9102

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

e − x dx .

dx . 8.47.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

§4. Извлечение корней из комплексных чисел

7.15. Представить в показательной форме числа: 1) z = 2i ; 2) z = −1 + i ; 3) 1; 4)

3 + i ; 5) 3 + i3 ; 6) − 2 + i6 .

7.16. Представив числа z1 = 1 + i и z2 = 1 − i3 в показательной форме, вычислить:

1) z1 × z2 ; 2) z1 ; 3) z6 ; 4) 4 z .

z2 1 1

7.16. Извлечь корни из комплексных чисел: 1) i ; 2) 3−1 ; 3) 4−1 ; 4) 3i ; 5) 44 ; 6) 4− 2 + 2i 3 ; 7) 61 .

7.17. Найти корни многочлена второй степени (с комплексными коэффициентами) на множестве комплексных чисел и разложить его на

множители Q(x) = ix2 + 2ix + x +13i +1.

7.18.Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известен один из его корней x1 =1 − 3i .

7.19.Решить на множестве комплексных чисел уравнение 4 x 2 − 8x +13 = 0 .

Глава 8

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Непосредственное интегрирование

В задачах 8.1 - 8.24 вычислить интегралы:

8.1.		x −				3	dx .
		2
			x
8.4.		x +			4			dx .
		2

						x
	(					−1)3				dx .
8.7.				x

						x
			(1 + x )2
8.10.		x × (1 + x 2 )dx .
8.13.				1					dx .
			x 2 -					7

8.2.(x 2 + 1)2 dx .

	1				1
8.5.			-				dx .
				4
						3
		x			x	3
		x			x

1 - x 2

8.8. dx .

8.11. x 2 + 27 dx .

8.14. 5 − x2 .

8.3.3x −21 dx .

8.6.		3 x 2 - 4		x
					dx .

			x
			x
		1 + 2x2
8.9.	x 2 × (1 + x2 )dx .

x 2

8.12. x2 +1 dx .

8.15. 4 + x2 .

8.16.

cos 2 x

8.17.

dx .

x 2 - 9

cos2 x × sin 2 x

ctg

3tg2 x + 3

8.19.

xdx .

8.20.

dx .

sin2 x

8.22.

dx .

8.23.

2 x + 5x

dx .

10x

8.18. tg2 xdx .

			e	−x
8.21. e	x	+
					2
	1		cos				dx .
						x

8.24.x3e x + x 2 dx .

8.25.

Будет

ли

функция

cos(2 x + 1)+ 2

первообразной

для

функции

sin(2 x +1)?

8.26.

Пусть

F (x)

- первообразная для функции

F (1)= π .

- 4x - x 2

F (− 2).

Найти

§2. Интегрирование внесением под знак дифференциала или методом замены переменной

В задачах 8.27 - 8.64 вычислить интегралы:

8.27.	2xdx			8.28. (2 + 3x)7dx .	8.29.		dx .
			.			2 + 3x		8.30.

	x2 +
		1

8.31. 5

dx .

3 + 5x

2 +

8.34.

− 3x

dx .

8.35.

2 x + 3

dx .

+ 2x

2 x + 1

6x − 5

8.38.

dx .

8.39.

3x 2 - 5x + 2

8.32.			x	dx .
	x		2 - 3

8.36.			x +1	dx .

		x 2 +1

x + ln x dx . x

8.33.				x 3			dx .

				x 4 + 1
				x 4 + 1
	8.37.					x2		dx
	8.37.					3 +		dx
					x	3 +	1
8.40.		ln x	dx .			8.41.
8.40.			dx .			8.41.
		x

xdxln x .

		e	x
		e	x
			x
			dx .

sin x

cos2 x dx

sin 2 x

cos2 x dx

x × sin(1 -

x2 )dx .

8.42. e 3 x dx .

8.45.ex +1dx . 1 + sin x

8.48.cos2 x dx .

cos x

8.51. 3sin2 x dx . 8.54. costg2xx dx .

8.49.esin x × cos x dx . 8.50.

8.52.cos5 x × sin 2 xdx . 8.53.

8.55.	ctg	x	dx .	8.56.
	2
	sin	x

arctg

arcsin x

dx .

8.57.

dx .

8.58.

8.59.

1 + x 2

1 − x 2

4 - (2 x + 3)

3x + arcsin x

. 8.60.

dx .

8.61.

8.62.

arccos

2 x × 1 - x 2

1 - x 2

2 + 2 x

8.63.

8.64.

