8713

ницу; значения приращения ресурсов, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Отчет по пределам. В нем показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедшей в оптимальное решение, при сохранении струк-

туры оптимального решения: приводятся значения Xj в оптимальном решении;

приводятся нижние пределы изменения значений Xj.

Кроме этого, в отчете указаны значения целевой функции при выпуске данного типа продукции на нижнем пределе. Далее приводятся верхние преде-

лы изменения х, и значения целевой функции при выпуске продукции, вошед-

шей в оптимальное решение на верхних пределах.

Параметрический анализ. Под параметрическим анализом будем понимать решение задачи оптимизации при различных значениях того параметра, кото-

рый ограничивает улучшение целевой функции.

Параметрический анализ будем выполнять для задачи линейного програм-

мирования в нескольких вариантах. Далее Сервис, Поиск решения, Выполнить.

На экране: диалоговое окно Результаты поиска решения, Сохранить сцена-

рий, Ввести имя сценария, ОК. Повторить данную процедуру для всех вариан-

тов. Затем Сервис, Сценарии. Окно Диспетчер сценариев, Отчет. Окно Отчет по сценарию, Структура, ОК.

В результате выполнения данных анализов определяется влияние управля-

емых переменных на результаты эксперимента.

Задача 3.

Пусть в производстве 4-х видов продукции участвуют 4 вида ресурсов. Из-

вестны нормы расхода ресурсов на производство единицы продукции (матрица А), цены ее реализации (матрица С) и запасы ресурсов (матрица В). Определить план производства продукции, максимизирующий выручку от реализации про-

изводственной продукции.

41

Тогда математическая модель задачи примет вид: найти х1, х2, х3, х4 (объемы производства каждого вида продукции), удовлетворяющие ограничениям:

при которых функция z=4x1+5x2+7x3+9x4 достигает максимума.

При решении задачи симплексным методом она приводится к канониче-

скому виду добавлением в левые части ограничений неотрицательных балансо-

Значения балансовых переменных показывают объемы неизрасходованных ресурсов в соответствующем плане. Отчет о решении этой задачи с помощью Приложения «Поиск решения» в MS Excel.

Итак, для получения максимального дохода от реализации производствен-

ной продукции ее необходимо выпустить в объемах: х1*=67,083; х2*=0; х3*=15;

х4*=103,333. При этом zmax=1303,333.

Двойственная задача. Найти значения переменных у1, у2 у3, у4, удовлетво-

ряющих ограничениям:

42

Решения этой задачи: y1*=0,833, y2*=0, y3*=1,167, y4*=0,167.

Проиллюстрируем свойства двойственных оценок на основе этой задачи.

1. Каждая из оценок указывает, на сколько изменится максимальное значе-

ние целевой функции (максимальная выручка), если изменить на единицу запа-

сы соответствующих ресурсов. Наибольшее изменение выручки произойдет,

если изменить объем 3-го ресурса ( y3* = 1,167), а изменение второго ресурса (в

границах устойчивости) не приведет к изменению целевой функции (у2*=0).

2. Оценки у1*, у3*, у4* положительны. Это означает, что при реализации оп-

Аналогично для третьего и четвертого ресурсов (проверить самостоятель-

но). Следовательно, 1,3,4-й ресурсы дефицитны. у2*=0. Это означает, что в оп-

тимальном решении второй ресурс расходуется не полностью. Проверим это.

Подставим x j во второе ограничение исходной задачи:

3 67,083 3 15 103,333 349,582 400.

Остаток второго ресурса составляет 400-349б582 50,4. Это и есть значение балансовой переменной в оптимальном решении исходной задачи.

3. Рентабельными являются 1-я, 3-я и 4-я продукции (х1*, х2*, х3* в опти-

мальном плане положительны), а нерентабельной 2-я – х2*. Проверим это, под-

ставив уi* в сопряженные условия двойственной задачи. Для первой продукции:

43

4 0,833 3 0 4 0,167 4 . Получили строгое равенство.

Аналогично для 3-й и 4-й продукции (проверить самостоятельно). Покажем нерентабельность второй продукции, подставив yi во второе ограничение двойственной задачи. Получим:

2 0,833 5 1,167 0,167 7,668 5 .

Итак, оценка ресурсов, необходимых для производства единицы 2-й про-

дукции больше цены единицы этой продукции на 7,668-5=2,668.

Задача 4. Транспортные модели

Транспортная задача является одной из наиболее распространенных задач линейного программирования и находит широкое практическое применение.

Постановка транспортной задачи.

Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m поставщиков Аi в

количестве ai (i = 1, ..., m) единиц, необходимо доставить n потребителям Bj в

количестве bj (j = 1, ..., n) единиц. Известна стоимость cij перевозки единицы груза от поставщика i к потребителю j. Необходимо составить план перевозок,

позволяющий с минимальными затратами вывести все грузы и полностью удо-

влетворить потребителей.

Экономико-математическая модель транспортной задачи.

Обозначим через xij количество единиц груза, запланированных к перевоз-

ке от поставщика i к потребителю j. Так как от поставщика i к потребителю

j запланировано перевезти xij единиц груза, то стоимость перевозки соста-

вит cij∙xij. Транспортная задача относится к двух индексным задачам линейного программирования, так как в результате решения задачи необходимо найти матрицу Х с компонентами xij. Стоимость всего плана выразится двойной сум-

44

груза до фиктивного потребителя и стоимость перевозки груза от фиктивного поставщика полагаются равными нулю, так как груз в обоих случаях не перево-

зится.

