9102

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f ( x, y)dy .

f ( x, y)dx .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

В задачах 12.36 – 12.43 представить двойной интеграл f ( x , y )dxdy в

виде суммы повторных интегралов (с наименьшим числом слагаемых), если граница области D составлена из отрезков прямых линий и дуг окружностей.

12.36.				12.37.
	y					y
	.			.
	.			.
	.			.
		x .							x .
	.			.
12.38.				12.39.
	Y					y
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
		x .							x .
	.			.
12.40.				12.41.
	y					y
	.			.
	.			.
	.	x .		.					x .
	.			.

12.42.				12.43.
	y					y
	.			.
	.				.
	.				.
	.				.
		x .							x .
	.			.
	.			.
В задачах 12.44 – 12.75 изменить порядок интегрирования.
3	3−x		0	x +1			0	0	(x , y )dx .
12.44. dx	f (x , y )dy . 12.45.		dx	f (x , y )dy . 12.46.			dy	f	(x , y )dx .
0	0		−1	0			−1 − y −1

100

cos x

−2

0	2 y +2		5		25−y	2			2	4
12.47.	dy f	(x , y )dx . 12.48. dy			f	(x, y )dx . 12.49.				dx f (x , y )dy .
−1	0		0		0				−2	x 2
							π
1	x			y				cos x
1	x		1	y		2		cos x
12.50. dx f (x , y )dy . 12.51.			dy f (x ,			y )dx . 12.52. dx			f (x, y)dy .
0	x 2		0	− y		0			0

y 2

12.53. dy

0 0

12.56. dy

−1

12.59. dx

	0 1−
1	1−x
dx	f ( x ,

0−1−x 2

2 x

12.65.dx

1 1 x

f (x , y )dx . 12.54. dy

3 y +3

f (x , y )dx . 12.57.

y −2

4 f (x , y )dx .

y 2

12 −x

dx f (x ,

−2 x 2

1 2 −2 x		(x , y )dy .
12.55. dx	f

02 x −2


y )dy . 12.58.	1	1+		x	(x , y )dy .
	dx		f
	0		x 2

f (x, y)dy . 12.60.

2 −x

(x , y )dy .

1−x 2

12.61. dx

f (x , y )dy 12.62.

−6

x 2

(x −1)2

−1

25−y2

2− y

y )dy . 12.63. dy

(x , y )dx. 12.64.

(x , y )dx .

−6

y 2 −1

f (x , y )dy . 12.66.

2−y

2+ 1− y 2

dy f ( x, y)dx .

12.67. dy

f ( x, y)dx .

−2

y 2

−1

4	25−x 2
12.68. dx		f ( x, y)dy . 12.69.
0		3	x
	4

11−x

12.71.dx f ( x, y)dy . 12.72.

0x −1

22−y

dy	f ( x, y)dx . 12.70.

0− 4− y 2

3 25−y 2

dy	f ( x, y)dx . 12.73.
0	3
	4

12	2 y − y 2
dy	f ( x, y)dx .

01−1− y 2

12−x

dx f (x, y)dy .

−2 x2

В задачах 12.76 – 12.77, изменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного повторного интеграла.

1	x	2		2 −x
12.76. dx		f (x , y )dy + dx		f (x , y )dy .
0	0	1		0
			3−x
1	x 2	3		2
12.77. dx		f (x , y )dy + dx		f (x, y )dy .
0	0	1		0

101

§2. Вычисление кратных интегралов

В задачах 12.78 – 12.95

вычислить повторные интегралы.

x 2

2−x

12.78.

x 2 ydy .

12.79. dx

(x + y )dy .

12.80.

x 2 dy .

−2

1 2 y2 +1

9−x2

(x + 2 y )dx .

12.81.

(x + y)dy . 12.82.

(1 − y 2 )dx . 12.83. dy

−3

y 2 −4

y +3

2−y

(x 2 + y 2 )dx . 12.86.

0,5

12.84. dy

xy2dx .

12.85.

