8713

Оборудование на каждой стадии работает 7,5 час в день. Менеджер хочет максимизировать прибыль за следующие 5 рабочих дней. Модель А дает при-

быль 82,5 руб. за шт.; модель В – 70,0 руб.; модель С – 78,0 руб. Фирма может продать все, что произведет, и, кроме того, у нее на следующую неделю есть оплаченный заказ на 60 шт. изделий (по 20 шт. устройства каждого типа).

1.Каков должен быть оптимальный производственный план?

2.Все ли типы моделей выгодно производить?

3. Если есть убыточная модель, то какие изменения надо внести, чтобы

еепроизводство стало выгодным? Попробуйте изменить что-нибудь в цено-

вой политике или увеличить время работы оборудования (за счет сверх-

урочных) так, чтобы все модели стали выгодными. Опишите результаты ваших попыток.

4. Допустим, что вы можете установить 2 сверхурочных часа для одной из стадий. Для какой именно стадии следует назначить эти сверхурочные ча-

сы, чтобы получить наибольшую прибыль?

Задача 5. Максимизация прибыли универмага.

Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа – ко-

стюмы широкого потребления (из полиэстровых смесей, шерстяные, хлопковые).

Четвертый тип – дорогие импортные модельные костюмы из различных тканей.

Имеющийся у менеджеров магазина опыт и специальные исследования позво-

ляют оценить средние затраты рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа, объем затрат на рекламу и площади в расчете на один костюм каждого типа. Все эти данные, а также прибыль от продажи одного ко-

стюма каждого типа представлены в таблице.

Тип коПрибыль, Время, Реклама, Площадь,

91

Предполагается, что весенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин от-

крыт 10 часов в день, 7 дней в неделю. Два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделу костюмов площадь составляет прямоугольник

100 х 60 м2. Бюджет, выделенный на рекламу всех костюмов на весенний се-

зон, составляет 15 000 у.е.

1. Сколько костюмов каждого типа надо закупить, чтобы максимизиро-

вать прибыль?

2. Допустим, что менеджмент магазина считает необходимым заку-

пить не менее 200 костюмов каждого типа. Как это требование повлияет на прибыль магазина?

При ответе на следующие вопросы сохраните ограничение (2).

3. Изменится ли оптимальное решение, если прибыль от продажи одно-

го полиэстрового костюма переоценена (недооценена) на 1 у.е.? На 2 у.е.?

4.Обоснуйте, будет ли каждое из предлагаемых решений полезно для магазина:

отдать в распоряжение отдела костюмов 400 м2 от отдела женской спор-

тивной одежды. Предполагается, что на этой площади магазин может получить прибыль всего лишь 750 у.е. за последующие 90 дней;

истратить дополнительно 400 у.е. на рекламу.

5.Если общее число закупленных костюмов не может превысить 5000

шт., то как такое ограничение повлияет на оптимальное решение?

Задача 6. Задача на смеси

Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и приме-

92

сью пепла не более 3,25%. Поставщики А, В и С поставляют три сорта угля с различным содержанием фосфора и пепла и по различной цене за единицу веса.

Требуется определить, каким образом следует брать уголь у данных поставщи-

ков (найти процент каждого сорта в смеси), чтобы были удовлетворены требо-

вания по составу, а стоимость единицы веса была минимальной. Данные о по-

ставляемом угле приведены в таблице:

Как изменится результат решения задачи, если содержание пепла в угле сорта В станет равным 3,5%? Как изменится результат, если при этом цена угля сорта А станет равной $14,5?

Задача 7.

Известно, что содержание трех питательных веществ А, В, и С в рационе человека должно быть не менее 60, 50 и 12 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида доступных человеку продуктов. Со-

держание единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида продуктов и их це-

ны приведены в таблице:

Создать вариант наиболее дешевого набора продуктов, удовлетворяющего при-

веденным требованиям.

Задача 8. Оптимальный план размещения рекламы.

93

Фирма планирует рекламную кампанию нового продукта. Отведенный на эти цели бюджет составляет 120 000 руб. Предполагается, что тираж ре-

кламных объявлений должен составить не менее 800 млн экземпляров; объ-

явления будут размещены в шести изданиях. Каждое издание имеет свой тираж (см. таблицу). Фирма подсчитала

стоимость размещения рекламы в одном выпуске издания.

Необходимо распространить рекламу с минимальными издержками при следующих ограничениях:

1)в каждом издании реклама должна пройти в шести или более выпусках;

2)на любое издание может быть истрачено не более одной трети отпущен-

ной суммы;

3)общая стоимость рекламы в третьем и четвертом изданиях не должна превышать 75 000 руб.

Задача 9. Распределение рекламного бюджета

Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств:

телевидения, радио, газет и афиш. Из различных рекламных экспериментов,

которые проводились в прошлом, известно, что эти средства приводят к уве-

личению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 у.е. в расчете на 1 у.е., затра-

ченную на рекламу.

Распределение рекламного бюджета по различным средствам подчинено следующим ограничениям:

94

a)полный бюджет не должен превосходить 500 000 у.е.;

b)следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не более

20% бюджета на афиши;

c)вследствие привлекательности для подростков радио на него следует расходовать по крайней мере половину того, что планируется на телеви-

дение.

Сформулируйте задачу распределения средств по различным источникам как задачу линейного программирования и решите ее.

Задача 10. Оптимизация инвестиционного портфеля

Частный инвестор предполагает вложить 500 тыс. руб. в различные цен-

ные бумаги (см. таблицу.).

После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал 3 ти-

па акций и 2 типа государственных облигаций. Часть денег предполагается по-

ложить на срочный вклад в банк.

Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализуемые личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг:

все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы;

по крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в банке.

95

по крайней мере 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;

в облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции.

Не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10%.

1. Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требо-

ваниям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода?

2. Если инвестор вносит дополнительные средства в портфель бумаг,

сохраняя сформулированные выше ограничения, как изменится ожидаемый годовой доход? Зависит ли изменение ожидаемого годового дохода от вели-

чины дополнительно инвестированных средств? Почему?

3. Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акци-

ям) – это не более чем оценка. Насколько оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от портфеля выбранных бумаг чувствительны к этим оцен-

кам?

Задача 11. Предприятие планирует работу на 3 года (начало первого го-

да). Имеется несколько вариантов для инвестиций. В первом варианте инве-

стируется любая сумма под 10% сроком на три года с одновременным возвра-

том в конце третьего года. Во втором варианте инвестируется сумма не ме-

нее, чем 10 у.е. с 50% возвратом кредита в конце второго и третьего годов под

15%. В третьем варианте может быть инвестирована любая сумма на год под

5%.

Необходимо найти такой вариант размещения капитала, чтобы в конце третьего года была получена максимальная сумма, если начальная сумма со-

ставляет 50 у.е.

96

Задача 12. Выбор оптимальных проектов для финансирования

Управляющему банка были представлены 4 проекта, претендующие на по-

лучение кредита в банке. Доступная наличность банка, потребности проектов и прибыль по ним приведены в таблице (тыс. дол.).

При оценке этих предложений следует принять во внимание потребность проектов в наличности и массу доступной наличности для соответствующих периодов.

Какие проекты следует финансировать и какое количество наличности необходимо в течение каждого периода, если цель состоит в том, чтобы мак-

симизировать прибыль?

Задача 13. (оптимальное использование ресурсов)

В распоряжении фабрики имеется определенное количество ресурсов: ра-

бочая сила (80 чел./дней), сырье (480 кг) и оборудование (130 станко/час). Фаб-

рика может выпускать ковры четырех видов. Требуется найти такой план вы-

пуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максималь-

ной, если нормы расхода и цена на единицу изделия каждого типа заданы в следующей таблице:

I. Сформулировать экономико-математическую модель задачи и, используя По-

иск решения, найти оптимальный план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максимальной.

