Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9562

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

4). Координаты центров тяжести элементов сечения относительно осей х и у

точка С1: a1 = 1.05 см,

b1 = - 2.5 см;

точка С2: а2 = 15 + 1.05 = 16.05 см,

b2 = 10.6 – 2.5 = 8.1 см;

точка С3: а3 = - (10.0 – 1.05) = - 8.95

см,

b3 = 2.67 – 2.50 = 0.17 см;

точка С4: а4 = - (18.36 – 1.05) = - 17.31 см,

b4 = - (3.97 + 2.5) = - 6.47 см.

5). Моменты инерции сечения относительно осей х и у

= ∑( Jx i + Ai ai2 ) = [6400 + 48 · 1.052] + [115 + 26.8 ·16.052] +

+ [1520 + 23.4 · (-8.95)2] + [51.68 + 15.67 · (-17.31)2] = 21613.04 см4,

= ∑( Jy i + Ai bi2 ) = [5.76 + 48 · (-2.5)2] + [1840 + 26.8 · 8.12] +

+ [113 + 23.4 · 0.172] + [155.52 + 15.67 · (-6.47)2] = 4829.27 см4,

Jxy

= ∑( Jx i y i

+ Ai ai bi ) = [0 + 48 · 1.05 · (-2.5)]

+ [0 + 26.8 ·16.05 · 8.1] +

+ [0 + 23.4 · (-8.95) · 0.17] + [51.18 + 15.67 · (-17.31) · (-6.47)] = 5128.68 см4.

6). Главные центральные моменты инерции заданного сечения

J max

= J1,2 =

Jx + Jy

[(Jx - Jy )2 + 4 J 2xy ] =

min

21613.04 + 4829.27

[(21613.04 - 4829.27)2 + 4×5128.68 2 ]

= 13221.16 ± 9834.99.

Jmax = J1 = 23056.15

см4,

Jmin = J2 = 3386.17

см4.

Проверка: Jx + Jy = 21613.04 + 4829.27 = 26442.31 см4,

J1 + J2 = 23056.15 + 3386.17 = 26442.32 см4.

7). Углы наклона главных центральных осей инерции сечения

tgα max

Jxy

5128.68

= - 0.28138,

α max

= -15.72

- Jmax

4829.27 - 23056.15

tgα min

Jxy

5128.68

= 3.5539325,

αmax

74.28

- Jmin

4829.27 - 3386.17

Проверка:

αmax

α min

= 15.72o + 74.28o = 90o.

8). Главные центральные радиусы инерции

imax	=	Jmax	=	23056.15	= 14.23 см,	imin	=	Jmin	=	3386.17	= 5.45 см.
				113.87						113.87
		A						A

у4

у1

у3

у2

3.97 см

2.67 см

min (2)

10.60 см

х2

2.50 см

х1

MAX = -

15.

max (1)

х3

х4

3.37 см

20.00 см

10.00 см

1.20 см

7.60 см

Пример 2. Для заданного поперечного сечения стержня, состоящего из следующих фигур:

1.полукруга с диаметром 8 см;

2.равнобедренного треугольника 6х9 см;

3.прямоугольного отверстия 2х3 см;

необходимо определить:

-положение центра тяжести поперечного сечения (т. С);

-главные центральные оси поперечного сечения;

-главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

-моменты сопротивления сечения.

Ре ш е н и е.

Вычисление геометрических характеристик фигур, составляющих заданное сечение,

выполнено и представлено в таблице.

1). Определяем общую площадь заданного сечения

А = А1 + А2 – А3 = 25.13 + 27 - 6 = 46.13 см2. 2). Определяем статический момент сечения относительно оси х1.

Sx 1 = y1 A1 + y 2 A2 - y3 A 3 = 0 + (-4.7) ×27 - (-3.2) ×6 = -107.7 см3 .

3). Определяем координаты центра тяжести заданного сечения.

Поскольку заданное сечение имеет ось симметрии (ось у), то центр тяжести располага-

ется на этой оси, поэтому необходимо определить только координату ус

- 107.7

= - 2.335 см .

46.13

4). Через полученный центр тяжести проводим горизонтальную ось х.

Оси х, у является искомыми главными центральными осями инерции заданного сече-

ния, т.к. ось у –

ось симметрии и Jxy = 0.

5). Вычисляем главные центральные моменты инерции сечения

= (J

x 1

+ a2 A

)+ (J

x 2

+ a2

)- (J

x 3

+ a2

)= [0.28 ×100.53 + 2.335 2

×25.13 ]

[121.5 + (- 2.365) 2 ×27] -

[4.5 + (- 0.865) 2 ×6]= 428.69 см4 ,

= Jy

+ Jy

- Jy

= 100.53 + 40.5 - 2 = 139.03 см4 ,

Jxy = Jx y

+ Jx

- Jx

= 0 .

Из полученного решения следует:

Jmax = J1 = Jx = 428.69 см4, Jmin = J2 = Jy = 139.03 см4 .

6). Вычисляем осевые моменты сопротивления сечения

Wx( 1) =

428.69

= 92.49см3 ,

Wx( 2 )

428.69

= 51.25см3 ,

4.635

8.365

Jу

139.05

= 34.76см3 .

∙

2.30

3.00

1.50

1.70

6.00

1.50

A1 =

π 82

=25.13см

A 3 = 2× 3 = 6см2

=0.28 π 84

J x1

=0.28×100.53см4

A 2 =

2 ×6

× 9 = 27 cм2

Jx3

= 2×33

= 4.5 см4

π 8

128

Jx2

6×93

=121.5 см

Jy1

=100.53см

Jy3

3 ×2

=2см

128

= 9×6

J x1y1 =0

Jy 2

= 40.5 см4 , Jx2 y 2

= 0

Jx3y3 =0

Практика №2.