(4xy + x)dx 12.87.

y 2

x2 +1

2 y

dx . 12.88.

xe y dy . 12.89.

dy sin(2x − 3y)dx .

1 4−x2	ln 4	1
12.90. dx	xe 3 y dy . 12.91.	dy 4 ye2 xy dx . 12.92.

dy 2 y 2 e xy dx .

0		0	ln 3	0,5		0 0

	π
		2		0	0				π	2
2		2		0	0		π xy		π	2
12.93. dy 4 y 3 sin(xy 2 )dx . 12.94.				dy		y 2 cos	π xy	dx . 12.95.	dy y cos xy dx .
12.93. dy 4 y 3 sin(xy 2 )dx . 12.94.				dy		y 2 cos		dx . 12.95.	dy y cos xy dx .
				−1		4			π	1
	π	1		−1	2 y	4			π	1
									2
4									2
В задачах 12.96 – 12.115 вычислить двойной интеграл										f ( x , y )dxdy по
										D

заданной области D в прямоугольных координатах, рационально выбрав порядок интегрирования.

x2 + y 2

£ 4,

у = x 2 ,

12.96.

xdxdy , где

D :

12.97. xydxdy ,где D :

x + y ³ 2.

y = x.

x = 0,

y 2

y £ 2,

dxdy

cos(y

2 )dxdy

где D

x = y,

12.98.

,где

: xy ³ 1,

12.99.

D x

y ³ x.

y =

y = 0,

dxdy

y =12x,

12.100. e x

dxdy , где D : x = 1,

12.101.

, где D :

y =

y = x.

102

y = 0,

12.102.

( x + y)dxdy , где D :

x = 0,

12.103. (x + 2 y )dxdy ,

где

= -

x + 4.

y = x 2 ,

y = x,

12.104.

xydxdy ,

x ³ 0,

12.105.

dxdy ,

где D :

где

= x.

D y

y = 2 - x

= x,

+ y

£ 4,

= 2, 12.106. ydxdy , где

D :

+ y ³ 2.

y = −x 3 ,

15 y 2 dxdy ,где D :

y cos(xy )dxdy , где

12.107.

x =1,

12.108.

y = 3

0 ≤ x ≤1,

y = x 2 ,

(x 2 + 4 y 2 )dxdy , где

≤ y ≤

12.109.

D :

= y 2 .

D :

= 2x,

+ y 2 £

12.110.

xdxdy , где

12.111. sin(y

)dxdy , где

= 0,

D :

D : x

y - x ³ 2.

y =

0 ≤ y ≤ 2,

12.112.

x sin(xy )dxdy ,

12.113.

e x dxdy ,

D :

где D :

0 ≤ x ≤

где

x = 0,

2 + y 2 £ 4,

y = e,

12.114. ydxdy , где

12.115. ( x + y)dxdy , где

D :

y = 2,

+ y £ -2.

y = e

y = x,

x = 1,

= 6.

2 x + y

103

В задачах 12.116 – 12.137 вычислить двойные интегралы f ( x , y )dxdy по

заданной области D , перейдя к полярным координатам.

12.116.

12.117.

12.118.

12.119.

12.120.

12.121.

12.122.

12.123.

12.124.

x2 + y 2 dxdy,

(x2 + y 2 )−12 dxdy ,

x2 + y 2 dxdy,

y 2

1 − 2 dxdy , D x

dxdy

D x 2 + y 2 ,

где				x 2 + y 2 £ 4,
где		D :				³ 0.
				y		³ 0.
где				x 2 + y 2 £1,
где		D :				³ 0.
				x		³ 0.
где				x 2		+ y 2 £ 2,
где		D :			³ 0, y £ 0.
				x	³ 0, y £ 0.
где				x 2			+ y 2 £ 3,
где		D :			£ 0, y £ 0.
				x	£ 0, y £ 0.
			y = x,
где	D :			y = -x,

							1 - y		2	.
			x =				1 - y			.
	y ³1,
где	D :	x ³ 0,
			2	+ y	2			£ 2 y.
	x			+ y				£ 2 y.
где	x 2 + y 2						³ 3 y,
где	D :
	x 2 + y 2 £ 9.
где	D :	x 2 + y 2 ≤ π2 .
	x 2 + y 2 ³ 1,
где	D : x 2 + y 2 £ 4,

- x £ y £ x.

