Максимальный прогиб и прогиб в середине пролёта отличаются всего лишь на 1%, поэтому при проверке балок на жёсткость достаточно определить прогиб в середине пролёта.
Рис. 88
Пример 2. Выполнить расчёт деревянных балок с прямоугольным и круглым сечением.
Расчётные характеристики балок: [ σ ] = 12 МПа, [ τ ] = 2 МПа, Е = 104 МПа, [ f ] = l/200.
1.Определяем размеры поперечного сечения балок.
Балка с прямоугольным поперечным сечением.
|
|
|
|
|
Wx ³ |
Mx |
= |
b×4b2 |
³ |
6125кНсм |
= 5104,2см |
3 |
. b = 19, 7 |
см ≈ 20 см. h = 40 |
|
b |
|
|
[σ ] |
; Wх |
|
|
|
|
6 |
1,2кН / см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
151 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = |
3 Qу |
|
|
|
70кН |
|
|
2 |
|
< [τ ]=2МПа. |
|
|
|
|
= 1,5× |
|
|
= 0,13 |
кН /см |
|
= 1,3МПа |
2 |
А |
(20×40)см2 |
|
Jx = |
bh3 |
= |
20×403 |
= 106667см4 . |
EJx = 103 кН/см2 · 106667 см4 = 10666,7 кНм2. |
|
|
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Балка с круглым поперечным сечением. |
|
|
|
Mx |
|
|
π ×d3 |
6125кНсм |
|
|
|
3 |
|
|
|
d |
Wx ³ |
[σ |
]; |
Wх = |
32 |
³ 1,2кН / см2 |
= 5104,2см |
|
. |
d = 37,3 см ≈ 40 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,74МПа < [τ ]=2МПа. |
|
|
4 Qу |
|
4 |
|
70кН |
|
2 |
|
x |
τ = 3 |
А |
= |
3 |
× (π ×202 )см2 = 0,074кН /см |
|
|
y |
Jx = π d4 |
= π ×404 |
= 125664см4 . |
EJx = 103 кН/см2 · 125664 см4 |
= 12566,4 |
|
|
64 |
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кНм2.
2. Определяем перемещения балки. Начало координат помещаем на границе участков
(рис. 89). Ось у направляем вниз.
1 участок. 0 < z < 4 м |
|
2 участок. 0 < z < 2 м |
|
|
|
|
|
|
|
Q1x = 70 – 40 z |
Q2x = 70 – 40 ·4 + 120 = 30 кН |
M1х = 70 z – 20 z2 |
M2х = -20+ 70(4+z)- 40·4(2+z)+ 120z = -60 + 30z |
EJxv1// = - М1х = - 70 z + 20 z2 |
EJxv2// = - М2х = 60 – 30 z |
|
|
EJxθ1 = - 35 z2 + 20/3 z3 + C1 |
EJxθ2 |
= 60 z – 15 z2 + C2 |
|
|
EJxv1 = - 35/3 z3 + 5/3 z4 + C1 z + D1 |
EJxv2 |
= 30 z2 – 5 z3 + C2 z + D2 |
3. Постоянные интегрирования определяем из следующих условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие закрепления на опоре А: |
|
z1 |
= 0 |
v1(0) |
= 0 |
|
Условие плавности на границе участков: |
z1 |
= 4 м, z2 = 0 |
θ1(4) = θ2 (0) |
|
Условие непрерывности на границе участ- |
z1 |
= 4 м, z2 = 0 |
v1(4) |
= v2 (0) |
|
ков: |
|
|
|
|
|
|
Условие закрепления на опоре В: |
|
z2 |
= 0 |
v2(0) |
= 0 |
|
В результате получим следующие значения для постоянных интегрирования:
D1 = 0, D2 = 0, C1 = 80, C2 = - 53,33.
4. Вычисляем перемещения в сечениях балок и строим эпюры перемещений.
z1 |
(м) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
(м) |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
EJxθ |
80,00 |
51,67 |
- 6,67 |
-55,00 |
-53,33 |
-8,33 |
6,67 |
EJxv |
0,00 |
70,00 |
93,33 |
60,00 |
0,00 |
- 28,33 |
- 26,66 |
|
|
|
|
Прямоугольная балка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ (рад) |
0,00750 |
0,00484 |
- 0,00063 |
- 0,00516 |
- 0,00500 |
- 0,00078 |
0,00063 |
v (мм) |
0,00 |
6,56 |
8,75 |
5,63 |
0,00 |
- 2,66 |
- 2,50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Круглая балка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ (рад) |
0,00637 |
0,00411 |
- 0,00053 |
- 0,00438 |
- 0,00424 |
- 0,00066 |
0,00053 |
v (мм) |
0,00 |
5,57 |
7,43 |
4,78 |
0,00 |
- 2,25 |
- 2,12 |
Рис. 89
5. Проверяем условие жёсткости балок:
Прямоугольная балка - v = 8,75 мм < [ f ] = 4000 мм / 200 = 20 мм.
