9562

ет гипотезе плоских сечений ( гипотезе Бернулли) , после интегрирования получаем:

σ = N / A,

где A − площадь поперечного сечения стержня.

В сечениях, близких к месту приложения внешних сил, гипотеза Бернулли на-

рушается: сечения искривляются, и напряжения в них распределяются неравномерно.

По мере удаления от сечений, в которых приложены силы, напряжения выравниваются,

и в сечениях, удаленных от места приложения сил на расстояние, равное наибольшему из размеров поперечного сечения, напряжения можно считать распределенными по се-

чению равномерно. Это положение, называемое принципом СенВенана, позво-

ляет при определении напряжений в сечениях, достаточно удаленных от мест приложе-

ния внешних сил, не учитывать способ их приложения, заменять систему внешних сил статически эквивалентной системой.

Рис. 35

Высказанное предположение о равномерном распределении нормальных напря-

жений в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест:

резкого изменения площади поперечного сечения (рис. 35в); скачкообразного измене-

ния внешних нагрузок; скачкообразного изменения физико-механических характери-

стик конструкций.

Нормальные напряжения при сжатии определяют так же, как и при растяжении,

но считают отрицательными.

где N(х) – функция продольной силы по длине участка.

Определим горизонтальное перемещение точки а оси бруса (рис. 37) – u a: оно равно абсолютной деформации части бруса аd, заключенной между заделкой и сечени-

ем, проведенным через точку, т.е. ua = Lad.

Рис. 37

В свою очередь удлинение участка аd состоит из удлинений отдельных грузо-

вых участков 1, 2 и 3:

Lad = L1 +ΔL2 +ΔL3 .

Продольные силы на рассматриваемых участках: N2 = N3 = F.

Аналогично можно определить перемещение любого сечения бруса и сформу-

лировать следующее правило:

перемещение любого сечения j стержня при растяжении– сжатии определяется как сумма абсолютных деформаций n грузовых участков, заключенных между рас-

сматриваемым и неподвижным (закрепленным) сечениями, т.е.

i =n

u j = ∑ L i .

i =0

Условие жесткости бруса запишется в следующем виде:

u max ≤[u],

где u max – наибольшее значение перемещения сечения, взятое по модулю из эпюры перемещений; [u] – допускаемое значение перемещения сечения для данной конструк-

ции или ее элемента, устанавливаемое в нормах.

4. Физико-механические свойства металлов

Испытания образцов на растяжение проводятся с целью экспериментального оп-

ределения механических характеристик материалов . Наиболее распространенными в настоящее время являются испытания цилиндрических и плоских образцов в условиях одноосного растяжения.

Широкому применению этого вида испытаний способствует относительная простота их осуществления, так как имеется большой парк разрывных и универсальных испытательных машин (например, УММ-20 или МИ-40КУ). Испытание на растяжение заключается в плавном деформировании закрепленного в захватах испытательной ма-

шины образца из исследуемого материала до наступления его разрушения. При этом специальные приборы фиксируют зависимость абсолютного удлинения образца от прикладываемой к нему продольной растягивающей нагрузки.

В процессе испытаний измеряются сила, действующая на образец, и удлинение его расчетного участка. Результатом испытаний является графическая диаграмма

растяжения.

Рис.38. Диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали

Как видно из рисунка, диаграмма имеет четыре характерных участка:

I - участок пропорциональности;

II - участок текучести;

III - участок самоупрочнения;

IV - участок разрушения.

Рассмотрим подробнее процесс построения диаграммы (рис. 38).

В самом начале испытания на растяжение, растягивающая сила F, а следова-

тельно, и деформация l стержня равны нулю, поэтому диаграмма начинается из точки пересечения соответствующих осей (точка О).

На участке I до точки A диаграмма вычерчивается в виде прямой линии. Это го-

ворит о том, что на данном отрезке диаграммы, деформации стержня l растут пропор-

ционально увеличивающейся нагрузке F. На этом участке выполняется закон Гука – математическая линейная зависимость между напряжениями и деформациями: ε Е = σ,

где Е – модуль упругости (Юнга) равный тангенсу угла наклона прямого участка диа-

граммы к оси абсцисс.

После прохождения точки А диаграмма резко меняет свое направление и на уча-

стке II начинающемся в точке B линия какое-то время идет практически параллельно оси l, то есть деформации стержня увеличиваются при практически одном и том же значении нагрузки. Этот участок диаграммы называется площадкой текучести. В этот момент в металле образца начинают происходить необратимые изменения. Перестраи-

вается кристаллическая решетка металла. При этом наблюдается эффект его самоуп-

рочнения.

После повышения прочности материала образца, диаграмма снова "идет вверх" (участок III) и в точке D растягивающее усилие достигает максимального значения. В

этот момент в рабочей части испытуемого образца появляется локальное утоньшение,

так называемая "шейка", вызванное нарушениями структуры материала (образованием пустот, микротрещин и т.д.).