Задача 1. Построить эпюру продольных сил для стержня, изображенного на рис. 78.

Рис. 78

Решение

1. Опоры на рис. 79 не показаны, поэтому определять неизвестные реакции не тре-

буется. Надо думать, что либо F1, либо F5, либо обе эти силы и являются реакциями, ко-

торые были найдены заранее.

Все силы, приложенные к телу, должны находиться в равновесии. В противном случае оно начинает движение с ускорением, что недопустимо для элемента строительной конструкции. Проверим равновесие сил в данном случае

∑z=F1+F2 –F 3 +F4 –F 5 = 10+30-70+50-20=90-90=0 .

Равновесие есть.

Рис. 79

2. Нумеруем участки. На каждом из них произвольно показываем сечение.

Рассматривая либо левую, либо правую часть стержня, вычислим значение усилия

136

1 участок (левая часть)		N1	= -F1= - 10 кН	(сжатие);
2	участок (левая часть)	N2	= - F1- F2= -10-30=-40 кН	(сжатие);
3	участок (правая часть)	N3	= +F4– F5= 50-20=30 кН	(растяжение);
4	участок (правая часть)	N4	= - F5= - 20 кН	(сжатие).

3. Строим график N(z), учитывая то, что на каждом из участков усилие N постоян-

но.

Убедимся для проверки, что высота и направление «скачков» на графике соответ-

ствует внешней нагрузке.

Из рис. 79, в частности, видно, что все участки стержня, за исключением участка №

3, сжаты, наиболее нагруженным является участок № 2 . Сжимающее усилие в нем равно

40 кН (около 4-х тонн).

Задача 2.2. Построить эпюру продольных сил для стержня, изображенного на рис. 80

при следующих значениях нагрузок:

F1= 40 кН, F2= 10кН, F3= 20 кН, q1= 30кН/м, q2 = 5кН/м .

Рис. 80

Решение

1.Определим неизвестную опорную реакцию R, составив уравнение равновесия для всего стержня:

∑Z = 0, - R – F 1 + F2 + F3 + q1 ·2 - q2 ·3 = 0,

R = - 40 + 10 + 20 + 30 · 2 – 5 · 3 = + 35 кН.

137

Рис. 81

2. Пронумеруем участки стержня (по направлению к заделке). В произвольном месте на каждом участке отметим поперечное сечение. Рассматривая либо левую, либо правую часть стержня, запишем выражение для продольной силы N на каждом участке.

На участках без распределенной нагрузки усилие N постоянно и не зависит от того,

в каком месте находится рассматриваемое сечение. На участках, где приложена распреде-

ленная нагрузка, от расположения сечения зависит, какая часть распределенной нагрузки придется на отсеченную часть стержня.

Другими словами, усилие N будет зависеть от расположения сечения (в данном случае линейно). Чтобы это учесть, расположение сечения будем отмечать переменным расстоянием, которое можно отсчитывать от края рассматриваемой части стержня (z3 ‒

для 3-го участка и z4 ‒ для 4-го участка).

При рассмотрении участков 1, 2, 3, 4 будем отбрасывать левую часть стержня. 1 участок. N1=F3= +20 кН (растяжение).

2 участок. N2 = F2+ F3 = 10 +20 =30 кН (растяжение).

3 участок. z3 изменяется от 0м до 3м (область определения N3) .

N3 = F3+ F2– F1- q2– z3 = 10 + 20 - 40 - 5z3= -10 - 5z3

Строим график функции N3 = -10 – 5 z3 (наклонная прямая).

График наклонной прямой обычно строят, подсчитав значения функции при

двух значениях аргумента, то есть, проводя ее через две точки. В данном случае

удобно определять ее значения на границах участка.

138

При z3 = 0м (правый край участка) N3 = -10-5 0 = -10 кН;

при z3 = 3 м (левый край участка) N3 = -10-5 3 = -25 кН.

4 участок. 0м ≤ Z4 ≤ 2м (область определения N4)

N4 = F3+ F2– F 1– q 2 3 + q1z4=20+10-40-5 3 + 30- z4= -25 + 30 z4.

При z4 = 0 м N4 = - 25 + 30 0 = - 25 кН;

при z4 =2 м N4 = - 25 + 30 2 = +35 кН.

При рассмотрении 5-го участка легче считать силы, приложенные к левой части стержня.

5 участок. N5 = + R= + 35 кН.

3. Откладываем вычисленные значения продольной силы от горизонтальной оси

(«+» ‒ вверх, «-» ‒ вниз).

На участках с распределенной нагрузкой подсчитанные значения соединяем на-

клонными линиями, а на остальных усилие N не зависит от z и изображается горизон-

тальными линиями. Расставляем знаки, делаем штриховку. Убеждаемся в том, что «скач-

ки» на графике по величине и направлению соответствуют внешним силам. Эпюра по-

строена.

Когда стержень имеет опору только с одной стороны, усилия на участках можно определять, отбрасывая всегда ту часть стержня, к которой приложена неизвестная реак-

ция. В этом случае неизвестная реакция никогда не потребуется для определения усилий,

и эпюра может быть построена без определения реакций.

Например, в задаче 2.2 усилие на 5-м участке может быть получено суммировани-

ем правых сил:

N5= F3 + F2– F 1 -q2· 3 + q1· 2 = 20 + 10-40 - 5 ·3 + 30·2 = 35кН.

Практика №3

Задача 4.1. Построить эпюры усилий Qy и Мх для балки, изображенной на рис. 82, ана-

литическим способом.

139