9562

[N]с = [σ]с · A

из двух сил в качестве допускаемой продольной силы выбираем меньшую.

7. Напряжения на наклонных площадках

Проведем наклонное сечение n–n 1 под некоторым углом α к поперечному сече-

нию и определим действующие в этом сечении напряжения. Площадь наклонного сече-

ния Аα по линии n–n 1 будет больше поперечного сечения А (по линии n–n 2):

Aα = A . cosα

Тогда полное напряжение на наклонной площадке будет равно:

Разложив полное напряжение на наклонной площадке по направлениям нормали к площадке и касательной, получим нормальное и касательное напряжения на наклон-

ной площадке:

σα = pα × cosα = σ× cosα × cosα = σ× cos2α ,

Здесь σ1 обозначает наибольшее главное напряжение.

Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нор-

мальным напряжениям в его поперечных сечениях.

Из формулы следует, что касательные напряжения имеют наибольшие и наи-

Площадки, на которых действуют максимальные и минимальные касательные

напряжения τmax , называются площадками сдвига.

min

Контрольные вопросы по теме

1.В чем заключается суть метода сечений при определении внутренних усилий, в ча-

стности, при определении продольных сил?

2.Приведите рабочее правило для определения продольных сил в поперечных сече-

ниях стержней и правило знаков для них.

3.Как определяется нормальное напряжение в поперечном сечении бруса при растя-

жении– сжатии?

4.Что такое расчетное сопротивление материала?

5.Как записываются условия прочности при растяжении-сжатии для пластичных и хрупких материалов?

6.Как производится подбор требуемой площади поперечного сечения бруса из усло-

вия прочности?

7.Как формулируется закон Гука? Как он записывается для случая растяжения– сжатия?

8.Как определяется абсолютная деформация бруса при осевом растяжении– сжатии при наличии распределенной нагрузки на грузовом участке и при ее отсутствии?

Практика №3

Задача 4.1. Построить эпюры усилий Qy и Мх для балки, изображенной на рис. 40,

аналитическим способом.

РИС. 4 0

Решение

1.Определяем опорные реакции

= = 7 кН ;

= = 5 кН ;

Проверка: 2. Нумеруем участки. На каждом участке выбираем произвольное сечение, пока-

зывая расстояние до него от левого или правого краев балки.

3. На каждом участке записываем аналитические выражения для Qy и Мх, рас-

сматривая равновесие правой или левой частей балки.

Полученные функции изображаем графически на эпюрах.

;

4. Эпюры Qy и Мх построены.

В рассмотренной задаче на балку воздействовали сосредоточенные нагрузки. В

следующей задаче демонстрируются основные приемы работы с равномерно-распреде-

ленными нагрузками.

Задача 4.2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изо-

браженной на рис. 41.

Рис. 41

Решение

В данной балке можно построить эпюры, не определяя опорных реакций, если на всех участках выражения для Qy и Мх составлять, используя нагрузки, расположен-

ные справа от сечения, а левую часть стержня (вместе с неизвестными реакциями) от-

брасывать.

Пронумеруем участки (по направлению). На каждом покажем произвольное се-

чение, привязав его к правому краю балки.

Записываем аналитические выражения для Qy и Мх. Полученные функции изо-

бражаем графически.

Выпуклость параболы – вниз.

Касательная к ней горизонтальна в сечении, где Qy = 0, то есть на краю балки.

При вычислении значений усилий необходимо указывать сечения, для которых

Так, выражение можно прочитать как «значение Мх при м».

Еще один способ заключается в том, чтобы обозначить все сечения балки бук-

вами: A, B, C, D, E и т.д. В этом случае можно, например, записать

, что будет обозначать: «значение в сечении D».

Каждый вправе использовать тот способ указания сечений, который ему нра-

вится.

2-й участок 2 м ≤ ≤ 4 м

Наклон графика Qy(z) одинаков на 1-м и 2-м участках.

Более точно квадратная парабола строится по трем точкам.

Третью точку берем в середине участка.

Выпуклость параболы - вниз. Экстремумов нет.