12.125.	ln(x 2	+ y 2 )dxdy		x 2	+ y 2	³ 4,
			, где D:		+ y 2	£ e 2 .
		2 + y 2	, где D:
D	x	2 + y 2		x 2
12.126. (4 - x)dxdy ,			где	D : x2 + y 2 ≤ 4x .
D
				104

			y £ 0,
12.127.	dxdy	,	где D: x ³ 0,

	- x 2 - y 2
D 1	- x 2 - y 2			2	+ y	2	£ 1.
			x		+ y		£ 1.

x 2

+ y 2 ³ -3x,

12.128.

+ y

dxdy,

где

2 + y 2 £ 9.

12.129. (x2 + y 2 )−12 dxdy ,

где D : x2 + y2 +2x ≤ 0.

12.130. (x

+ y

)dxdy ,

x 2

+ y 2 ³ -2x,

где D:

2 + y 2 £ 4.

y ³ 0,

12.131.

1+ x2 + y 2 dxdy,

где D: x ³ 0,

+ y

£ 1.

12.132.

R2 − x2 − y2 dxdy,

где

D : x2 + y 2 ≤ Rx.

−1

+ y

= 2x,

12.133. (x 2 + y 2 )

2 dxdy ,

где

D: x

x ³1.

y = x,

12.134.

dxdy

где

D: y = -

+ x 2 + y 2

x = - 1 - y

y £1,

12.135.

dxdy , где

x ³ 0,

+ y

£ 2 y.

ydxdy

1 £ x 2 + y 2 £ 4,

12.136.

, где D:

0 £ y £ x.

+ y

£ π

12.137.

1 −

dxdy . где

0 £ y

105

§3. Применение двойных интегралов для вычисления площадей

иобъёмов фигур

Взадачах 12.138 – 12.151 вычислить площади фигур, ограниченных кривыми.

12.138.

xy = 4,

x + y −5 = 0 . 12.139. x = 4 y − y 2 ,

x + y = 6 .

12.140. y =

x, y = 4 - (x -1)2 , (x ³ 0). 12.141. x = 4,

y =

, y = 2

12.142.

xy =1,

x = y ,

x = 2 . 12.143. y = x2 ,4 y = x2 , y = 4 .

12.144.

xy =1,

x = 4,

y = 2 . 12.145. x + y = 1, y 2

= x + 1 .

12.146.

4x = y 2 + 4, 16x = y2 +64. 12.147. x = y 2 −2 y ,

x − y = 0 .

12.148. 2 y = x 2 , y = 0, xy = 4, x = 4 . 12.149. x = y 2 , y = 2 + x , y = 2, y = −2. 12.150. y = sin x, y = cos x, x = 0, (x > 0 ). 12.151. y = 2 x, x + y - 2 = 0, y = 0 .

В задачах 12.152 – 12.158 вычислить площади фигур, ограниченных заданными кривыми или удовлетворяющих данным неравенствам (от декартовых координат целесообразно перейти к полярным координатам).


12.152. x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = 2x, ( y ³ 0) . 12.153.					x 2 + y 2 £	3	x ,
x 2 + y 2 £ 3y . 12.154. x 2 + y 2 = 3y, y =				x, x = 0 .	12.155. x 2 + y 2 = 4x ,
			3
( y ³ x) . 12.156. x = 0, x =		, (y ³ 2).			12.157. ρ = 2(1−cosϕ).
	4 y - y 2

12.158.	ρ = 2(1 + cos ϕ ), ρ = 2 cos ϕ .
12.159.	Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью ρ = 2 из кардиоиды

ρ= 2(1+sinϕ) и расположенную вне круга.

Взадачах 12.160 – 12.172 вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями.

12.160. x + y +2z = 4 ,		x = 0 , y = 0 ,		z =0.
12.161. z = x2 +3y2 ,		x + y =1 , x = 0 ,		y = 0 , z =0.
12.162.	z = 4 − x2 , y =0 , y =5 ,		z =0.
12.163.	z = y 2 , x + y = 2 , x = 0 ,		y =0 , z = 0.
				106

z = 0 ,

x + z = 6 , y =

, y = 2

12.164.

x .

12.165.

z = 9 - y 2 , x + 2 y = 6

x = 0 , y ³ 0 , z = 0.

11.166. z =

x 2

2 x + y − 6 = 0 ,

x = 0 ,

y = 0 , z = 0.

12.167.

z = x2 + y 2 + 2, x + y ³ 3 , x = 0 ,

y = 0 , z = 0 , x = 3 , y = 3.

12.168.

z = x2 + y2 +1 , y = 6 - x , z = 0 , y =1 , y = 2x .

12.169.

z =

x 3

, x 2 + y 2 = 9 , x ³ 0 , z = 0

12.170. x2 + y2 =16 , y = 0 , z = y , z = 0 .

12.171.

x + y + z = 4, x2 + y2 = 4 , z = 0 .

12.172.

x + y + z =10, 2x + y = 4 , x + 2y = 8 , z = 0 .

§4. Применение двойных интегралов для вычисления физических величин

12.173. Найти массу фигуры, ограниченной прямыми:							x = −1,	x = 2 ,
	x	+	y	=1, y = 0 , если плотность		ρ (x, y ) в каждой	точке	равна	квадрату
2
		3
абсциссы, умноженному на ординату этой точки.
12.174.					Найти массу однородной пластинки(ρ = 1) , ограниченной линиями:
	y = x 2 , y = 3x 2 , y = 3x .
							y = x2 , y =
12.175.					Найти массу пластины, ограниченной кривыми					x , если
плотность еёρв каждой точке (x , y)						равна ρ (x , y) = x + 2 y .


12.176. Найти массу круглой пластинки радиуса				R, если плотность её ρ (x, y )в
каждой точке равна расстоянию от этой точки до центра окружности.
12.177.	Найти координаты центра тяжести			однородной	пластинки(ρ = 1) ,
ограниченной линиями: y = x 2 − 1, y = 2 .
12.178.	Найти координаты центра тяжести			однородной	пластинки(ρ = 1) ,
ограниченной линиями: y =			, y = 0 , (x ³ 0) .
		4 - x
12.179. Найти координаты центра тяжести однородной					пластинки(ρ = 1) ,
ограниченной линиями: y = x2 , y + x = 2 , y = 0.
	107

12.180. Найти координаты центра	тяжести	однородной	пластинки(ρ = 1) ,
ограниченной линиями: x = y 2 , 4x = y 2 , x = 4 ,		y ³ 0 .
12.181. Найти координаты центра	тяжести	однородной	пластинки(ρ = 1) ,
ограниченной линиями: y = 2x2 , y = 4x2 , x = 4.
12.182. Найти статический момент относительно оси			ОХ однородной

пластинки (ρ = 1) , ограниченной линиями: xy = 4 , xy =1 , x = 2 , x = 4.

12.183. Найти статические моменты относительно осей координат меньшей

части эллипса	x 2	+	y 2	=1 ,отсекаемой прямой	x	+	y	=1 (ρ =1).

4		9		2		3

12.184. Вычислить моменты инерции относительно осей координат одно- родной пластинки(ρ = 1) , ограниченной прямыми: y = 2 − x , y =1 , x = 2.

12.185. Найти момент инерции однородной пластинки (ρ = 1) относительно оси

OX , ограниченной линиями: y 2 = x , y 2 = 4x , y =1 , y = 3 .

12.186. Найти момент инерции относительно оси		ОУ	однородной пластинки
(ρ = 1)	, ограниченной линиями: y 2 = x , y 2 = 4x ,	y =1 ,	y = 3 .
12.187. Найти момент инерции относительно оси		ОХ	однородной пластинки
(ρ = 1)	, ограниченной линиями: x2 = 4 − y , y = 0.

Глава 13

РЯДЫ

§1. Понятие ряда. Сумма ряда и его сходимость

В задачах 13.1 - 13.20 написать общий член ряда.

13.1.	%" + &/ + D4 + … . 13.2. %" + /5 + "D4 + … . 13.3. 2 + "!/ + %!4 + … .
13.4.	!∙%! + %∙&! + &∙D!		+ … . 13.5. 1 + !∙%!∙"		+ !∙%∙&!∙"∙% + … .			+ √!% − …
13.6.	"! + "∙/%!	+ "∙/∙4&!	+ … . 13.7.	1 − "!	+ %!	− … . 13.8. .1 − √!"		+ √!% − …
13.9.	1 – 1 + 1 – … . 12.10. 1 − /! + D! − … . 13.11.						− &" + "&/	− !"&0	+ … . 13.12.
− !	+ ! − ! + … . 13.13. H!			+ !I + H!		+ !I + H! + ! I + … .
67"	67%	67/	"	%	/	5 0	"D

108

13.14. 1 + * + "!J + %!K + … . 13.15.	* − %!K + &!L − D!M + … . 13.16. 1 − "!J + /!N −
4!O + +… . 13.17. !! + J! / + K! 5	+ … . 13.18. * + ! + " + !J + % + !K +
… . 13.19. 1 − 3"* + 5"" − 7"%	+ . 13.20. * + 1 + "∙/! J + %∙/!J K + … .

Взадачах

∞3n +1

13.21.3 nn =1

∞ x n

13.24. .

n =1 n 2

13.21 - 13.26 выписать три первых члена ряда.

	∞	2n - 1
.	13.23.		.

		3 n3 + 1
	n =1	3 n3 + 1

∞	(x - 2)n	∞	(x + 2)n −1
13.25.		. 13.26.			.
	n!

n =0		n =1		n

В задачах 13.27 - 13.34 написать формулу частичной суммы S n , и вычислить её предел при n → ∞. Сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.

! + ! + ! + …

13.27. !∙" "∙% ! %∙/! !

+ … . 13.30. 1+ " + / + 0 +

13.28. !∙%! + %∙&! + &∙D! + …	13.29. !∙/! + /∙D! + D∙!R! +
… . 13.2. %" + /5 + "D4 + …	. 13.3. 2 + "!/ + %!4 + … .

	1 − %! + !5 − "D! + … . 13.32.				∞ 3n - 2n			∞	2	×	1
13.31.					n =1		. 13.33.	n=1				.
13.31.					n =1	6n	. 13.33.	n=1	3		2n−1	.
	∞	+	1
13.34.	ln 1			.
13.34.	ln 1			.
	n=1		n

В задачах 13.35 - 13.45 проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда.

13.35. "! + "%J + "&K + … . 13.36. 1 + /!J + D!J + !R!J + . 13.37.

∞

n =1

3n3 + 2

2 + "% + %/ + …

∞

13.38.

. 13.39. n =1

13.40.

n =1

(2n - 1)4

n2 + 1

∞

2n - 1

13.41.

13.42.

13.43.

n =1 n 2 + 1

n =1

3 n9 + 1

n =1 n(n + 1)(n +

13.44.

1 +

+ …

. 13.44.

S√J

S√K

+ …

. 13.45.

∞

+ %K

B + √"

+ √%

n =1n + 1

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.25 Mб29099.pdf
#
21.11.202389.58 Кб091.pdf
#
21.11.2023161.52 Кб0910.pdf
#
25.11.20232.25 Mб09100.pdf
#
25.11.20232.26 Mб09101.pdf
#
25.11.20232.27 Mб59102.pdf
#
25.11.20232.27 Mб69103.pdf
#
25.11.20232.27 Mб09104.pdf
#
25.11.20232.27 Mб69105.pdf
#
25.11.20232.27 Mб49106.pdf
#
25.11.20232.27 Mб09107.pdf