Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9102

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

	y = sin x
9.118.		y =1 .

		x = 0

	y = e x

9.121.	y = 0		.

	x =1

x = 0

9.119.

9.122.


x + y = 2
	y = x .
	y = x .
	y = 0
	y = 0
y =
y =		x −1
	y = 0
	y = 0
	y =1 .
	x =		1
			1

	2

	x + y = 2
9.120.		y = x .
9.120.		y = x .
		x = 0
		x = 0
	y 2 = x − 2
		y = 0
9.123.		y = 0		.
9.123.		y =1		.
		y =1
		y = x	3
		y = x

В задачах 9.124 - 9.132 вычислить длины дуг кривых:


9.124.	y = 2 − x2 от точки B (− 1 ; 1) до точки A(1 ; 1 ).
9.125.	y = x 2 − 2 между точками пересечения кривой с осью x.

9.126.

9.127.

и x =

9.128.

y = e x между точками с абсциссами x = 0 и x =1 .

y =	1	(e x + e−x ) (цепная линия) между точками с абсциссами x = −1
y =
2
0 .			x = 3(t − sin t )
			x = 3(t − sin t )			π ≤ t ≤ 2π .
Циклоиды				− cos t )	,	π ≤ t ≤ 2π .
			y = 3(1	− cos t )

9.129.

9.130.

9.131.

9.132.

	x = 4cos3 t
Астроиды		,
	y = 4sin3 t

Эвольвенты окружности

0 ≤ t ≤ π .
	4
x = R(cos t + t sin t )			= 0
	= R(sin t − t cos t )	от t1	= 0
y	= R(sin t − t cos t )

Кардиоиды ρ = 3(1 + cosϕ ).

Окружности ρ = 23 cosϕ между точками, для которых

до t 2 = π .

ϕ = 0 и ϕ = π4 .

Глава 10

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

§1. Область определения функции нескольких переменных

В задачах

10.1 - 10.12

найти и изобразить на координатной плоскости xy

области определения функций:

10.1. z =

x + 2 y

10.2. z =

10.3.

z =

x - y

- y 2

x 2

+ 4 y 2 - 4

10.4. z =

z =

1 − x2 +

1 − y 2 .

1 - x - y

10.5.

z = ln x +

z =

- ln(x × y).

z =

ln(x 2 × y

)

10.6.

y .

10.7.

10.8.

- 2

y - x

10.9.

z =

ln(1 - x 2 - y 2 ). 10.10. z = y + arcsin (x + 2).

10.11.

z =

1 + y2

sin x

10.12. z = ln (y 2 - 4 x + 8).

§2. Линии уровня функции нескольких переменных

задачах

10.13

- 10.24

написать

уравнения

линий

уровня

функции

z = f ( x ; y ) и построить их:

z =

10.15. z =

y - x2

10.16. z = x 2 × y + y .

10.13.

z =

y - x 2 .

10.14.

z =

z = x ×

. 10.19. z = x × y + y .

z =

- y .

10.17.

10.18.

y - 1

10.20.

z =

10.23. z =

10.21.

z = y 2 - x .

10.22.

10.24.

z = 2 y . x

§3. Частные производные функции нескольких переменных

Взадачах 10.25 - 10.42

10.25.z = x − y .

= x × y

10.28. z x 2 + y 2 .

найти частные производные первого порядка:

10.26.	z = x 2 + 3x × y - y 3 .	10.27.	z =	u		+	v		.

				v			u
10.29.	z = x × tg(y + 1) .	10.30.	z =			2 y		.

					sin x

10.31.	z = x × ln y + arcsin y .		10.32.	z = arctg			y	.
10.31.	z = x × ln y + arcsin y .		10.32.	z = arctg				.
							x
10.34.	z = y sin x .		10.35.	z = (5x 3 × y 2 + 1 )4 .
		y
		y							2	2
									2	2
10.37.	z = x × ln	x .	10.38.	z = ln(x + x						+ y ).
10.37.		x .	10.38.	z = ln(x + x						+ y ).
	u = x × y + y × z + x × z .				y
10.40.			10.41.	u = x		.
10.40.			10.41.	u = x	z	.

10.33. z = x y .

10.36.z = e x .

10.39.u = x × y × z

10.42.u = x y z .

В задачах 10.43 - 10.48 найти производные второго порядка z′xx′									′′	′′
								, z yy ,		z xy :
10.43.	z = x 3 + x × y 2 - 5x × y 3 .	10.44.	z =	1	(x 2 + y 2 )3				.
10.43.	z = x 3 + x × y 2 - 5x × y 3 .	10.44.	z =		(x 2 + y 2 )3				.
			3
						x + y
	z = ln(x + x 2 + y 2 ).		z = arctg			x + y
10.45.		10.46.					.
10.45.		10.46.				1 - xy	.
10.47.	z = y ln x .	10.48.	z = arcsin (xy ).

В задачах 10.49 - 10.52 найти смешанные производные указанного порядка от следующих функций:

10.49.

∂3 z

от

z = sin(x × y ) .

10.50.

∂3 z

от

z = e xy 2 .

∂x∂y

∂x

∂y

¶ 2 u

¶3u

10.51.

от

u = x 2 + y 2 + z 2 - 2xz .

10.52.

от

u = e xyz .

¶z¶y

¶x¶y¶z

§4. Производные от функций нескольких переменных, заданных неявно

Взадачах 10.53 - 10.58 найти производные dx от следующих функций:

10.53.x 3 × y - y 3 × x = a 4 . 10.54. x × e y + y × e x - e yx = 0 .

10.55.

x × y - ln y = a . 10.56. cos(x + y )+ x 3 × y 2

= 1 .

x y = y x .

10.57.

3 x 3 + y 3 = y 2 .

10.58.

∂z

В задачах

10.59 -

10.66

найти частные производные ¶x ,

∂y от

следующих функций:

10.59.

x 2

y 2

z 2

=1 .

10.60. x 2 - 2 y 2 + 2z 2 + 4z = 0 .

10.61.

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x × z = 1 .

10.62.

z 3 + 3x × y × z = a 3 .

10.63.	e z - x × y × z = 0 .	10.64.	e z = cos x × cos y .
	sin(x × y + x × z + y × z )= x × y × z .				= ln(x × y × z ).
10.65.	sin(x × y + x × z + y × z )= x × y × z .	10.66.		x × z	= ln(x × y × z ).

§5. Дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

10.67. Найти частные дифференциалы первого порядка и полный дифференциал для функций:

1) z =

;

z = e yx ;

z = x × sin xy ;

4) z = ln(x 2 + y 2 );

u = x -

5) u = x yz ;

x + y + z

10.68. Для функции

z = 3 x + y 2 вычислить частный дифференциал d y z

при x = 2 ,

y = 5,

y = 0,01 .

z =

вычислить частный дифференциал

10.69.

Для функции

ln(x × y )

d x z

при x =1,

y = 2 ,

x = 0,016 .

10.70.

Для функции

z = e yx найти значение полного дифференциала

dz при

x =1, y =1,

x = 0,15,

y = 0,1 .

10.71. С помощью дифференциала найти приближенное значение приращения

функции в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ):
1)	z = x 2 + 11 y 2 - 20 xy , M 0 (11 ; 1) , если x = 0,11 ,	y = −0,02 ;
2)	z = 2 x 2 + 3 y 2 - 5xy при переходе от точки M 0 (9 ; 3)	к точке M 1 (9,02 ; 2,96)
.

10.72. С помощью дифференциала найти приближенное значение числового
выражения:								>	cos 0.05 + 8B
									cos 0.05 + 8B
									2	0.015;
1)	(1,08)3,96 ;			2)	3,98 × (1,03)3,98 ;		3)
1)	(1,08)3,96 ;			2)	3,98 × (1,03)3,98 ;		3)
				5) 2 2 × (2,94 )2 + 9 × 2,94 ×1,07 ;
4)	1,041,99 + 3,02 ;			5) 2 2 × (2,94 )2 + 9 × 2,94 ×1,07 ;			6)		3,022 + 3,982 ;
					ln (0,113 + 1,033 );				2,032
7)	3 4,972 + 1,062 + 1 ;			8)		9)			2,032		;

							2,033 + 1,053 +			7
							2,033 + 1,053 +			7
		5,01			1
10) arcctg			;	11) (2,953 + 2,032 + 1) 5 .
10) arcctg			;	11) (2,953 + 2,032 + 1) 5 .
		4,98

10.73. Высота конуса H = 10 см, радиус основания R = 5 см. Как изменится объём конуса при увеличении высоты на 2 мм и уменьшении радиуса на 2 мм?

10.74. Одна сторона прямоугольника a = 6 дм, другая b = 8 дм. Как изменится диагональ прямоугольника, если a уменьшить на 4 см, а b укоротить на 1 см?

§6. Градиент и производная по направлению функции многих переменных.

10.75. Для функции

z = x 2 - 2 x × y + 3 y - 1

найти проекции градиента в точке

(1; 2). Вектор

grad z

построить.

10.76.

Для функции

z = 4 - x 2 - y 2

построить линию уровня и градиент в

точке

A (1; 2).

