
x0 |
x0 + |
x |
x |
|
|
Рис. 56 |
|
|
Главную часть линейную относительно приращения |
x независимой |
|||
переменной |
x в последнем равенстве, |
то есть выражение f ′(x0 ) x |
||
называют дифференциалом функции y = f (x) в точке x0 и обозначают dy.
Итак, dy = f ′(x0 ) |
x. |
|
При x → 0, |
то есть при α( |
x)→ 0 приращение функции y |
приближенно равно дифференциалу dy: |
|
|
|
y ≈ dy или f (x0 + |
x)≈ f (x0 ) x. |
Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений функций в точке.
59