Круглая балка - v = 7,43 мм < [ f] = 4000 мм / 200 = 20 мм.
Таким образом, полученные из условий прочности размеры поперечного сечения балок обеспечивают также выполнение условий жёсткости балок
На рис. 90 приведены задачи для самостоятельного решения методом непосредст-
венного интегрирования по участкам. Подобрать сечение стальной балки из прокатного двутавра.
Расчётные характеристики балок: [ σ ] = 160 МПа, [ τ ] = 100 МПа, Е = 2٠105 МПа.
Допускаемый прогиб [ f ] = l / 100, где l – длина балки.
Рис. 90
Практика №6
Пример 1. Для заданной балки (рис. 91) определить углы поворота сечений и прогибы методом начальных параметров.
Начало координат помещаем на левом конце балки, ось у направим вниз.
Начальные параметры: vo = vA = 0, |
θo = θA ≠ 0, |
Mo = 0, Qo = 70 кН. |
|
Универсальное уравнение прогибов балки: |
|
|
|
|
|
|
EJx v (z) = EJx |
|
z3 |
z4 |
(z - 4)4 |
|
(z - 4)2 |
|
(z - 4)3 |
θo z - 70 |
|
- 40 |
|
+ 40 |
|
- 20 |
|
+ 120 |
|
. |
6 |
24 |
24 |
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание: при различных значениях Z значения в круглых скобках всегда неотрица-
тельные числа, в противном случае отрицательное слагаемое в рассматриваемом выраже-
нии не учитывается – оно равно нулю.
Условия закрепления балки. |
При z = 0 |
|
vA = vo = 0. |
При z = 4 м v(4) = vВ = 0: |
|
|
|
|
|
|
43 |
|
44 |
|
|
EJx v (4) = EJxθo ×4 - 70 |
|
- 40 |
|
|
= 0. Отсюда находим EJxθo = 80,00. |
|
|
|
6 |
|
24 |
|
|
EJxv (z) = 80,0 z - (35 / 3) z3 + (5 / 3) z4 - (5 / 3)(z - 4)4 + 10(z - 4)2 - 20(z - 4)3 .
Уравнение прогибов балки окончательно примет вид:
Дифференцируя уравнение прогибов, получим уравнение углов поворота:
EJxθ (z) = 80, 0 - 35 z2 + (20 / 3) z3 - (20 / 3)(z - 4)3 + 20 (z - 4) - 60 (z - 4)2 .
Вычисляем углы поворота и прогибы в сечениях балки.
z(м) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxθ(z) |
80,00 |
51,67 |
-6,67 |
-55,00 |
-53,33 |
-8,33 |
6,67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxv(z) |
0 |
70.00 |
93.33 |
60.00 |
0 |
-28.33 |
-26.66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Определить углы поворота сечений и прогибы консоли.
I.Начало координат помещаем на левом конце консоли (рис. 92). Ось у направляем вниз.
RB = 30 кН
|
|
F = 6 кН |
|
|
q = 12 |
кН/м |
|
|
|
|
|
МB = 42 кНм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 м |
|
|
|
|
|
|
|
2 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.Qy (кН) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.Мх (кНм) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп EJx |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.EJxv |
94 |
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 92
Начальные параметры балки:
vo ¹ 0 , θo ¹ 0 , Mo = 0 , Qo = - 6 кН.
Универсальное уравнение прогибов балки:
|
EJxv (z) = EJxvo |
|
z3 |
(z − 1)4 |
|
|
+ EJxθo z − − 6 |
|
− 12 |
|
= |
|
6 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= EJxvo + EJxθo z + z3 + 0,5(z − 1)4 .
Уравнение углов поворота сечений балки:
EJxθ (z) = EJxθo + 3z2 + 2(z − 1)3 .
Условия закрепления балки.
При z = 3м: EJxθ(3) = θ(3) = θB = 0, EJxθo + 3٠32 + 2 (3-1)3 = 0.
Отсюда находим: EJxθo = - 43.
При z = 3м: EJxv(3) = v(3) = vB = 0,
EJxvo – 43 ٠3 + 33 + 0,5 (3-1)4 = 0.
Отсюда находим: EJxvo = 94.
Окончательно универсальные уравнения углов поворота и прогибов балки имеют следующий вид:
EJxθ(z) = - 43 + 3z2 + 2(z-1)3 . EJxv(z) = 94 – 43z + z 3 + 0,5(z-1)4 .