10.77. Для функции

z =

построить линию уровня,

градиент функции

x 2 + y 2

в точке

A (1; 2) и найти модуль градиента.

u = x 2 + y 2 + z 2

grad u

10.78. Для функции

найти grad u

10.79. Найти производную функции

u = x 2 + y 2 + z 2

в точке A (1;1;1)

= {cos 450 ; cos 600 ; cos 600 }

направлении

10.80.

Найти

производную функции

z = x 3 - 3x 2 × y + 3x × y 2 + 1 в

точке

N (3;1 )

в направлении, идущим от этой точки к точке M (6 ; 5 ).

10.81.

Для функции

z = f ( x ; y )

в точке

M 0 (x0 ; y0 )

найти градиент и

производную по направлению вектора

z = -3x 2 + 2 y ,

M 0 (1;−3 ),

= {6 ; 8 };

z = ln(3x + 2 y ),

M 0 ( − 1; 2 ),

= {− 3 ;−4 };

z = arctg

M 0 (1; 1 ),

= {− 5 ;12 };

z =

x + y

M 0 (1;−2 ),

= {1 ; 2 };

2 + y 2

z = x × y 3 + x 3 × y ,

M 0 (1; 3 ),

= {2 ; − 1 };

z = x 2 × cos y ,

M 0 1;

a = {5 ; − 12 };

z = sin(π × x × y ),

M 0 (1; 1 ),

= {1 ; − 1 };

z = ln(x + y 2 ),

M 0 (3 ; 4 ),

= {6 ; − 8 };

z =

x × y

M 0 (0 ;1),

= {−1; −1}.

+ y

10.82. Найти производную по направлению наибыстрейшего роста функции в

точке

M 0 (x0 , y0 ):

z =

M 0 (1; 1 );

z = ln(5x − 4 y ),

M 0 (2 ; 1 );

x 2 + y 2

z = arctg(x × y ),

M 0 (1; 1 );

z = 3

M 0 (1; 1 );

x + 7 y

z = arcsin

M 0 (1; 2 );

z = e x 2 + y 2 ,

M 0 (2 ; 1 ).

10.83. Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности:

z = ln(x 2 + 4 y 2 )

в точке (6 ; 4 ; ln 100);

2) z = x y

в точке

(2 ; 2 ; 4).

10.84.

Каково

направление

наибольшего

изменения

функции

u = x × sin z - y × cos z в начале координат?

10.85. Найти точку, в которой градиент функции z = ln x +

равен

−

u =

10.86.

Найти производную функции

в направлении её

x 2 + y 2 + z 2

градиента.

§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

10.87. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной

уравнением F (x , y , z )= 0 (или z = f (x ; y ))					в точке M 0 ( x , y , z ):
1)	x 2 + y 2 + z − 8 = 0 ,	M 0 (1; 2 ; 3 );	2) x 2 + y 2 − z 2 = −1 ,			M 0 (2 ; 2 ; 3 );
3)	z = ln(x 2 + y 2 ),	M 0 (1; 0 ; 0 );	4) z = 3x 2 + y + 1 ,			M 0 (1; y0 ; 3 );
5)	z = x 4 + 2 x 2 y − xy + x , M 0 (1; 0 ; 2 );			6) x 2 + y 2 − 5 = 0 ,		M 0 (1; 2 ; 4 );
7)	x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 8z −1 = 0 ,		M 0 (1; 2 ; 2 ).
10.88. Cоставить уравнение нормальной прямой к поверхности, заданной
уравнением F (x , y , z )= 0 (или z = f (x ; y ))					в точке M 0 ( x , y , z ):
1)	y 2 + z − 3 = 0 ,	M 0 (- 2 ;1; 2 );		2)	z =1 + x 2 + 2 y 2 ,	M 0 (1;1; 4 );
3)	x 2 + 5 y 2 + z 2 =10 ,	M 0 (1; −1; 2 );		4)	z = x 2 + y 2 − 6 ,	M 0 (2 ;1; −1 );
5)	,	M 0 (1; −1;1 );	6)	z = 3x 4 − xy + y 3 ,		M 0 (1; 2 ; 9 );
			85

7) x 2 + 2 y 2 - 3z 2 + yx + yz - 2 xz + 16 = 0 , M 0 (1; 2 ; 3 ).

