9562

Рис. 60

Из полученных эпюр Qx и Qy компонуется пространственная эпюра Q, а из эпюр

Mx и My - пространственная эпюра Mи.

Таким образом, все четыре эпюры: N, Mк, Q, Mи построены. Они содержат пол-

ную информацию об изменениях усилий N, Qx , Qy , Mx, My, Mz по длине стержня.

Лекция № 11

Косой (сложный) изгиб

Косым изгибом называется такой случай изгиба, при котором плоскость дейст-

вия нагрузки не совпадает ни с одной из главных осей инерции сечения. Рассмотрим случай, когда к сечению бруса под некоторым углом приложена сила P.

Рис. 63

При решении таких задач силу Р раскладывают на составляющие Рх и Ру и затем пользуются принципом независимости действия сил:

Изгибающие моменты в сечении 1-1:

Нормальные напряжения в общем случае:

Очевидно, что можно найти такую линию, на которой суммарные напряжения равны нулю. Такая линия называется нейтральной (или нулевой), текущие коорди-

наты x и y:

Из этих формул следует, что нейтральная линия в сечении, в общем случае, не перпендикулярна следу плоскости действия в том же сечении результирующего изгибающего момента. Эти линии будут перпендикулярны при условии равенства уг-

лов α и φ. А это возможно в следующих случаях: α=0, то есть Мy=0, α=π/2, то есть

Мx=0, т.е. когда Ix = Iy угол между силовой и нулевой линией прямой, а это значит,

что любая центральная ось сечения является главной осью ,значит, изгиб будет пря-

мым.

Для таких сечений, у которых центральные оси главные (квадрат ,круг и т.п.),

косой изгиб невозможен.

Нейтральная линия делит поперечное сечение на две области: растянутую и сжатую. Проводя линии, параллельные нейтральной и касательной к контуру по-

перечного сечения, находим в той и другой области наиболее удалённые от нейтраль-

ной линии точки О1 и О2 с наибольшими растягивающими и сжимающими напряже-

ниями:

Рис. 64

Определим напряжение в одной из точек

Определим прогибы при косом изгибе. Прогибы определяются отдельно от состав-

ляющих Рх и Ру, затем определяется общее перемещение:

Определим направление суммарного перемещения:

Если проанализировать формулы, то можно отметить ,что направление проги-

бов перпендикулярно к нулевой линии и вместе с тем направление прогибов не сов-

падает с направлением действующей силы. Если нагрузка представляет плоскую систему сил, то ось изогнутого бруса лежит в плоскости, которая не совпадает с

плоскостью действующих сил. Поэтому изгиб и называется косым.

Внецентренное растяжение-сжатие

Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызы-

ваемое одними продольными силами. Этот вид нагружения довольно распространен в технике, так как в реальной ситуации почти невозможно приложить растягивающую нагрузку точно в центре тяжести.

Внецентренным растяжением-сжатием называется случай, когда равнодей-

ствующая сил, приложенных к отброшенной части стержня, направлена параллельно оси стержня, но не совпадает с этой осью (рис.65).

Рис.65

Внецентренное растяжение (сжатие) испытывают короткие стержни. Все сече-

ния являются равноопасными, поэтому нет необходимости в построении эпюр внут-

ренних силовых факторов.

Представим, что после проведения разреза равнодействующая Р сил действую-

щих на отброшенную часть и приложенная к оставшейся проходит через точку с коор-

динатами (xp; yp) в главных центральных осях поперечного сечения (рис. 66).

Рис.66

Приведем силу Р в центр тяжести сечения, т.е. направим вдоль оси стержня (си-

ла N). При этом появятся две пары сил относительно главных центральных осей (рис.67).

Рис. 67

Таким образом, в поперечном сечении стержня при внецентренном растяжении и сжатии возникают три внутренних силовых фактора: нормальная сила N и два изги-

бающих момента относительно главных центральных осей поперечного се-

чения.

Для вычисления нормального напряжения в поперечном сечении в окрестности точки с произвольными координатами x,y воспользуемся принципом независимости действия сил. Будем вычислять нормальное напряжение от каждого внутреннего сило-

вого фактора в отдельности и результат сложим.