4 x - 3 - x 2

- 2 x - x 2

4x + x 2

§3. Интегрирование по частям

Взадачах 8.65 - 8.92

8.65.x × sin xdx .


8.68.			x		dx .
			x
			e
8.71.				x				dx .
			2
			sin				x
8.74.			x ×sin x						dx .

			cos2 x
8.77.		ln		x		dx .


				x
8.80.	arcsin xdx .
8.83.	x arcctg xdx .

вычислить интегралы:

8.66.x × cos 2 x dx .

8.69.(3 - x )× e 2 x dx .

8.72. cos 2 xdx .

8.75. ln xdx .

8.78. lnx 3xdx .

arcsin x 8.81. 1 + x dx .

8.84. arctg x dx . x

8.67.(5x + 6)× sin 3xdx .

8.70.x × 2 −x dx .

x× cos x

8.73.sin 2 x dx .

8.76.x × ln (x - 1)dx .

8.79.ln (x 2 + 1)dx .

8.82.arctgxdx .

arcsin x 8.85. 1 - x dx .

8.86. x 2 sin xdx . 8.89. x 2 × 2 x dx .

8.92. Вычислить разность функции x ln x .

8.93. Вычислить разность

функции (x + 6)cos 3x .

8.87.	ln 2 xdx .		8.88.		x 2 × e −x dx .
8.90.	e x sin xdx .		8.91.		e x cos xdx .
F (2)− F (1),		если	F (x) -	первообразная для
	π	, если F (x)		- первообразная для
F (2π )- F
	3

§4. Интегрирование рациональных функций

В задачах 8.94 - 8.113 вычислить интегралы:

		x												x 2															x4
8.94.				dx .				8.95.									dx .							8.96.								dx .
8.94.				dx .				8.95.						x -			dx .							8.96.								dx .
	x + 2													x -		3												x2 - 2
8.97.			dx															dx										(x − 4)dx
								. 8.98.															.	8.99.											.
	(x + 2)(x + 3)							. 8.98.					(x + 1)(2x - 3)										.	8.99.	(x - 2)× (x - 3)										.
8.100.	(22x + 7)dx .							8.101.								x dx						.		8.102.				3x2 + 2x - 3						dx .
												2 x			2													3x2 + 2x - 3
															2
	x		+ x − 2													− 3x − 2													x3 - x
8.103.	x	3	-1			dx .		8.104.							dx						.			8.105.				x	+ 2		dx .

																			2
																												3
																												3
	x3 - x												x × (x + 1)														x		+ x
	x 3 + 1												x 2 + x + 1															x +1
8.106.							dx .	8.107.												dx .				8.108.									dx .
																										x 4 - x 2
	x	3 - x												x 4 - x												x 4 - x 2
			dx											dx													x dx
8.109.	x × (x 2 +1).							8.110.										.						8.111.						.
8.109.	x × (x 2 +1).							8.110.			x 3 - 1							.						8.111.	x 3 - 1					.
8.112.	x − 2				dx .			8.113.				x − 2							dx .
8.112.					dx .			8.113.	x3	+ 2x 2 + x									dx .
	x 4 -1								x3	+ 2x 2 + x

§5. Интегрирование тригонометрических функций

В задачах 8.114 - 8.131вычислить интегралы:

8.114.

8.117.

8.120.

8.123.

8.126.

sin 3x × sin 7x dx .

8.115.

sin 2x × cos 6x dx .

8.116. cos

× cos

dx .

sin3 x dx .

8.118. cos5 x dx .

8.119. sin2 x × cos3 x dx .

cos

dx .

8.121.

sin

dx .

8.122. ctg 3 xdx .

sin

cos x

sin

8.125. cos

xdx .

8.124.

dx .

cos 4 xdx .

8.127.

8.128.

3sin x

5 cos

8.129.

8.130.

8.131.

5cos x + 3

1 + sin x

1 + sin x + cos x

§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

В задачах 8.132 - 8.148 вычислить интегралы

8.132. x ×

dx .

x + 5

8.133.

dx .

8.134.

dx .

x -1

8.135.

dx .

8.136.

dx .

8.137.

x + 2

dx .

1 +

x +1

8.138.

x −1

dx .

8.139.

dx .

8.140.

x 2

dx .

x ×

2x −1

x - 1

x -1

8.141.

dx .

8.142.

dx .

8.143.

dx .

4 x +

+ 3 x 2

+3 x −2

× ( 1 +

)3 dx .

8.144.

x 3 ×

1 + x 2 dx .

8.145.

8.146.

9 - x 2 dx .

8.147.

dx .

8.148.

dx .

x × x 2 -1

× x 2 + 1

§7. Смешанные примеры

8.149.

Найти ту первообразную от функции

x , которая принимает значение

x = 2 .

3 при

x + 3

8.150.

График первообразной

F (x)

для функции

проходит

(x - 4)×

x - 4

через точку

A(5 ; 0 ).

Найти F (8).

В задачах 8.151 - 8.198 вычислить интегралы:

2 − 4x

8.151. (x + 1)×

8.153.

dx .

x 2 + 2 x dx .

8.152. x 4 × 4 1 - 6x5 dx .

7x −1

8.154.

(2 x + 3)dx

8.155.

8.156.

x 2 - 4 .

1 + 9x 2

2x 2 + 9

8.157.

xdx

e x dx

8.158.

8.159. e x × 1 - e x dx .

x 4 +1

e2 x + 4

8.160.

8.163.

8.166.

8.169.

8.172.

8.175.

8.178.

8.181.

8.184.

8.1887

8.190.

8.193.

8.196.

e x × 1 - e− 2 x .


	1 - xdx		.
			.
	x
x − 1		dx .
		dx .
	1 - x

x ×sin 2 xdx .

x2 + 1

x3 − x 2 dx .

sin x × cos 3x dx .

ln x

x 3 dx .

2 x

dx .

1 + 2 x

x 2

dx .

8x 3 + 27

x × (1 + x ) .

sin2 x × cos2 x dx . 2 2

e x × (3 + e− x ).

1 - 2x - x 2 .

ln x dx

8.161.

8.162.

x × (1 - ln2 x ).

x ×

3 - ln2 x

8.164.

8.165. x 3 × 5 1 - 5x 4 dx .

x × (1 - x )

arccos x

sin

8.167.

dx .

8.168.

1 − x

8.170. x × tg 2 xdx .

8.171.

arctg x dx

x 2

sin 2x

8.173.

dx .

8.174.

dx .

x3 - x 2

5 - cos 2x

8.176.

sin4 x × cos5 x dx .

8.177. cos 5x × cos x dx .

tg x

8.179.

dx .

8.180.

ln x

dx .

cos x

x 2

8.182.

1 + tg

3 x

dx .

8.183.

2 x

dx .

cos2

+ 4 x

+ 2

8.185.

(2 + x 2 )3

8.186.

8.189. cos

8.188.

dx .

cos2

x 2

8.191.

tg 2 4xdx.

8.192.

sin 5x

dx .

+ cos 5x

8.194.

8.1965

x − 1

dx .

2 -

6x - 9x 2

2x - 1

8.197.

x − 2

dx .

8.198. tg 7 x dx .

- x 2

Глава 9

Определенный интеграл

§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла и внесение функции под знак дифференциала

В задачах 9.1 - 9.12 вычислить интегралы:

	3
9.1.	5x 2 dx .
	2
	7	dt
9.5.		dt	.

		3t + 4
	−1	3t + 4

2 dx

9.9.1 x 2 + 5x + 4

	π									4		x
	4		dx									x				4			2
	4															4			2
9.2.						.			9.3.	1	+ e	4 dx .			9.4.	xe − x			dx .
9.2.						.			9.3.	1	+ e	4 dx .			9.4.	xe − x			dx .
				2	x
	π cos				x					0						0
	6
	5			dx						1	dx					2	dx
9.6.				dx				.	9.7.		dx			.	9.8.		dx			.
9.6.		3x - 2						.	9.7.			3		.	9.8.		2			.
	1	3x - 2								0 (2 x +		1)				1 x		+ x
	2	x + 3								e ln2 x dx					e3			dx
. 9.10.							dx .		9.11.				.		9.12.						.
			2	+
			2													x ×
	0 x				4					1	x				1	x ×	1 + ln x

§2. Замена переменной в определённом интеграле

В задачах 9.13 - 9.24 вычислить интегралы:

	4			1										4					1							1		x dx
	0			1			dx .							0					1			dx .			9.15. −1			x dx
9.13.													9.14.																		.
		1 +													1 +
		1 +				x									1 +				2 x + 1									5 − 4 x
	13			(x + 1)										0				dx								1
	13													0												1	4 - x 2 dx .
9.16.									dx .				9.17.								.				9.18.

																+ 3 x + 1
	0		3 2x + 1											−11		+ 3 x + 1										0
														ln 2												ln 8
	2			3				dx																					dx
	2			3													e x - 1dx .
9.19.												.	9.20.												9.21.							.

										x 2 +
			2 x 2 ×							x 2 +	4			0												ln 3 1 + e x
														π
	e 4			1	+ ln x									π		(2 tg x - 7)dx .									3			x
	e 4													4											3
9.22.										dx .			9.23.	4											9.24.					dx .
9.22.										dx .			9.23.												9.24.	6	- x			dx .
	1				x													2		x - 9 sin			2	x	0	6	- x
														0 cos						x - 9 sin				x
	§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле
	В задачах 9.25 - 9.36 вычислить интегралы:
	1													π											π
	1													2 (x -1)cos x dx .											π
9.25. x e−x dx .													9.26.	2 (x -1)cos x dx .											9.27. (π − x)sin x dx .
	0													0											0
														0
																			76

9.28. arctg x dx .

4xdx

9.31.π sin2 3x .

2x cos xdx

9.34.π sin3 x .

e ln x dx
9.29.			.
	x	3
1

9.32. x 2 e−2 x dx .

9.35. x 2 2− x dx .

9.30. xdx2 .

0 cos x

9.33. x 2 arctg xdx .

9.36. e (1 + ln x)2 dx .

§4. Несобственные интегралы

В задачах 9.37 - 9.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами интегрирования (1 рода) или установить их расходимость:

	∞ dx
9.37.					.
			x	2
	1
	∞
9.40.	2	dx				.
		(x − 1)5

∞dx

9.43.−∞ x 2 +1 .

	∞	−4 x dx .
9.46.	e
	0
	∞
9.49.	e−x3 x2 dx .
	0
	∞	xdx
9.52.
			.
	2	(x 2 − 3)3

	∞dx													∞ dx
9.38.					.							9.39.									.


	1 x												1						x
	∞	1	+ x			2							∞				xdx
9.41.		1	+ x					dx .				9.42.					xdx							.
9.41.				x 5				dx .				9.42.												.
	1			x 5									0 x 2 +								1
	∞				dx							∞ln xdx
9.44.											.	9.45.											.
9.44.			2 +			2x +			3		.	9.45.					x						.
	2 x		2 +			2x +			3				2				x
	∞												∞				−
	∞												∞				−			x
9.47.	xe −2 x dx											9.48.			e							dx .

																			x
	0												1						x
	∞												∞						dx
	∞			arctg xdx									∞
9.50.										.		9.51.													.


	0				x 2 + 1								e x						ln3 x
	∞			dx								∞								dx
9.53.				dx			.					9.54.								dx							.
9.53.						2	.					9.54.				2		+ 2x +									.
	0	(x +1)										−∞ x						+ 2x +								2

В задачах 9.55 - 9.63 вычислить интегралы от разрывных функций (2 рода) или установить их расходимость:

	3			dx				2			xdx
9.55.				dx		.	9.56.				xdx	.

				9 − x 2							x −1
	0			9 − x 2				1			x −1
		1						π
9.58.	4		dx		.		9.59.	4			dx		.
9.58.			dx		.		9.59.				dx		.
	0		x ln x					0	1	− cos2x
	0							0
												77

	1
9.57.	ln xdx .
	0
	2	dx
	0	dx
9.60.			.
9.60.		(x − 1)2	.

	2		dx			1					1
	2
					0	e x dx				1 e x dx



9.61.	0	3	(x − 1)2 .	9.62.					.	9.63.			.
9.61.	0	3	(x − 1)2 .	9.62.			x	3	.	9.63.	x	2	.
					−1		x			0	x

§5. Приложения определённого интеграла

В задачах 9.64 - 9.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

	y = x2 + x
9.64.					.
		y = x + 1
	y − sin x = 0
9.67.				2		.
9.67.		y =		2	x	.
		y =		π	x
				π
		y = x2
9.70.						.
	y + x2 = 2x

	y = tg x
9.73.		y = 0 .
9.73.		y = 0 .
		x =	π
		x =	3
			3
		y =
		y =			x
9.76.

	y = 4 − 3x .
		y = 0

		y = x 2

	lg x + lg y = 0
9.79.			y =		0	.
			y =		0
		x = 2
		x = 2

	y = 4x − x2
9.65.		y − x =				.
		y − x =				0
	y = (x − 1)2
9.68.						.
		y = x + 1
		y = cos x
9.71.			π			π .
9.71.			π		y =	π .
	x +		2		y =	2
			2			2
	y = x 3
			1
			1
9.74.	y =				.
9.74.	y =			x	.
				x
	x = 2

	y + x 2 = 3x

9.77.	y = 6 − 2x .
		x = 0

y = (x − 1)2
	x = 0
	x = 0
9.80.	.
	y = 0
	x = 5
	x = 5

9.66.	y = x 2 + 1				.
9.66.					.
	y = 3 − x 2
		y = x 2
9.69.					.
9.69.					.
	y = 2			2 x
	y =
	y =		x 3
9.72.		x = 3 .
9.72.		x = 3 .
		y = 0
		y = 0

	y = 2− x

9.75. x − 2 y + 2 = 0 .
	x − 2 = 0

y = e2 x

= − 2 x

9.78. y e .

x − 3 = 0

y = 4 x − x 2
	x = 0
	x = 0
9.81.	.
	y = 1
	y = 3
	y = 3

В задачах 9.82 - 9.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями в полярных координатах:

9.82.	ρ = 3ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .	9.83.	ρ = 2 cosϕ .	9.84.	ρ = 2sinϕ .
9.85.	ρ = cos2ϕ .	9.86.	ρ = 2sin 2ϕ .	9.87.	ρ = 4cos3ϕ .
	ρ = 1 + sinϕ .		ρ = 2(1 − sinϕ ).		ρ =		(1 + cosϕ ) .
9.88.	ρ = 1 + sinϕ .	9.89.	ρ = 2(1 − sinϕ ).	9.90.	ρ =	2	(1 + cosϕ ) .
			78

ρ =

(1 + sin ϕ ).

ρ 2 = 2 cos ϕ .

ρ 2 = 2 sin ϕ .

9.91.

9.92.

9.93.

В задачах 9.94 - 9.102 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

x = 3cost

x = 2 + 2 cost

x = 2 cost

9.94.

9.95.

9.96.

y = 3sint

y = 3 + 2sin t

y = 4sin t

x = 2 + 3cost

x = cos3 t

, t [0; 2π ].

9.97.

9.98. астроидой

= sin3 t

y = 3 + 2sin t

x = t − sin t

9.99. Одной аркой циклоиды

= t − cost

и осью x.

9.100.

9.101.

x = t − sin t
Первой аркой циклоиды	и прямой
y = t − cost

x = 2 cost		y = 3 ( y ³ 3 ). 9.102.	x = 8cos3 t	, x = 1 ( x
	,	y = 3 ( y ³ 3 ). 9.102.		, x = 1 ( x
y = 6sin t			y = 8sin 3 t

y =	1	( 0 < x < 2π ).

2
³ 1 ).

В задачах 9.103 - 9.111 вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси x фигур, ограниченных линиями:

	y = 2x − x		2		y −sin x =0							y = cos x
9.103.	y = 2x − x		.				2		.				9			2 .
9.103.			.	9.104.			2		.	9.105.			9			2 .
		y = 0				y =		x			y =				x
		y = 0				y =	π	x			y =		2π	2	x
		)" = " .					π						2π
9.106.		)" = " .		9.107.	y = 2x-x" .				9.108.							. 9.109.
		%			8y = 4x-2x"						y = ax − x2 ,				a > 0
	8*" + )" = 1				8y = 4x-2x"							y = 0

y = ln x
	y = 2 .

	x = 2

xy = 4

x =1	.
9.110.	.
x = 4

y = 0

y =1 − x 2


x = y − 2
9.111.	.
	x =1
	x = 0

В задачах 9.112 - 9.123 вычислить объемы тел, образованных вращением

вокруг оси y фигур, ограниченных линиями:

y = x y > 0

y = 0

y 2 = − x

y = x

9.112.

x = 0 .

9.113.

9.114. <

y = 0

x = 2

x = 1

y = x 2 − 2x +1

y = 2x − x 2

y = arcsin x

9.115.

y = 0

9.116.

y = 2 − x .

9.117.

y = arccos x .

x = 2

x = 0

y = 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.25 Mб29099.pdf
#
21.11.202389.58 Кб091.pdf
#
21.11.2023161.52 Кб0910.pdf
#
25.11.20232.25 Mб09100.pdf
#
25.11.20232.26 Mб09101.pdf
#
25.11.20232.27 Mб59102.pdf
#
25.11.20232.27 Mб69103.pdf
#
25.11.20232.27 Mб09104.pdf
#
25.11.20232.27 Mб69105.pdf
#
25.11.20232.27 Mб49106.pdf
#
25.11.20232.27 Mб09107.pdf