Транспортная задача имеет n + m уравнений с m∙n неизвестными. Матрицу перевозок Х = (xij)mn, удовлетворяющую ограничениям, называют планом пере-

возок транспортной задачи, а xij − перевозками. План Х*, при котором целевая функция S достигает минимума, называется оптимальным.

Пример. Четыре предприятия для производства продукции используют не-

которое сырье. Спрос на сырье для каждого из предприятий составляет соот-

ветственно 120, 50, 190 и 110 у.е. Сырье сосредоточено в трех местах. Предло-

жения поставщиков сырья равны 160, 140 и 120 у.е. На каждое предприятие сы-

рье может завозиться от любого поставщика. Тарифы перевозок известны и за-

Требуется составить план перевозок, при котором общая стоимость пере-

возок будет минимальной.

Решение: Так как суммарные запасы превышают суммарные потребности

(160 + 140 + 200 = 500 > 470 = 120 + 50 + 190 + 110), то вводим фиктивного по-

требителя b5, потребность которого составляет 500 – 470 = 30. Составим эко-

номико-математическую модель задачи:

xij − количество единиц груза, запланированных к перевозке от поставщика i к потребителю j, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5.

S = 7x11 + 8x12 + x13 + 2x14 + 4x21 + 5x22 + 9x23 + 8x24 + 9x31 + 2x32 + 3x33 + 6x34 + 0x15 + 0x25 + 0x35 min

46

Рассмотрим технологию решения транспортной задачи, используя условия

примера.

1)выберем адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения

(изменяемые ячейки) и оптимальное значение целевой функции;

Внашей задаче оптимальные значения хij будут помещены в ячейках В21:F23 (для удобства ссылок запишем в каждую из них 1), оптимальное зна-

чение целевой функции ‒ в ячейке G18.

2)введем зависимость для целевой функции;

Вячейки B16:F18 вводим тарифы. Далее необходимо произвести следую-

щие действия:

−поместить курсор в ячейку G18 (после решения задачи в данной ячейке будет находиться значение целевой функции);

−запустить Мастер функций (значок fх);

−в окне Категория выбрать Математические;

−в окне Функция выбрать СУММПРОИЗВ;

−нажать кнопку ОК;

−в окне СУММПРОИЗВ указать адреса массивов, элементы которых обрабатываются этой функцией. В задаче целевая функция представляет

собой произведение удельных затрат на доставку груза (расположенных в

47

блоке ячеек B16:F18) и объемов поставок для каждого потребителя (содержи-

мое ячеек В21:F23). Для этого надо:

−в поле Массив 1 указать адреса В21:F23;

−в поле Массив 2 указать адреса B16:F18;

−нажать кнопку ОК − подтверждение окончания ввода адресов массивов.

В поле ячейки G18 появится некоторое числовое значение, равное произ-

ведению единичных поставок на удельные коэффициенты затрат по доставке грузов (в данной задаче это число 64).

введем зависимости для ограничений;

−выделим курсором ячейки B21:F21;

−в главном меню выберем знак Σ;

−аналогичные действия выполним с ячейками B22:F22 и B23:F23. В ячей-

ках G21:G23 появятся пятерки;

− в ячейки H21:H23 поместим числа 160, 140, 200.

Таким образом мы описали первые три ограничения в математической мо-

дели. Аналогично поступаем с остальными ограничениями:

−выделим курсором ячейки B21:В23;

−в главном меню выберем знак Σ;

−аналогичные действия выполним с ячейками C21:C23, D21:D23, E21:E23, F21:F23. В ячейках B24:F23 появятся тройки;

−в ячейки B25:F25 поместим числа 120, 50, 190, 110.

48

Выберем команду меню Данные → Поиск решения. В отрывшемся окне выполним следующие действия:

а) назначим ячейку для целевой функции (G18), укажем адреса изменяе-

мых ячеек (В21:F23), установим флажок на минимум.

б) введем ограничения;

в) в строке Выберите метод решения выберем вариант «Поиск решения лин. задач симплекс-методом».

Теперь введены все необходимые условия для решения задачи:

Осталось поместить указатель мыши на кнопку Найти решение:

49

Ответ: от первого поставщика третьему предприятию следует перевезти

50 у.е. груза, четвертому предприятию – 110 у.е. груза;

от второго поставщика первому предприятию следует перевезти 120 у.е.

груза;

от третьего поставщика второму предприятию следует перевезти 50 у.е.

груза, третьему предприятию – 140 у.е. груза;

груз, предназначенный для пятого (фиктивного) потребителя остается у второго поставщика (20 у.е.) и третьего поставщика (10 у.е.).

Общая стоимость перевозок составит 1270 у.е.

Задача 5. Задача о назначениях

Задача о назначениях − это распределительная задача, в которой для выполне-

ния каждой работы требуется один и только один ресурс (один человек, одна автомашина и т.д.), и каждый ресурс может быть использован на одной и толь-

ко одной работе. То есть ресурсы неделимы между работами, а работы недели-

мы между ресурсами. Таким образом, задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи. Задача о назначениях имеет место при распреде-

лении людей на должности или работы, автомашин на маршруты, водителей на машины, групп по аудиториям, научных тем по научно-исследовательским ла-

бораториям и т.п. Модель назначений можно построить в виде транспортной

50