3.6. Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление
определенных интегралов методом,
основанным на определении интеграла
как предела интегральной суммы, как
правило, связано с большими трудностями.
Существует более удобный метод вычисления
определенных интегралов, который, как
будет показано, основан на установленной
ранее связи между неопределенным и
определенным интегралами. Было
установлено, что функция
- непрерывная
на отрезке
,
имеет на этом отрезке первообразные,
причем одной из них является функция
Пусть
–
любая другая первообразная для функции
на том же
отрезке
Так как первообразные
и
отличаются
на постоянную, то имеет место равенство
где С
– некоторое число. Подставляя в это
равенство значение
,
имеем
т. е. для
любого
Полагая
,
получаем основную формулу интегрального
исчисления
(3.6)
которая называется
формулой
Ньютона-Лейбница.
Разность
принято условно записывать:
и поэтому формула (3.6) принимает вид
Подчеркнем, что в формуле (3.6) в качестве можно взять любую первообразную для на отрезке .
Формула (3.6) дает простой метод вычисления определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла, которая достаточно полно изучена. Рассмотрим п р и м е р ы.
1.
2.
3.
4.
5.
З а м е ч а н и е. Формула Ньютона-Лейбница была выведена в предположении, что подынтегральная функция непрерывна. При некоторых условиях формула Ньютона-Лейбница имеет место и для разрывных функций.
3.7. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема.
Пусть
– непрерывная функция на отрезке
.
Тогда,
если:
1)
функция
дифференцируема на
и
непрерывна на
;
2)
множеством значений функции
является отрезок
;
3)
и
(рис. 6),
то справедлива формула
(3.7)
Рис. 6
Формула (3.7) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.
З а м е ч а н и е 1.
Если при вычислении неопределенного
интеграла с помощью замены переменной
от новой переменной
следует возвращаться к старой переменной
,
то при вычислении определенного интеграла
этого делать не нужно, так как теперь
следует найти число, которое согласно
доказанной формуле равно значению
каждого из рассматриваемых интегралов.
Пример 1. Вычислить
Решение.
Рассмотрим подстановку
,
Проверим законность такой подстановки.
Во-первых, функция
непрерывна
на
во-вторых, функция
дифференцируема
на
и
непрерывна на
и, в третьих, при изменении t
от 0 до
функция
изменяется от 0 до 1, причем
и
.
Таким образом, данная подстановка
удовлетворяет всем условиям теоремы.
Применяя формулу (3.7), получаем
З а м е ч а н и е 2. При использовании формулы (3.7) необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.
Пример 2.
Вычислить
Решение.
Имеем
С другой стороны,
Подстановка
формально приводит к следующему
результату:
Получен неверный
результат, так как
.
Это произошло потому, что функция
разрывна при
и не удовлетворяет условиям теоремы.