9562

Вводим безразмерную геометрическую характеристику стержня, которая называется

гибкостью стержня:

λ= μl .

imin

Из полученной формулы следует, что гибкость стержня характеризуется спосо-

бом закрепления концов стержня, его длиной, а также формой и размерами поперечно-

го сечения.

Тогда выражение критического напряжения принимает следующий окончатель-

ный вид:

Полученная формула также называется формулой Эйлера для критического на-

пряжения.

Формулы Эйлера для Fкр и σкр выведены для случая упругих деформаций стерж-

ня и когда материал следует закону Гука, т.е. когда критическое напряжение σкр не превышает предела пропорциональности σпц.

Приравняв критическое напряжение пределу пропорциональности (σкр = σпц),

получим значение предельной гибкости λо, при котором формулы Эйлера справедливы:

λо = π Е/ σкр .

Предельное значение гибкости λо зависит исключительно от механических свойств материала и имеет постоянное значение.

Для стали марки Ст3 при σпц = 200 МПа и Е = 2·105 МПа получим - λо ≈ 100.

Для древесины сосны и ели при σпц = 20 МПа и Е = 104 МПа получим - λо ≈ 70.

Таким образом, формулы Эйлера применимы при λ ≥ λо, т.е. только для случая упругого продольного изгиба.

При потере устойчивости за пределом упругости (неупругий продольный изгиб)

критические напряжения определяют по более сложным формулам, учитывающим раз-

витие пластических деформаций. Для практических расчётов удобно пользоваться эм-

пирической зависимостью, одна из которых выражается формулой Тетмайера-

Ясинского:

σкр = a − b λ.

Коэффициенты a и b, имеющие размерность напряжения, являются экспериментально установленными параметрами, зависящими от материалов:

Соответствующая критическая сила будет равна Fкр = σкр А.

Зависимость Тетмайера-Ясинского носит линейный характер. Полученные с её помо-

щью результаты представляют практический интерес до некоторого предела, характе-

ризуемого гибкостью λт, при которой критическое напряжение становится равным зна-

чению опасных напряжений сжатия: пределу текучести σт – для пластичных материа-

лов или временному сопротивлению (пределу прочности) σв – для хрупких материалов.

Для стали указанной марки, например, λт ≈ 40.

3. График зависимости критических напряжений от гибкости стержня.

Выполненный анализ позволяет представить полученные результаты в виде графика.

Для стали Ст3 характер зависимости критического напряжения от гибкости представ-

лен на рис. 74.

Рис. 74

Из графика следует, что сжатые стержни можно разбить на три группы: 1). Стержни большой гибкости - l ³ lо .

Для определения критической силы и напряжения можно пользоваться формулами Эйлера. Потеря устойчивости будет сопровождаться развитием только упругих деформаций (упругий продольный изгиб).

2). Стержни средней гибкости - lт £ l < lо .

Критические напряжения определяются по формуле Тетмайера-Ясинского. В

стержне развиваются упруго-пластические деформации (неупругий продольный изгиб).

3). Стержни малой гибкости - λ< λт .

Короткие стержни рассчитываются не на устойчивость, а на прочность. Для них критическое напряжение считается постоянным: σкр = σт или σкр = σв.

Практический метод расчёта сжатых стержней на устойчивость (продольный изгиб).

Итак, несущая способность сжатого стержня может быть исчерпана по двум:

причинам

1). вследствие потери прочности, если в стержне из пластичного материала не выпол-

няется условие σ ≤ σт , а в стержне из хрупкого материала – условие σ ≤ σв .

2). вследствие потери устойчивости, если в стержне из любого материала не выполня-

ется условие σ < σкр .

Если сечение не имеет местных ослаблений, то для сжатых стержней средней и

большой гибкости основным становится расчёт не на прочность, а на устойчивость, по-

скольку для них всегда σкр < σт или σв .

Очевидно, что условие устойчивости должно иметь вид:

Здесь Абр – полная площадь поперечного сечения стержня, т.е. без учёта мест-

ных ослаблений.

Учитывая приближённый характер расчёта и невозможность учесть все факто-

ры, влияющие на потерю устойчивости, необходимо ввести в расчёт коэффициент за-

паса устойчивости nуст > 1.

Значение коэффициента запаса устойчивости зависит в основном от назначения рассчитываемого стержня и его материала. Коэффициент запаса устойчивости прини-

мают более высоким, чем коэффициент запаса прочности. Так, например, в строитель-

ных конструкциях для стальных стержней принимают nуст = 1,7 - 2,1.

Вводим допускаемое напряжение при расчёте на устойчивость:

[ σ ]уст = σкр / nуст.

Теперь условие устойчивости принимает вид:

Обычно допускаемое напряжение при расчёте на устойчивость [ σ ]уст выражают через основное допускаемое напряжение на сжатие [ σ ]:

[ σ ]уст = φ [ σ ].

Здесь φ < 1 – коэффициент понижения основного допускаемого напряжения на сжатие или коэффициент продольного изгиба.

Значение коэффициента продольного изгиба φ зависит от материала стержня и его гибкости. Для строительных конструкций значения этих коэффициентов включены в строительные нормы и правила проектирования (СНиП). Значение коэффициента φ

определяют либо по формулам, либо по таблице, часть которой приводится ниже.

Окончательно, условие устойчивости примет следующий вид:

Расчёт на устойчивость с применением коэффициента продольного изгиба φ яв-

ляется универсальным, поскольку он не связан с пределами применимости формулы Эйлера и может быть использован при всех значениях гибкости. Коэффициент запаса устойчивости в этом расчёте в явном виде не фигурирует, он включён в величину ко-

эффициента φ.

Таблица. Значения коэффициента продольного изгиба.

Для стержней, не имеющих ослабления поперечного сечения, достаточно произ-

водить только расчёт на устойчивость. Если стержень имеет местное ослабление попе-

речного сечения, расчёт на устойчивость необходимо дополнить расчётом на прочность в ослабленном сечении по известной формуле:

σ = N ≤ [ σ ].

Aнт

В заключение следует отметить, что рациональными являются те поперечные сечения, у которых моменты инерции относительно главных центральных осей близки по значению или даже равны. Стойки, имеющие такое сечение, обладают равноустойчивостью во всех направлениях. Указанным требованиям удовлетворяет кольцевое сечение. Часто применяют также сечения, составленные из про-

катных профилей, расположенных таким образом, что все главные моменты инерции полученного составного сечения одинаковы.

Лекция № 15

Пример 1.

Стержень, показанный на рис. 75а сжимается силой F = 600 кН. Сечение стерж-

ня, состоящее из двух равнобоких уголков, изображено на рис. 75б. Материал стержня

– сталь С235 с допускаемым напряжением

Требуется подобрать размеры уголков так, чтобы выполнялись условия устой-

чивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют

15% площади сечения.

Рис. 75

Решение.

Сечение стержня состоит из уголков (прокатного профиля), поэтому используем для подбора сечения метод последовательных попыток. Поскольку в условии устойчи-

вости имеем сразу две неизвестные величины ( и ), то одной из них задаемся про-

Площадь одного уголка Из сортамента прокатной стали выбира-

ем уголок, удовлетворяющий этому условию. Отметим, что в сортаменте может быть несколько уголков с примерно одинаковой площадью: уголки с длинной полкой и тон-

кой стенкой и уголки с короткой, но более толстой стенкой. Выбирать следует самые тонкие уголки, т.к. при одинаковой площади радиус инерции у тонких уголков больше и, следовательно, гибкость стержня с сечением из тонкого уголка меньше, а чем мень-

ше гибкость, тем более устойчив стержень. В рассматриваемом примере выберем уго-

рис. 75б). Следует ожидать, что радиус инерции относительно оси y будет минималь-

ным, так как материал ближе расположен к оси y, чем к оси z. Убедимся в этом.

Радиус инерции одного уголка относительно оси берем из сортамента:

, а расстояние а (см. рис.75б) сосчитаем:

Таким образом, очевидно, что

и

Теперь найдем гибкость стержня (заметим, что, если в сортаменте выбрать уго-

лок с более толстой полкой, но с примерно такой же площадью, например, уголок 160×12 (Ауг = 37,4 см2), минимальный радиус инерции сечения из двух таких уголков будет imin = 6,23 см и гибкость стержня будет на 13% больше, чем для уголка 180×11).

и из таблицы, интерполируя, найдем . Проверим условие устойчивости

Условие устойчивости выполняется, но сечение не является экономичным. Поэтому сделаем еще попытку. Уменьшим размеры сечения и примем самый тонкий уго-

лок их тех, у которых длина полки 160 мм, а именно, уголок 160×10. ,

и гибкость стержня

По таблице (справочные данные) находим и условие устойчивости выполняется с небольшим запасом:

Сечение из двух уголков 160×10 можно считать экономичным. Условие прочности для подобранного сечения тоже выполняется, поскольку согласно условию

.

В заключение найдем действительный коэффициент запаса устойчивости. По-

скольку стержень с подобранным сечением из уголков 160х10 имеет гибкость ,

находящуюся в пределах между и , то определяем критическую силу по формуле Ясинского

Действительный коэффициент запаса устойчивости

Пример 2.

Стальной стержень длиной сжимается силой .

Требуется:

1.Найти размеры поперечного сечения при с помощью метода последовательных приближений;

2.Найти значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Решение.

1) В условии устойчивости

неизвестны величины и А.

В первом приближении

С другой стороны

. Следовательно,

Определим минимальный радиус инерции

Коэффициент приведения длины , согласно для данного типа закрепления ра-

вен 0,5.

Гибкость стержня

По таблице из справочника (коэффициенты продольного изгиба центрально сжатых элементов по СНиП II 23 – 81) находим

при

при

при

Интерполяцией определяем

Сравниваем

Проверка:

Считаем напряжения

61% > 5%

Во втором приближении принимаем