На стыке 1-го и 2-го участков приложен сосредоточенный момент В силу этого на эпюре Мх образовался скачок, по величине и направлению совпадаю-

щий с внешним моментом.

3-й участок 4 м ≤ ≤ 7 м

Составляя выражения Qy() и Мх () заметим, что теперь справа от сечения оказалась вся нагрузка q1 (равнодействующая q1 м с плечом () м) и часть на-

грузки q2 (равнодействующая q2 ·() с плечом ()/2).

;

Наклонная прямая Qy() имеет уклон в другую сторону и расположена круче,

чем на 1-м и 2-м участках, поскольку тангенс угла ее наклона равен нагрузке q2, кото-

рая имеет другой знак и больше по величине, чем q1.

=

= ;

;

.

На стыке 2-го и 3-го участков к балке не приложены сосредоточенные силы и моменты. Поэтому в данном сечении эпюра Мх не имеет разрыва и излома, то есть гладкая. Квадратная парабола выпуклостью вверх и имеет экстремум в том сечении,

где эпюра Qy пересекает ось (Qy= 0). Для построения параболы в данном случае следует третье значение считать не в середине участка (как на участке 2), а в месте экстремума.

Экстремальные значения усилий принято вычислять, поскольку часто они яв-

ляются наибольшими и определяют положение опасного сечения.

Для того чтобы найти экстремум квадратной функции

на некотором участке, следует сначала найти его расположение, то есть положение

Экстремальное значение равно:

Проводим квадратную параболу через три точки.

Эпюры Qy и Мх построены.

Лекция №5

Напряжения при прямом поперечном изгибе

1. Нормальные напряжения. Вывод формулы Новье

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чистым изгибом

и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая.

Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами со-

противления материалов, необходимо ввести некоторые гипотезы.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Сечения плоские до деформа-

ции остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно не-

которой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом во-

локна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2)гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3)гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Кроме этих гипотез следует ввести ряд ограничений:

1.Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

2.Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при рас-

тяжении и сжатии одинаков.

3. Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Приведенные выше гипотезы в обычных случаях изгиба верны только прибли-

зительно. Однако вытекающие из них погрешности теории так невелики, что ими мож-

но пренебречь.

Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротив-

ления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие мо-

менты, а поперечные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается дан-

ное условие, изгибающий момент, вдоль продольной оси z принимает постоянное зна-

чение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z)=const, то для одно-

родного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих моментов ось бруса искривляется. Исходя из этого,

ось бруса принимает форму дуги окружности с радиусом кривизны . В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно,

точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба переместятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образу-

ет плоскость.

Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга.

Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz

(рис. 42).

В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между собой угол dθ, в

связи с чем верхние волокна удлиняются, а нижние − укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным сло-

ем и обозначим отрезком СD. При этом . Произвольный отре-

зок АВ, расположенный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на вели-

чину . С учетом построений, изображенных на рис. 50, легко определить ве-

личину его относительной линейной деформации:

Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения − сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям можно осуществить посредством закона Гука:

σ

Рис. 43

Установим положение нейтральной оси x, от которой происходит отсчет коор-

динаты у (рис. 43). Учитывая, что сумма элементарных сил по площади попе-

речного сечения A дает нормальную силу Nz. Но при чистом изгибе Nz =0, следователь-

но:

Как известно, последний интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю,

значит, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mx через σ.

Очевидно, что

C учетом выражения (2) получим:

Откуда

где − кривизна нейтрального волокна; EIx − жесткость бруса.

Из формулы, исключая , окончательно получим:

Эта формула была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году.

Таким образом, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропор-

циональны величине изгибающего момента и расстоянию точки от нейтральной линии сечения и обратно пропорционально моменту инерции сечения относительно ней-

тральной оси.

Из выражения (5) можно сделать ряд важных выводов:

1) центр тяжести сечения балки является началом координат для анализа напря-

жений и приведения внешних сил; 2) напряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, момента

инерции сечения и координаты точки, в которой это напряжение определяется;