II. Используя протоколы Поиска решения, выполните анализ полученного оп-

тимального решения исходной задачи:

a). Все ли типы ковров выгодно производить?

b). Проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане.

III. Проведите анализ полученного решения на чувствительность.

1.Первая задача анализа на чувствительность: на сколько можно сократить или увеличить запасы ресурсов?

a).На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции.

b). На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучше-

ния полученного оптимального значения целевой функции.

c).Как изменится общая стоимость и план выпуска продукции при уве-

личении запаса ресурса «труд» на 12 ед.

d). Попробуйте изменить ограничения на ресурсы, чтобы все ресурсы стали дефицитными.

2.Вторая задача анализа на чувствительность: увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно?

a)Выяснить ценность дополнительной единицы каждого вида ресурсов.

b)Пусть стоимость дополнительного рабочей силы 1100 руб./день, а стои-

мость дополнительного часа работы оборудования 50 руб. Увеличение

98

какого ресурса будет экономически выгодно для получения большей

прибыли.

c)Будет ли экономически целесообразным увеличивать время работы обо-

рудования, если стоимость дополнительного часа работы оборудования будет 350 руб.

3.Третья задача анализа на чувствительность: в каких пределах допустимо изменение коэффициентов целевой функции? (Коэффициенты целевой функ-

ции определяются ценами на готовую продукцию).

a). Определите интервал изменения прибыли от продажи ковра каждой модели, в котором оптимальное решение остается неизменным (нужно определить диапазон изменения (увеличения или уменьшения) того или иного коэффициента целевой функции).

b). Насколько уменьшится прибыль, если, несмотря на оптимальное ре-

шение, включить в план один ковер первого вида? То же вопрос, если включить в план ковер четвертого типа.

c). Если есть убыточная модель, то какие изменения надо внести, чтобы ее производство стало выгодным? Попробуйте изменить что-нибудь в це-

новой политике так, чтобы все модели стали выгодными.

Задача 14.

Три нефтеперерабатывающих завода с максимальной ежедневной произ-

водительностью в 6, 5 и 8 млн. галлонов бензина снабжают три бензохранили-

ща, спрос которых составляет 4, 8 и 7 млн. галлонов. Бензин транспортируется в бензохранилища по трубопроводу. Стоимость перекачки бензина на одну ми-

лю, рассчитанная с учетом длины трубопровода, составляет 1 цент на 100 гал-

лонов. В таблице расстояний показано, что завод 1 не связан с хранилищем 3. a) Сформулируйте соответствующую транспортную задачу. Найдите

оптимальное решение.

99

Бензохранилища

b)Пусть в задаче производительность нефтеперерабатывающего завода

3 снизилась до 6 млн. галлонов. Кроме того, обязательно полное удовлетворе-

ние спроса бензохранилища 1, а не допоставки в хранилища 2 и 3 штрафуются

5 центами за каждый галлон. Сформулируйте соответствующую транспортную задачу. Найдите оптимальное решение.

c)Пусть в задаче ежедневный спрос хранилища 3 падает до 4 млн. гал-

лонов. Избыток продукции на нефтеперерабатывающих заводах 1 и 2 должен переправляться на грузовиках в другие хранилища. Соответствующие средние транспортные издержки составляют 1,5 долл. за 100 галлонов при перевозке с завода 1 и 2,2 долл. за 100 галлонов при перевозке с завода 2. Завод 3 может ис-

пользовать избыток бензина для нужд своего химического производства.

Сформулируйте соответствующую транспортную задачу. Найдите оптимальное решение.

Задача 15.

Имеются 4 рабочих и 4 вида работ. Стоимости Сij выполнения i-тым рабо-

чим j-той работы приводятся в таблице, где под строкой понимается рабочий, а

под столбцом работа. Бригадиру требуется составить план работ так, чтобы каждый рабочий был занят только на одной работе, все работы были выполне-

ны, а суммарная стоимость всех работ была минимальной.