где F – площадь поперечного сечения.

По этой формуле можно вычислять нормальные напряжения в точках попереч-

ного сечения стержня при совместном действии осевой силы и двух изгибающих мо-

ментов. В нашем случае все три внутренних силовых фактора зависят от внецентренно приложенной силы Р. Подставив соответствующие выражения, получим

Вынесем величину нормального напряжения при осевом растяжении за

скобки

Введем геометрическую характеристику – радиус инерции относительно цен-

тральных осей:

тогда момент инерции можно найти

Применив в выражении , получим

Мы получили формулу нормальных напряжений в поперечном сечении при вне-

центренном растяжении или сжатии. Если сила растягивающая, то перед скобкой ста-

вится знак плюс, если сила сжимающая, то ставится – минус.

В этой формуле координаты точки, где определяются напряжения входят в пер-

вой степени. Следовательно, если величины напряжений откладывать в масштабе в ви-

де аппликат перпендикулярно плоскости поперечного сечения, то концы этих отрезков

будут лежать на плоскости, наклоненной к плоскости поперечного сечения. Будем на-

зывать эту плоскость плоскостью напряжений. Известно, что две наклоненные плоско-

сти пересекаются по линии. В нашем случае в точках этой линии - это нулевая линия, которая описывается уравнением

Анализируя можно сделать вывод, что нейтральная линия при внецентренном растяжении и сжатии не проходит через центр тяжести, а отсекает на главных цен-

тральных осях отрезки и . Полагая последовательно x=0 и y=0, получим

Из формул следуют некоторые закономерности, связывающие положения полю-

са (т. е. точки приложения силы) и нейтральной линии, которые удобно использовать для анализа решения задачи. Перечислим самые важные из этих закономерностей:

-нейтральная линия всегда расположена в квадранте, противоположном тому, в

котором находится полюс;

-если полюс находится на одной из главных осей, то нейтральная линия перпендикулярна этой оси;

-если полюс приближается к центру тяжести сечения, то нейтральная линия удаляется от него.

-если полюс движется по прямой линии, то нейтральная линия поворачивается вокруг неподвижной точки.

Рис. 68

Для сечений со сложным контуром знание положения нулевой линии очень важно. Вспоминая про понятие плоскость напряжений, можно утверждать, что наи-

большие по величине нормальные напряжения возникают в точках поперечного сече-

ния наиболее удаленных от нулевой линии. Если взглянуть на плоскость напряжений вдоль нулевой линии, то она будет видна в виде линии соединяющей аппликаты на-

пряжений, то есть в виде эпюры напряжений, отложенной от линии перпендикулярной нулевой линии.

Наибольшее растягивающее нормальное напряжение возникает в точке А

а наибольшее сжимающее нормальное напряжение возникает в точке В

Таким образом, при внецентренном растяжении кроме растягивающих нормаль-

ных напряжений в поперечном сечении могут возникнуть и сжимающие. При внецен-

тренном сжатии – наоборот.

Если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то ус-

ловие прочности получает такой вид:

Требуется:

1)вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения

впоперечном сечении, выразив величины этих напряжений через Р и размеры сечения;

2)найти допускаемую нагрузку (Р) при заданных размерах сечения и допускае-

мых напряжениях чугуна на сжатие и на растяжение .

Решение.

Нормальное напряжение в произвольной точке сечения стержня, определяемой координатами х и у, запишется в виде

где хр, ур - координаты точки приложения силы Р (точки A); F -площадь попе-

речного сечения стержня; Jxc, Jyc - главные моменты инерции сечения.

1. Определим координаты центра тяжести сечения хс и ус. Для этого выведем вспомогательную систему координат хоу. Тогда , где - статический мо-

мент сечения: . Индексы 1, 2, 3 относятся соответственно к элементарным фигурам, на которые разбито заданное составное сече-

ние (см. рис. 70). Отметим также, что площадь первой фигуры следует брать со знаком минус.

Рис. 70

Подставляя исходные данные, получим: