Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9102

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

бактерий пропорциональна их количеству (коэффициент пропорциональности k>0). Найти зависимость роста числа бактерий N (t )с течением времени.

11.74.Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдёт тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?

11.75.Тело массы m падает вертикально вниз с некоторой высоты. Сила

вязкого трения, действующая на тело, пропорциональна величине скорости Fтр = −αV , где α >0- коэффициент трения. Определить зависимость ско -

рости от времени, если тело начинает движение с нулевой скоростью.

11.76. Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка

находилась на расстоянии 5 м от начала отсчёта пути и имела скорость V 0 = 20 м / c . Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с. после начала движения.

§3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

В задачах 11.77-11.94 найти общее решение (общий интеграл) данных дифференциальных уравнений.

11.77.

y′ =

y 2

+ 4

+ 2 . 11.78.

y¢ = -

x + y

. 11.79. (x + 2 y )dx − xdy = 0 .

x 2

11.80. ydx−(x + y)dy = 0. 11.81. y 2 + x 2 y′ = xyy′. 11.82.

y′ =

x + y

x − y

′

xy + y

′

2 yx 2 + 3 y 3

11.83.

2x 2 + xy . 11.84. xy

x 2 + 2 y 2 .

11.85. xy′ = 2

+ y . 11.86. y¢ =

x 2 + 2xy - 5 y 2

x 2 + y 2

2x 2 - 6xy

11.87. xy′ = y +

y 2

. 11.88. xy′ = y +

. 11.89. y¢ =

- sin2

sin

11.90.

y¢ =

+ cos2

. 11.91.

xy¢ = y + xe y x . 11.92. xy¢ = y + x × 2 y x .

− x

y¢ =

xy + y 2 × e

11.93.

. 11.94.

x 2

В задачах 11.95 − 11.102 найти частное решение дифференциальных уравнений (задача Коши).

xy¢

y( )

11.95. y¢ -1 = e

+ x

× tg x ,

6 .

, y (1)= 0 .

11.96.

1 =

11.97. y¢ =

+ cos

y(1)= 0 . 11.98.

y¢ =

+ sin

y(1)=

11.99. (x 2 + y 2 )dx - 2xydy = 0 ,

y(4)= 0 . 11.100.

(

+ x)dy = ydx , y(0)=1.

11.101. (y 2 - 3x 2 )dy + 2xydx = 0 ,

y(0)=1. 11.102.

2xy + 2 y 2 = (x 2 + xy)× y¢ ,

y (1) = 2 .

11.103. Найти кривую, проходящую через точку

A(3 ; 0 ), если известно, что

угловой коэффициент касательной равен

x + y

11.104. Кривая проходит через точку(−1;1). Расстояние любой касательной к этой кривой от начала координат равно абсциссе точки касания. Написать уравнение указанной кривой.

11.105. Найти кривую, проходящую через точку A(1;2), для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равен абсциссе точки касания.

§4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

В задачах 11.106 − 11.117 найти общее решение данных дифферен- циальных уравнений.

	x2			x2
11.106. y¢ + xy = x × e			y¢ - xy = x × e
11.106. y¢ + xy = x × e	2	. 11.107.	y¢ - xy = x × e	2

.11.108. y ′+ y = e x .

y¢ +

y¢ -

= xe3x . 11.111. y¢ +

11.109.

= x × e x

. 11.110.

x +1

x 2

y¢ + y × tg x = x 2 × cos x . 11.113.

y¢ - xy = cos x × e

11.112.

11.114.

y ′ +

e x

. 11.115. y′ −

= ctg x . 11.116.

y¢ =

x + y 2

tg x sin x

tg x

′

11.117.

2 y ln y + y

− x .

11.118.	Сила тока	I в	электрической цепи с сопротивлением R,
коэффициентом индуктивности L и электродвижущей силой E удовлетворяет
дифференциальному уравнению			L	dI	+ RI = E .	Найти зависимость силы тока

				dt
I = I (t )	от времени, если E = A sin ωt (L , R , A					- постоянные).

В задачах 11.119 − 11.130 найти частное решение дифференциальных уравнений (задача Коши).

11.119.

11.121.

11.123.

11.125.

11.127.

11.129.

y¢ -

= x 2 ,

y(1)= 0 . 11.120. y′ +

=1,

y(0)= 0.

