8713

Пусть на реконструкцию и модернизацию 4-х своих филиалов фирма име-

ет возможность выделить 200 млн. руб. Ожидаемый прирост прибыли зависит как от финансируемого филиала, так и от объема этого финансирования. Одна-

ко, прирост прибыли в отдельно взятом филиале не зависит от вложенных средств в другие филиалы, а общая прибыль фирмы равна сумме всех приро-

стов по филиалам. Следует определить оптимальное распределение капитало-

вложений между филиалами, максимизирующее общий прирост прибыли фир-

мы.

В данном случае речь идет об однократном распределении средств, и по-

этому задача сама по себе не является динамической. Однако, ее можно наибо-

лее просто решить как «многошаговую», если объекты капиталовложений (фи-

лиалы) включать в рассмотрение последовательно, т.е. на каждом шаге к рас-

смотренным добавлять следующий.

При таком подходе можно использовать функциональные уравнения Бел-

лмана. Для их решения в табулированном виде общий объем капиталовложе-

ний разбивается на N интервалов с шагом (для нашей задачи положим N = 4,

тогда = 200/4=50 млн. руб.). Т.е. значения функций, входящих в уравнения Беллмана, будут определяться только в точках, кратных (в нашем примере в точках 0, 50, 100, 150, 200).

Пусть ожидаемый прирост прибыли филиалов при соответствующих капи-

таловложениях задан таблицей.

С =200 – общий объем распределяемых средств;

71

х - объем средств, выделяемых филиалам (на каждом шаге), 0≤ х ≤C.

Fi(xi) – ожидаемый прирост i-той фирмы при выделении ей хi средств. Тогда це-

левая функция

F = F1(x1) + F2(x2) + F3(x3) + F4(x4) → max

при ограничении x1 + x2 + x3 + x4 = C, xi ≥ 0, i = 1,4 .

b)Схема решения.

1.Введем последовательность функций:

z1(x) – max прибыль фирмы, если x средств выделить одному 1-му филиалу; z2(x) – max прибыль фирмы, если x средств распределить между 1-м и 2-м фи-

лиалами;

z3(x) – max прибыль фирмы, если х средств распределить между 3-м и двумя первыми филиалами;

z4(x) – max прибыль фирмы, при распределении x средств между всеми 4-мя филиалами.

(1)

Пусть теперь средства в объеме x распределяются между 1-м и 2-м филиалами:

2-му в объеме x2, тогда х – х2 = х1 выделяется 1-му. Общая прибыль двух фи-

лиалов

(2)

Теперь включим в рассмотрение дополнительно 3-й филиал: из общей суммы х выделим 3-му филиалу х3, тогда остальная часть х – х3 оптимальным образом распределяется между двумя первыми

72

3. «Прямой ход».

Функциональные уравнения Беллмана (1) – (4) позволяют рассчитать зна-

чения zi и Fi для всех возможных х. Среди них находим z4(C) = F* и опти-

мальное x4* такое, что

F4(x4*) = F4*, после чего результаты вычислений просматриваются в обратном порядке. Зная x4*, находим С–х4* - объем финансирования остальных трех фи-

лиалов, а следовательно, и F3* и х3*, и т.д. до нахождения х1* и F1* = F1(x1*).

Задача 3. Задача о замене.

a) Постановка задачи.

Оборудование со временем изнашивается и стареет морально, падает его производительность, растут издержки на ремонт. Поэтому на каком-то этапе его эксплуатация становится менее выгодной, чем замена на новое. Возникает задача определения оптимальной стратегии замены оборудования в рассматри-

ваемый временной промежуток – плановый период (п/п) с тем, чтобы суммар-

ная прибыль за этот период была оптимальной.

Введем обозначения.

r(t) – стоимость продукции, производимой за год на оборудовании возраста t; s(t) – остаточная стоимость оборудования возраста t;

u(t) – эксплуатационные издержки за год оборудования возраста t;

p – цена нового оборудования, которым можно заменить устаревшее: n – число лет в рассматриваемом п/п.

Для дискретности решения задачи возраст оборудования t будем отсчиты-

вать с интервалом 1 год. Управление составляют два возможных решения на

каждом этапе (в начале каждого года): «сохранение» – продолжение эксплуата-

73

ции имеющегося оборудования; «замена» – реализация старого оборудования по остаточной стоимости и приобретение нового по цене p. Целевая функция – суммарная прибыль за п/п F→max. Ограничения определяются критерием за-

мены оборудования: прибыль при дальнейшей эксплуатации старого меньше прибыли после его замены с учетом всех издержек. Если прибыль от нового оборудования равна прибыли при старом, то старое сохраняется еще на год, т.к.

оно уже досконально изучено.

b) Схема решения.

Задача решается методом ДП на основе принципа оптимальности Беллма-

на. В процессе «обратного хода» рассматриваются этапы – временные шаги от конца п/п к его началу.

Введем последовательность функций: zi(t), i = 1, n – максимальная прибыль за последние i лет п/п. Очевидно, что zn(t0) = max F = F*, где t0 – возраст обору-

дования в начале п/п. Итак, сначала рассматриваем только последний n-ый год п/п, i = 1. Пусть в начале этого года, когда оборудование имеет возраст t лет,

выбирается одно из управлений: 1) сохранение оборудования на n-ый год, тогда прибыль за оставшийся год п/п составит r(t) – u(t); 2) замена новым, продажа старого по остаточной стоимости, тогда прибыль составит s(t) – p + r(0) – u(0),

где r(0) – стоимость продукции, на новом оборудовании за 1-й год его эксплуа-

тации, u(0) – эксплуатационные издержки нового оборудования за 1-й год.

Определяем оптимальное управление, исходя из критерия замены:

–если s(t) – p + r(0) – u(0) ≤ r(t) – u (t), то «сохранить»,

–если s(t) – p + r(0) – u(0) > r(t) – u(t), то «заменить».

r(t) u(t),..........................сохранить, z1(t) = max S(t) p r(0) u(0),.........заменить.

Теперь включаем в рассмотрение предпоследний шаг, (n – 1)-й год, i = 2 и

установим прибыль за два последних года z2 (t).

74

φ(t) ≥ m1, все значения φ(t) < m1 заменить на m1.

3. Начиная с индекса i = 2, расчет по строкам производится в следующей последовательности:

а) вычислить mi = m1 + zi-1(1), где zi-1(1) берется из уже заполненной строки;

б) вычислить zi(t) = z1(t) + zi-1(t+1), где сумма и слагаемые образуют треуголь-

ник, у которого одна из вершин всегда в первой строке над искомым значением,

а 2- ая – в последней заполненной строке следующего столбца. Получаемые значения zi(t) ≥ mi вносить в соответствующие клетки строки; начиная с первого zi(t) < mi, оставшиеся клетки заполнить значением mi;

в) клетки с первым значением zi(t) < mi в процессе заполнения таблицы отде-

лить от расположенных в строке левее разделительной границей смены управ-

ления;

г) если таблица не заполнена до последней строки, перейти к п. а) и выполнить расчет для следующего значения индекса i.

Замечания:

1. Для задачи об оптимальном распределении капиталовложений по получен-

ной расчетной таблице можно получить стратегию вложения средств, напри-

мер, только в первые 3 филиала, исключив из рассмотрения 4-й, или, например,

для суммы в 150 млн. руб. (а не 200 ) между 4-мя филиалами, или только 3-мя первыми и т.д.

Для задачи о замене по расчетной таблице можно получить решение на любой п/п длительностью, не превосходящей исходный.

Это так называемый «принцип погружения» метода динамического про-

граммирования.

2. Решенную задачу о замене оборудования можно усложнить, например, до-

пуская замену не новым оборудованием, а уже проработавшим некоторое вре-

мя. При этом имеется три возможных управления: сохранить старое, купить но-

вое, купить не новое.

Задача 4. Задача управления производством и запасами

76

Предприятие производит партиями некоторые изделия. Оно получило за-

казы на n месяцев. Необходимо составить план производства на указанные n

месяцев с учетом затрат на производство и хранение. Обозначим:

1)xj – число изделий, производимых в j-м месяце;

2)yj – величина запаса к началу j-го месяца (Это число не содержит изделий,

производимых в j-й месяц, величина запаса к началу 1-го месяца (y1) и к концу последнего (yn+1) заданы);

3)dj – число изделий, которые должны быть отгружены в j-й месяц;

4)j (xj ) ax2j bxj c – функция затрат на производство xj изделий в j-м месяце

(может иметь и другой вид);

5) hj – затраты на хранение единицы запаса, переходящей из месяца j в месяц

(j+1);

6) f j (xj , y j 1) j (xj ) hj y j 1 – функция затрат на производство и хранение в j-м

месяце.

Задача состоит в определении плана производства (х1,х2,…,хn), компонен-

ты которого удовлетворяют условиям материального баланса xj +yj –dj = yj+1

и минимизируют суммарные затраты за весь период

n

F ( x) f j ( x j , y j 1 ) min .

j 1

По смыслу x j 0 , y j 0 , j 1, n . Заметим, что:

1)для любого месяца j величина запаса к концу месяца должна удовлетво-

рять ограничениям

0 y j 1 d j 1 d j 2 ... dn ,

то есть объем производимой продукции xj в j-м месяце может быть настолько велик, что запас yj+1 удовлетворяет спрос на всех последующих месяцах, но не имеет смысла иметь yj+1 больше суммарного спроса всех последующих меся-

цев;

Если учесть, что xj и yj должны быть целыми и неотрицательными, то име-

ем задачу целочисленного нелинейного программирования.

Составим функциональные уравнения. Пусть Fk(yk+1) – минимальные за-

траты за первые k месяцев.

Для k = 1:

Применив процедуру динамического программирования, на последнем шаге k = n определяется значение xn* оптимального решения, а остальные ком-

поненты определяются в результате прямого хода по формуле

78

Задание для раздела 4.

Задача 1. (Метод сверток)

Мы видим, что внутри отрезка [3,5] до точки пересечения графиков обеих функций, т.е. на отрезке [3,4] f1 (x) убывает, а f2 (x) возрастает, на отрезке [4,5]

наоборот: f1(x) возрастает, а f2 (x) убывает, следовательно, согласно введен-

ным выше определениям – отрезок [3,5] для данной задачи является множе-

ством решений, оптимальных по Парето.

На следующем рисунке в пространстве R 2 , для этой же задачи представ-

лены области согласия и компромиссов, являющиеся плоскими кривыми, по-

лученными в результате отображения области D / отрезок [1,7] / в области DF

.

Такое представление является наглядным пособием и удобным для того,

кому предстоит сделать выбор элемента из DK . С увеличением числа частных критериев оптимальности наглядность теряется.

( , x) *[2 * (x 3)2 1] (1 ) *[(x 5)2 2] min

0 1; 1 < x < 7

Здесь удается применить классический метод, приводящий к простой си-

стеме уравнений: