15.13. Формула пуазейля
(рис. 80)
Формула Пуазейля дает величину объемного расхода жидкости при ламинарном течении жидкости по цилиндрическим трубам. Рассмотрим установившийся поток жидкости по цилиндрической трубе радиуса R и длины L , ось которой горизонтальна (рис.80). давление в левом сечении трубы равно P1 , а в правом Р2 , причем P1>P2 . Скорость потока максимальна вдоль оси трубы и равна ну ли у стенок, выделим в трубе тонкий цилиндрический слой радиуса х и толщины dx , в пределах которого скорость жидкости можно считать одинаковой. На торцы выделенного слоя действует силы давления, равнодействующая которых равна:
На внутреннюю и внешнюю поверхности слоя действуют силы вязкого трения. По закону Ньютона для вязкого трения на внутреннюю поверхность слоя действует сила:
а равнодействующая сил вязкого трения, приложенных к внутренней и внешней поверхностям, соответственно равна:
Так как жидкость движется с постоянной скоростью, сумма приложенных к слою сил равна нулю, т.е.:
(303)
Интегрируя (303), получим:
Постоянную интегрирования С1 можно получить из условия, что вдоль оси трубы скорость максимальна:
следовательно С1=0. С учетом этого:
(304)
Интегрируя (304), получим:
Постоянную интегрирования С2 получим из условия, что у стенок трубы скорость жидкости равна нулю x=R, , V=0, поэтому:
Подставив найденное значение постоянной интегрирования в общее решение, получим зависимость скорости жидкости от расстояния до оси трубы:
(305)
Для определения объемного расхода запишем сначала элементарный объемный расход по выделенному цилиндрическому слою:
(306)
Полный объемный расход по всей трубе получим интегрированием (306) по всем слоям:
(307)
Выражение (287) называет формулой Пуазейля.