2 +1

y′ +

= 3x ,

y(−1)= 2. 11.122.

y′ + xy = x3 , y(0)= 0 .

′

+1),

y − y = x

y(0)= 6 . 11.124.

y −

y = e

y(0)=1.

x +1

y′ + y = e

−x

y(0)= -1. 11.126.

y ′ - y × ctg x =

2 x × sin x , y

= 0 .

y¢ - y × tg x =

, y(0)=1. 11.128.

y′ −

−1 − x = 0 , y (0 )= 0 .

cos x

1 − x 2

x y′ + y = e

y (a )= b . 11.130. y

′ - y × sin x = sin x × cos x ,

= 0 .

11.131. Сила тока	Iв	электрической цепи				с сопротивлением		R, коэф-
фициентом индуктивности Lи			электродвижущей силой				E удовлетворяет
дифференциальному уравнению			L	dI	+ RI = E .	Найти зависимость силы тока

I = I (t )от времени, если				dt			I (0)= 0
		E меняется по закону				E = kt и		(L, R,k -

постоянные), k– коэффициент пропорциональности.

§5. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков, допускающие понижение порядка

В задачах 11.132 − 11.156 найти общее решение данных дифференци- альных уравнений.

11.132. x y ′′ = 1 . 11.133.				y ′′ = cos 3x . 11.134. y′′ =
11.136. y′′′ = e 4x . 11.137.				y ′′ = ln x . 11.138.				xy′′ =
′ ′′	′	2	−1. 11.141. y		′′		y′
						=		1 + ln
11.140. 2xy y	= (y )
							x


	1				′′′′		1
	sin 2 x		. 11.135. y		′′′′	= x 5 .
	sin 2 x		. 11.135. y			= x 5 .
	y′. 11.139.			x 2 y′′ = (y′)2 .
y′				y′′ = y′ + x .
		. 11.142.
		. 11.142.
	x

11.143.

y′′ =

y′

+ x . 11.144.

x 2 y′′ + xy′ = 1. 11.145.

xy ′′′ + y ′′ = 1 + x .

y ′′′ = 0 . 11.147. yy′′ = (y′)2 . 11.148.

10.146.

xy ′′′′ −

y 3 y′′ = 1.

11.149. yy′′ − (y′)2 − 1 = 0 . 11.150.

1 + (y′)2 − 2 yy′′ = 0 . 11.151. 2 yy′′ = (y′)2 .

11.152. y

′′

′

). 11.153. y

′′

′

)

′

′′

= 2 y .

= y (1

+ ( y )

1 − (y

. 11.154. 3 y y

11.155.

y ′′ = y ′ ln y ′ . 11.156.

y′′ +

(y ′)2 = 0 .

1 − y

В задачах 11.157 − 11.173 найти соответствующие частные решения дифференциальных уравнений.

′′

= tg

′

′′′

= x 3

11.157.

x , y(0) = 0

, y

(0) =

0 . 11.158. y

y(1) = 2 ,

1. 11.159. y′′ =

ln 2

y ′(1) = 1, y ′′(1) =

, y

′

= 0 .

cos2

2 x

′

′′

′

11.160. y ′′′ = e

y(0) =

. 11.161. (1 + x

−

2xy

= 0 ,

(0) =

y(0) = 0 ,

′

. 11.162.

′′

− y

′

= x

y(1) = 0 ,

′

(0) = 3

y (1) = 0 .

11.163.

′′

+ 1)+ y

′

= 0,

y(0) = 3 ,

′

′′

′

y (e

y (0) = 2 . 11.164.

x ln x = y

y(e) = 2 ,

y ′(e) = 4 . 11.165.

xy¢¢ + y¢ =

, y(1) = 4 ,

y′(1) = 0 .

11.166. tg x × y¢¢ -

y¢ +

= 0

, y

= 0 ,

′

11.167.

y ′′ −

y ′ ctg x =

sin x

y′′ = 18y

= sin 2x , y

′

= 0 . 11.168.

(1) = 1 ,

y ′(1) = 3 .

′′ 3

+ 9

= 0 ,

y(1) = 1 ,

′

′′

= y

− 16, y(0) = 2

11.169.

2 ,

y (1) = 3 . 11.170.

′

= (y − 1)y

′′

y(0) = 2 ,

′

y ′′ +

y (0) = 2 . 11.171. 2(y )

y (0) = 1 . 11.172.

+ 18sin y cos y

= 0 , y(0) =

′

0 , y

(0) = 3 .

11.173.

′′

tg y =

2(y

′

, y(0) =

′

)

(0) = 1 .

§6. Линейные дифференциальные уравнения второго

ивысших порядков с постоянными коэффициентами

Взадачах 11.174 – 11.186 составить линейное однородное дифферен - циальное уравнение с постоянными коэффициентами, фундаментальная система решений которого имеет вид.

11.174. ex , e−2x . 11.175. e x , e−x . 11.176.1 , x . 11.177. ex , x ex . 11.178. sin 3 x , cos 3 x . 11.179. sin x , cos x, e x . 11.180. e x , xe2 x , e2 x .

11.181. e x , e3x , 1. 11.182. sin 2 x, cos 2 x,1. 11.183. 1, x , x 2 . 11.184. e − x , e x , sin 2 x, cos 2 x . 11.185. e −x , xe −x , sin x , cos x . 11.186. sin 3x, cos 3x, 1, x .

В задачах 11.187 – 11.206 решить однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

11.187. y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 0 . 11.188. y ′′ − 6 y ′ + 5 y = 0 . 11.189. y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 .

11.190. y ′′ − 6 y ′ = 0 . 11.191. y ′′ − 9 y = 0 . 11.192. y ′′ + 9 y = 0 .

11.193. y ′′ − 6 y ′ +10 y = 0 . 11.194. y ′′ + y ′ + y = 0 . 11.195. 4 y ′′ + y = 0 . 11.196. y ′′′ − 2 y ′′ − 3 y ′ = 0 . 11.197. y ′′′ + 2 y ′′ + y ′ = 0 . 11.198. y ′′′ + 4 y ′′ +

+ 13 y ′ = 0 . 11.199.

y′′′ + y′′ = 0 . 11.200.

y′′′ + y′ = 0. 11.201. y′′′ + y = 0 .

11.202.

y′′′ + y′′ − 2 y = 0 . 11.203. y′′′′ + y′′′ = 0. 11.204. y′′′′ + y′′ = 0 .

11.205. y′′′′ + y′ = 0 .

11.206. y′′′′ + y = 0 .

В задачах 11.207 – 11.215 найти частные решения уравнений, удовлет -

воряющие указанным начальным условиям.

11.207.

y ′′ + 5 y ′ + 6 y = 0 , y(0)= 2 ,

y ′(0)= −1. 11.208.

y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 0 ,

y(0)= 0 ,

′

. 11.209. y ′′ + 2 y ′ + 5 y =

0 , y(0)=

′

y (0)= 2

0 , y

(0)=1.

11.210.

y ′′ − 3 y ′ = 0 ,

y(0)= 3 ,

y ′(0)= −2 . 11.211.

y ′′ − 9 y = 0 , y(0)= 3 ,

′

′′

+ 25 y = 0 ,

y(0)= 0 ,

′

y (0)= −3 . 11.212.

y (0)= −1. 11.213. y ′′ − 7 y ′ +

+ 12 y = 0 , y(0)= 4 ,

′

′′

− 8 y

′

+16 y = 0

, y(0)= 0 ,

(0)= −3 . 11.214.

y ′(0)= −5 . 11.215.

y ′′ + 2 y ′ + 4 y = 0 ,

y(0)=1,

y ′(0)= 0 .

В задачах 11.216 − 11.235 найти общее решение неоднородного линейного уравнения, находя частное решение методом неопределённых коэффициентов.

11.216. y′′ − 3y′ + 2 y =10e −x . 11.217.

y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 2 x . 11.218. )′′ + 4)′ −

−5) = −5.

11.219. y

′′

+ 4 y

′

+ 4 y = xe

. 11.220. y

′′

+ 2 y

′

+ y = cos x .

11.221.

y′′ + 3y′ = 2e−3x . 11.222. y ′′ − 2 y ′ = 2 sin 3x . 11.223. y ′′ − 4 y ′ =

= 2cos3x .

11.224.

y ′′ + 3 y ′ =18x + 9 . 11.225.

y′′ + 4 y = x 2 −1.

11.226.

y ′′ + y = cos x . 11.227.

y′′ + y = sin 2x . 11.228.

y ′′ − 2 y ′ + 3 y =

= e − x cos x .

11.229.

y′′′ − 5 y′′ + 8 y′ − 4 y = e 2 x . 11.230.

y′′′ − y′ = −2x .

11.231.

y ′′′′ − y = 8e x . 11.232.

y′′′ + y′′ = e−x . 11.233.

y′′′ + y′′ = 6x .

11.234.

y′′− y = 2xe−x . 11.235.

y′′′′ − y = cos x .

В задачах 11.236 –11.248 найти частное решение неоднородного линейного уравнения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

11.236.

′′

−

′

+ 2 y = 2x

+1, y(0)=

′

. 11.237.

y ′′ − 4 y ′ + 3 y =

0 , y (0)=1

=1 − x , y(0)= 0 ,

y′(0)= 2 . 11.238. y′′ − 5y′ + 6 y = x 2 + 2 ,

y(0)= 0 ,

y′(0)= 4 .

11.239.

′′

− y

′

− 6 y = x

+ 2 ,

y(0)= 0 ,

′

11.240.

′′

+ 3y

′

= x

+ 3 ,

y (0)= 3.

y(0)= 0 ,

y′(0)= −3 . 11.241.

y′′ − 2y′ = x 2 −1,

y(0)= 0 ,

y′(0)= −4 .

11.242.

y′′ + y = 4xex , y(0)= −2 ,

y′(0)= 0 . 11.243. y′′ + y = 4 sin x ,

y(0)=1,

′

′′

+ y

′

= −sin 2x ,

y(π)=1,

′

(0)= 2 . 11.244.

y (π )=1.

11.245.

′′

+ 9 y = 6 cos 3x ,

y(0)=1,

′

(0)= 3. 11.246. y ′′ + 2 y ′ − 3 y =

2 x

y(0)=

′

′′′

+ y

′

= −2x ,

y(0)= 0 ,

′

= 48x e

. 11.247.

, y (0)= −

(0)=1,

y′′(0)= 2 . 11.248.

y′′′′ − y =8e x ,

y(0)= −1,

y′(0)= 0 , y ′′(0)=1,

y′′′(0)= 0 .

В задачах 11.249 – 11.260 найти общее решение методом вариации произвольных постоянных.

11.249. y′′ + 4y =	1	. 11.250. y′′ + y = tg x . 11.251. y′′ + y + ctg2 x = 0 .

sin 2x

′′

11.252. y

+ 9 y = cos 3x . 11.253. y

′′ + 4 y = sin 2 x . 11.254. y ′′ − 2 y′ + y =

x 2 .

11.255.

y ′′ + y ′ =

. 11.256.

y′′ + 2 y′ + y =

e − x

. 11.257. y ′′ − 2 y ′ + y =

1 + e x

′′

e x

′′

′

ln x

2 + 1 .

11.258.

− y = e x − 1

. 11.259. y

+ 6 y

+ 9 y = e3x .

y′′ − y′ = e 2 x

11.260.

1 − e 2 x .

В задачах 11.261 – 11.270 решить дифференциальные уравнения, применяя принцип суперпозиции решений.

11.261.	y ′′ − 2 y ′ + y = sin x + e − x .			11.262. y′′ − y = 2e−x − x 2 .
11.263. y′′ - 4 y′ + 4 y = sh x + sin x .				11.264.	y′′ - 4 y′ + 4 y = sin x × cos 2x .
11.265. y′′′ + y′′ = 6x + e−x . 11.266.				y′′′′ − y = xex + cos x .
	y′′ + 25y = 3e x +	4			y′′ − 4 y′ + 13y = x − 2 +	e	2 x
11.267.			.	11.268.				.

						cos 3x
		cos5x
11.269.	y′′ + y′ = cos2 x + x 2 . 11.270. y′′ + 4 y = x sin 2 x .

В задачах 11.271 – 11.279 найти общие (частные) решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

= y,

11.271.

11.272. dt

11.273. dt

= x.

x 2

11.274.

11.276.

dx				= x − 3y,



dt
	dy		= 3x + y.
			= 3x + y.
dt
dx
					= 4 x + y,
					= 4 x + y,
dt
		dy		= 18 x + y.
				= 18 x + y.
dt

11.275.

11.277.

dx	= − x + 5 y,
	= − x + 5 y,

dt
dy = x + 3 y.
dt
	dx = 3x + 5 y,
	dt	x (0 ) = 2, y (0 ) = 5 .
	dt	x (0 ) = 2, y (0 ) = 5 .

dy = −2x − 8 y.


			dx		= y,				dx	+ 2x + y = sin t,

11.278.						11.279.				при условии
	dt						dt
		dy		= x + et + e − t .				dy		- 4x - 2 y = cos t

	dt						dt

x (π) = 1, y (π) = 2 .

Глава 12

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§1. Расстановка пределов интегрирования

В задачах 12.1 - 12.17 найти пределы двойных интегралов f ( x , y )dxdy

при данных (конечных) областях интегрирования D , представив интегралы в виде одного из повторных интегралов.

12.1. D - прямоугольник со сторонами x = 1, x = 4 , y = 0 , y = 2 .

12.2.D - прямоугольник: 0 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 5 .

12.3.D - треугольник со сторонами x = 0 , y = 0 , x + y = 2 .

12.4.D - треугольник: x − 3 y = 0 , y − 2 x = 0 , x ≤ 3 .

12.5. D - ограничена линиями x + y = 2, 4x + 4 = y 2 .
x = 0,			1 £ x £ 2,	x ³ 0,
12.6. D : 0 £ y £ 1,			12.7. D : y £ x,	12.8. D : y ³ 0,
	2	= 4.			2	+ y	2	£ 1.
x + y		= 4.	xy ³ 1.	x		+ y		£ 1.

x ³ 0,
12.9. D : y + x £ 3,					12.10. D - ограничена линиями y = x + 3, y = 2x 2 , (x ≤ 0)
	£ 2 y		2	.
x	£ 2 y			.
. 12.11. D - ограничена параболами							y = x 2 , x = y 2 . 12.12. D :	x 2	+	y 2	£ 1.
. 12.11. D - ограничена параболами							y = x 2 , x = y 2 . 12.12. D :		+		£ 1.
12.13. D: (x − 2)2 + (y − 3)2 ≤ 4 .							4		9
12.13. D: (x − 2)2 + (y − 3)2 ≤ 4 .
x ³ 0,						x ³ 0,5,
12.14. D : 4 y ³ 3x,						12.15. D :	y ³ x,
	2	+ y	2	£	25.
x		+ y		£	25.	xy £ 1.
							97

12.16. D − треугольник со сторонами y = x , y = 2 x , x + y = 6 . 12.17. D − параллелограмм: y = x , y = x + 3 , y = −2 x + 1, y = −2 x + 5 .

В задачах 12.18 – 12.25 представить двойные интегралы f ( x , y )dxdy , где

D − заданные ниже треугольники, в виде одного повторного интеграла, выбрав соответствующим образом порядок интегрирования.

12.18.			12.19.
	y		y
	.		.
	.		.
	.		.
	.		.
	.		.
.	x	.		x	.

12.20.			12.21.
	y		y
.			.
.			.
		x .		x .
.			.
.			.
12.22.			12.23.
	y		y
	y		y
	.		.
.
		x		x .
.
.
12.24.			12.25.
	. y		y
.			.
.			.
		x .		x .
	.		.
.			.
			98

В задачах 12.26 – 12.35 представить двойные интегралы f ( x , y )dxdy ,

где D - заданные ниже области, границы которых составлены из отрезков прямых и дуги окружности, в виде одного повторного интеграла, выбрав со- ответствующим образом порядок интегрирования.

12.26.	y	12.27.	у
	.		.
	.		.
.	x .		x .
	.		.

12.28.		y	12.29.	у
	.			.
	.			.
	.			.
		x .			x .
	.			.
12.30.	y		12.31.	y
	.			.
	.			.
		x .			x .
	.			.
	.			.
12.32.		y	12.33.	у
	.			.
	.			.
		x .			x .
	.			.
12.34.	.		12.35.	.
	.			.

		Y		у
	.			.
	.			.
		x .			x .
	.			.
	.		99	.
	.			.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.25 Mб29099.pdf
#
21.11.202389.58 Кб091.pdf
#
21.11.2023161.52 Кб0910.pdf
#
25.11.20232.25 Mб09100.pdf
#
25.11.20232.26 Mб09101.pdf
#
25.11.20232.27 Mб59102.pdf
#
25.11.20232.27 Mб69103.pdf
#
25.11.20232.27 Mб09104.pdf
#
25.11.20232.27 Mб69105.pdf
#
25.11.20232.27 Mб49106.pdf
#
25.11.20232.27 Mб09107.pdf