§8. Экстремумы функции многих переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

В задачах 10.89 - 10.102 найти экстремумы функции:

10.89.	z = -x 2 - 4 y 2 - 8 y - 4 .	10.90.	z = e−7 x 2 −12 y 2 .
10.91.	z = x 2 + 3 y 2 + 2 x + 1 .	10.92. z = x 2 + 2 y 2 - 4 y + 4 x + 2 .
10.93.	z = x 2 - xy + y 2 - y - 2 x .	10.94.	z = y				- y 2 - x + 6 y .
						x
	z = 4(x - y )- x 2 - y 2 .			y	(y + x 2 ).
10.95.		10.96.
			z = e 2
10.97.	z = x 2 - y 2 - xy + 9 x - 6 y + 20 .	10.98.	z = 1 - x 2 - y 2 - xy + 6 x .
10.99.	z = 9 - 9 x 2 - 20 y 2 + 162 x + 2 y .	10.100.	z = x 3 - 6 x × y + 8 y 3 + 1 .

10.101. z = x 3 - 3x × y + y 3 . 10.102. z = 2 x 3 + x × y 2 + 5x 2 + y 2 .

В задачах 10.103 – 10.111 найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f ( x , y ) в замкнутой области D :

10.103. z = 6 xy - 9 x 2 - 9 y 2 + 4 x + 4 y ,

10.104. z = xy + x 2 - 2 ,

10.105. z = 4 xy + 4 x 2 - y 2 - 8 y ,

10.106. z = 2 xy + x 2 - y 2 + 4 x ,

10.107. z = -3xy + 5x 2 + y 2 ,

10.108. z = -xy + 0.5x 2 ,

10.109. z = −xy + 3x + y ,

D :		0 ≤ x ≤1
D :						.
	0 £ y £ 2
D :		y ≤ 0
D :				2	-		4	.
	y ³ 4 x				-		4
	x ³ 0

D :	y ³ 2 x .
		y £ 2
		y £ 2
		x £ 0
		y £ 0 .
D :		y £ 0 .
		³ -x - 2
y		³ -x - 2
−1 ≤ x ≤1
D :					.
- 1 £ y £				1
	y ≤ 8
D :		³ 2 x	2 .
y		³ 2 x
x ³ 0
		£ 4 .
D : y		£ 4 .
		³ x
y		³ x

10.110. z = xy − 3x − 2 y ,

10.111. z = xy + x 2 − 3x − y ,

0 ≤ x ≤ 4
D :	≤ y ≤ 4		.
0	≤ y ≤ 4
0 ≤ x ≤ 2

D :	≤ y ≤ 3	.
0	≤ y ≤ 3

Глава 11

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Основные понятия и определения

В задачах 11.1 − 11.11 проверить, являются ли решением данных дифференциальных уравнений указанные функции (С – произвольная постоянная).

11.1. y = 5x 2

для xy′ = 2 y . 11.2.

y = -

для xy 2 dx - dy = 0.

x 2

11.3. y = ln cos x

для

y ′ = tg x .

11.4.

y = C e −4 x

для

y ′ + 4 y = 0 .

11.5. y = C x 3 для 3 y = x y ′ . 11.6. y = (x + C )× e x для

y¢ - y = e x .

11.7. y =Ce3x

для

y ′ − 3 y = 0 .

11.8. y =

для

y¢¢ = x 2 + y 2 .

11.9. y =

С2 - x 2

для (x + y )dx + xdy = 0 . 11.10.

x 2 - xy + y 2 = C

для

(x - 2 y )× y ′ - 2x + y = 0 . 11.11.

y = arctg (x + y )+ C

для

(x + y)2

=1.

11.12. Функция

y = φ (x ) задана параметрически:

x = te t , y = e −t . Докажите,

что эта функция является решением уравнения

(1 + xy)

+ y 2 = 0 .

задачах

11.13 − 11.18

составить

дифференциальные

уравнения

заданных семейств кривых ( С, С1 , С2 – произвольные постоянные).

11.13.

y = Cx3 . 11.14. x 2 + y 2 = С2

. 11.15.

x 2 + y 2 − Cx = 0 .

11.16. y

sin x

C cos x . 11.17.

y = C e x + C

e −x . 11.18. y = (C

+ C

x)e x .

11.19.Составить дифференциальные уравнение для семейства парабол, с вершиной в начале координат и осью, совпадающей: а) с осью абсцисс, б) с осью ординат.

11.20.Составить дифференциальное уравнение семейства эллипсов, имеющих постоянную большую ось, равную 2a.

11.21.Составить дифференциальное уравнение семейства линий, у которых отрезок касательной между точками касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.

задачах

11.22 − 11.24 в семействе кривых найти ту, которая

удовлетворяет заданным начальным условиям.

11.22.

- y

= С,

y(0)= 3 .

11.23. y = (C1 + C2 x)e

2 x

, y(0)=1,

′

y (0)= 0 .

11.24.

y = C1e

−x

+ C2 e

2 x

+ C3e

, y(0)= 0 ,

′

′′

y (0)=1

y (0)= −2 .

В задачах 11.25 −11.27 для данного дифференциального уравнения построить поле направлений. Методом изоклин построить приближённо графики интегральных кривых.

11.25. y¢ = x 2 . 11.26. y ′ = −x + y . 11.27. y ′ = x −1.

В задачах 11.28 − 11.32 для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку M .

11.28. y¢ = y - x 2 ,

M (1; 2 ). 11.29.

y¢ = 2 + y 2 ,

M (1; 2 ). 11.30.

y ′ = xy ,

M (0 ; −1 ). 11.31.

y ′ = x + 2 y ,

M (3; 0 ). 11.32.

y ′ = y − x , M (4 ; 2 ).

§2. Уравнения с разделяющимися переменными

В задачах

11.33 − 11.55 найти общее решение (общий интеграл) данных

дифференциальных уравнений.

11.33. y¢ =

. 11.34. y′ =

. 11.35. y¢ +

= 0 . 11.36. y ′+

= 0 .

y¢ - xy

= 0 .

′

11.37.

11.38.

2x +1 . 11.39. xy ′ = 2 y +1 .

11.40.

x 2 y¢ - x +1 = 0 . 11.41.

xyy¢ =1 - x 2 . 11.42. y ′ = (2 y −1)ctg x .

11.43. (1 + y )dx − (1 − x)dy = 0 . 11.44.

y 2 + 1 ×dx = xydy . 11.45.

3 + y 2 dx −

- ydy = x2 ydy .

11.46.

(

) y ¢ - y = 0 . 11.47.

y = y ′ ln y .

11.48. y ln y + xy ′ = 0 . 11.49.

y(4 + e x )dy − e x dx = 0 . 11.50. dy − y 2 tg xdx = 0.

11.51. 6xdx − 6 ydy = 2x

ydy − 3xy

dx . 11.52.

′

y (1 + y ) = xy sin x .

y′ = 0 . 11.54. e1+ x2

tg ydx −

e 2 x

11.53. 2x + 2xy 2 +

2 − x 2

dy = 0 .

x − 1

11.55.y ′ cos x − ( y + 1)sin x = 0 .

Взадачах 11.56 - 11.70 найти частное решение дифференциального урав- нения (задача Коши) удовлетворяющее данным начальным условиям.


11.56.	x 2 dy − y	2 dx = 0 , y	1	=	1	. 11.57. xdy − (1 + y 2 )dx = 0 , y(1) =		π	.

			2	3			4
11.58. (x + xy 2 )dx − (x 2 y − y )dy = 0 ,							y(0) = 1. 11.59. ydx + sin 2 xdy = 0 ,

π =

y 1. 11.60.

π =

y 1. 11.62.

cos2 xdy − cos2 ydx = 0, y(0) = π . 11.61. y × sin xdx = dy , 4

cos x × sin ydy = cos y × sin xdx , y (π) = π .

11.63.1 − x 2 dy + + ydx = 0 , y(0) = e .

11.64.1 − x 2 dy − 1 − y 2 dx = 0 , y(0) = 0 .

11.65.	e x dy + 2 y dx = 0 , y(0) = 0 . 11.66. ln y x dy = ydx , y(1) = 1 .
11.67.	e x dy + (2x + 1)dx = 0 , y(0) = 0 . 11.68.	yy′	+ e y = 0, y(1) = 0 .

		x
11.69.	y′ = xe x− y , y(2) = 2 . 11.70. x(y 6 +1)dx − y 2 (x 4 +1)dy = 0, y(0) = 1.

11.71. Определить и построить кривую, проходящую через точку (− 2 ; 2 ), если отрезок любой касательной к кривой, заключённый между осями координат, делится точкой касания пополам.

11.72. Определить и построить кривую, проходящую через точку (− 1 ; − 1 ), для которой отрезок, отсекаемый на оси Ox касательной к кривой в любой её точке, равен квадрату абсциссы точки касания.

11.73. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость размножения

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.25 Mб29099.pdf
#
21.11.202389.58 Кб091.pdf
#
21.11.2023161.52 Кб0910.pdf
#
25.11.20232.25 Mб09100.pdf
#
25.11.20232.26 Mб09101.pdf
#
25.11.20232.27 Mб59102.pdf
#
25.11.20232.27 Mб69103.pdf
#
25.11.20232.27 Mб09104.pdf
#
25.11.20232.27 Mб69105.pdf
#
25.11.20232.27 Mб49106.pdf
#
25.11.20232.27 Mб09107.pdf