II.Начало координат помещаем на правом конце консоли (рис. 93). Ось у направляем вниз.
|
|
RB = 30 кН |
Начальные параметры балки: |
|
|
|
F = 6 кН |
q = 12 кН/м |
МB = 42 кНм |
vo = 0 , θo = 0 , |
Mo = - 42кНм , Qo = 30кН. |
|
|
z |
|
|
Универсальное уравнение прогибов балки: |
|
|
|
|
|
|
(z − 2)4 |
|
|
|
|
z2 |
z3 |
z4 |
= |
|
q |
|
EJxv (z) = − − 42 |
+ 30 |
− 12 |
+ 12 |
24 |
|
1 м |
2 м |
|
|
2 |
6 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
40 |
y |
= 21z2 − 5z3 + 0,5z4 − 0,5(z − 2)4 . |
|
|
|
|
Уравнение углов поворота балки: |
|
|
|
+ |
|
эп EJx |
|
|
|
|
EJxθ (z) = 42 z − 15z2 + 2z3 − 2(z − 2)3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол поворота и прогиб левого конца кон- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.EJxv |
соли при z = 3 м: |
94 |
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxθ(3) = 42٠3 – 15 ٠32 + 2٠33 -2٠(3-2)3 = 43. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 93 |
EJxv(3) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 21٠32 – 5 ٠33 + 0,5٠34 - 0,5٠(3-2)4 = 94. |
Пример 2. Подобрать сечение балки (рис.94) из прокатного двутавра Расчётные характеристики балки: [ σ ] = 160 МПа, [ τ ] = 100 МПа, Е = 2·105 МПа.
Допускаемый прогиб балки в пролёте: [ f ] = l / 200.
1. Строим эпюры Qy, Mx и определяем номер двутавра из условий прочности.
|
M |
8200кНсм |
|
Wx ³ |
x |
= |
|
= 512,5 см3. |
[σ ] |
16 кН / см2 |
Из таблицы 1. Сталь горячекатанная. Балки двутавровые (ГОСТ 8239-72*), находим следующий номер профиля:
двутавр №30а: Wx = 518 см3, Jx = 7780 см4, Sx = 292 см3, d = 0,65 см.
Выполняем проверку балки на срез:
τ = |
Qy Sx |
= |
65кН ×292см3 |
= 3,75 |
кН |
= 37,5МПа < [τ ] = 100МПа. |
|
7780см4 × 0,65см |
см2 |
|
Jx d |
|
|
Жёсткость балки при изгибе равна: EJx = 2×104 × 7780 кНсм2 = 15560 кНм2. 2. Определяем перемещения балки.
Начало координат помещаем на левом конце балки. Ось у направляем вниз.
Начальные параметры балки: vo = ?, θо = ?, Mo = - 6 кНм, Qo = 0.
Универсальное уравнение прогибов заданной балки имеет вид:
|
|
6z |
2 |
6 |
(z − |
2 3 |
|
2 |
(z − |
2 4 |
|
2 |
(z − |
6 4 |
|
1 |
(z − |
6 3 |
|
6 |
(z − |
|
2 |
|
5 |
) |
|
|
4 |
) |
|
4 |
) |
|
|
2 |
) |
|
7 |
EJ x v = EJ x v o + EJ x θ o z − |
− |
|
|
+ |
|
6 |
|
|
− |
|
2 |
|
+ |
|
2 |
|
|
− |
|
6 |
|
+ |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неизвестные начальные параметры определяем из условий закрепления балки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при z = 2 м: vA = 0, |
EJvo |
+ EJθo |
×2 + 6 |
22 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJvo |
+ EJθo |
×8 + 6 |
82 |
|
- 65 |
(8 - 2)3 |
+ 24 |
(8 - 2)4 |
- 24 |
(8 - 6)4 |
+ 12 |
(8 - 6)3 |
= 0 |
при z = 8 м: vB = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
24 |
24 |
6 |
|
Решая систему уравнений, находим неизвестные начальные параметры, которые будут равны: EJхθo = 144, EJхvo = - 300.
Углы поворота и прогибы определяются следующими выражениями:
EJv(z) = - 300 + 144z + 3z2 - 65/ 6(z - 2)3 + (z - 2)4 - (z - 6)4 + 2(z - 6)3 - 67 / 6(z - 8)3 +1/2(z - 8)4
EJθ |
1 |
+ |
6 |
6 |
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
3 |
4 |
6 |
3 |
6 |
6 |
2 |
6 |
2 |
8 |
2 |
2 |
8 3 |
|
|
(z) = 4 |
z − |
5 / |
(z − |
) |
+ |
(z − |
) |
|
− |
(z − |
) |
+ |
(z − |
) |
− |
7 / |
(z − |
) |
+ |
(z − |
) . |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычисляем углы поворота и прогибы в сечениях балки и строим эпюры θ и v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z (м) |
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
|
8 |
|
9 |
|
10 |
θ |
|
0,0093 |
0,0096 |
0,0100 |
0,0086 |
|
0,0045 |
|
|
- |
|
- |
|
- |
|
|
- |
|
- |
|
- |
(рад) |
|
|
|
0,0007 |
0,0054 |
0,0080 |
0,0078 |
0,0069 |
|
0,0068 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v (мм) |
-19,28 |
-9,83 |
0 |
9,59 |
16,28 |
18,22 |
15,08 |
8,15 |
0 |
-7,29 |
-14,14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка балки на жёсткость в пролёте: v = 18,22 мм < [ f ] = 6000 мм/300 = 20 мм.
Следовательно, условиям прочности и жёсткости удовлетворяет балка, выполненная из прокатного двутавра №30а.