Рис.39. Стальной образец с "шейкой"

Вследствие утоньшения, и следовательно, уменьшения площади поперечного сечения образца, растягивающее усилие необходимое для его растяжения уменьшается,

и кривая диаграммы "идет вниз".

В точке E происходит разрыв образца. Разрывается образец в сечении, где была образо-

вана "шейка"

По диаграмме также можно определить величину упругих и остаточных деформаций в любой момент процесса испытания.

Для получения непосредственно механических характеристик металла образца диаграмму растяжения необходимо преобразовать в диаграмму напряжений.

Пределом пропорциональности σпц, называется максимальное напряжение, при кото-

ром выполняется закон Гука. При достижении нагрузкой некоторой величины в образ-

це появляются остаточные деформации.

Пределом упругости σупр называют максимальное напряжение, при котором не возникают остаточные деформации. Принято считать за максимальное то напряже-

ние, при котором в испытуемом образце появляются деформации 0,05%.

Предел пропорциональности, предел упругости, модуль упругости и коэффициент поперечной деформации характеризуют упругие свойства материала.

Предел текучести материала σт – наименьшее напряжение, при котором деформа-

ция увеличивается без заметного увеличения нагрузки. Если после возникновения те-

кучести продолжать увеличивать действие нагрузки, наступает разрушение.

Для пластичных материалов за опасное напряжение σ0 принимается предел те-

кучести σт ; для хрупких материалов – временное сопротивление (предел прочности) σв.

Значение коэффициента запаса прочности, а следовательно, и допускаемого напряжения зависит от многих факторов. Основными факторами, которые влияют на выбор его значения, являются:

1)соответствие механических свойств материала конструкции и отдельно испытанных образцов;

2)учет конкретных условий работы рассчитываемой конструкции;

3)метод определения напряжений (степень точности этого метода);

4)неточность задания внешней нагрузки;

5)долговечность и значимость проектируемого сооружения или машины.

Значения допускаемых напряжений или коэффициентов запаса прочности уста-

навливаются техническими условиями и нормами проектирования. Для строительных сталей значение коэффициента запаса прочности принимается n = 1,4÷1,6; для хрупких материалов n = 2,5÷3,5; для древесины n = 3,5÷6.

6. Расчеты на прочность при центральном растяжении– сжатии

При центральном растяжении-сжатии нормальные напряжения в поперечных сечениях, достаточно удаленных от места приложения сил, постоянны (принцип Сен-

Венана) и определяются по формуле:

σ= N , A

где σ – нормальное напряжение; А – " чистая" площадь поперечного сечения бруса по-

сле вычета возможных ослаблений сечения отверстиями, т.е. А = Аnetto.

Если площадь поперечного сечения бруса постоянна по длине, то условие проч-

ности для пластичного материала имеет вид:

N ≤ A · [σ] или |max σ| = |max N| / A ≤ [σ],

где |max N| – наибольшее значение продольной силы по абсолютной величине берется из эпюры N (сечение, где имеется |max N|, является опасным); [σ] – расчетное сопро-

тивление материала по пределу текучести.

Если брус выполнен из хрупкого материала, т.е. когда расчетные сопротивления на растяжение и сжатие различны [σ]с ≠ [σ]р , то условие прочности имеет следующий вид:

max σр = max Nр / А ≤ [σ]р

|max σс| = |max Nс| / А ≤ [σ]с

где maxNр – наибольшая растягивающая продольная сила (на эпюре N имеет знак

"плюс");

|max Nс| – наибольшая по абсолютной величине сжимающая продольная сила (на эпю-

ре N имеет знак "минус"); [σ]с, [σ]р – расчетные сопротивления материала на сжатие и растяжение по пределу прочности.

Используя условия прочности (6.2) или (6.3), можно решать задачи трех типов: 1-й тип – проверочная задача. Используя все заданные величины и эпюру N, по форму-

лам (6.2) и (6.3) можно проверить прочность бруса. 2-й тип – проектная задача, т.е. подбор сечения бруса.

Приняв |max σ| = [σ], определяем требуемую для этого величину площади Атр

поперечного сечения из формулы:

Атр = |max N| / [σ]

Зная эту площадь, можно определить конкретные размеры сечения заданной фор-

мы.

Для хрупкого материала из формул требуемую площадь сечения находим отдельно:

для растянутой зоны – Ар = |max Nр| / [σ]р

и сжатой зоны – Ас = |max Nс| / [σ]с .

Из полученных значений площадей выбираем большую.

3-й тип – определение несущей способности стержня или определение допускаемой продольной силы.

Приняв |max σ| = [σ] определяем величину наибольшей допускаемой продольной

силы:

– для пластичного материала

[N] = [σ] · A

– для хрупкого материала

[N]р = [σ]р · A