- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 2
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 2
- •Воронеж 2013
- •Введение
- •1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.1. Комплексные числа. Основные определения
- •1.2. Основные действия над комплексными числами
- •1.3. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа
- •1.4. Применение формул Эйлера и Муавра
- •1.5. Многочлены в комплексной области
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п.1
- •Неопределенный интеграл
- •2.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Неопределенный интеграл.
- •2.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.3. Таблица основных интегралов
- •2.4. Основные методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •2.6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •Индивидуальные задания
- •3. Определенный интеграл
- •3.1. Определение определенного интеграла
- •Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на нем.
- •3.3. Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формула среднего значения
- •2. Формула среднего значения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •3.6. Формула Ньютона-Лейбница
- •3.7. Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 1. Вычислить
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
- •3.10. Несобственные интегралы
- •1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •3.11. Индивидуальные задания
- •Задача 4.
- •Задача 5.
- •Задача 6.
- •4. Ряды
- •4.1. Понятие числового ряда
- •Суммы конечного числа членов ряда
- •2. Свойства сходящихся рядов.
- •Ряды с неотрицательными членами
- •4.3. Знакочередующиеся ряды
- •4.4. Абсолютная и условная сходимость рядов
- •Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
- •4.5. Степенные ряды
- •Таким образом, при любом х имеет место разложение
- •4.6. Ряды Фурье
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •Библиографический список
- •8. Краснов м.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / м.Л. Краснов, а.И. Киселев, г.И. Макаренко – м.: Наука, 1981. Оглавление
- •1. Комплексные числа и действия над ними …………….4
- •Неопределенный интеграл ……………………......…...23
- •3. Определенный интеграл.….……………....………........68
- •4. Ряды……..…………................………………...…...…...118
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.6. Ряды Фурье
1. Тригонометрический ряд и его основные свойства. Определение. Ряд вида
(4.24)
называется тригонометрическим рядом, а числа коэффициентами тригонометри-ческого ряда.
В отличие от степенного ряда, рассмотренного ранее, в тригонометрическом ряде вместо простейших функций взяты тригонометрические функции
(4.25)
которые также хорошо изучены.
Прежде всего отметим, что все функции системы (4.25) являются периодическими с периодом . В самом деле, постоянная имеет любой период, а период функций sin nx и cos nx (n = l, 2, ...) равен и, следовательно, каждый член тригонометрического ряда (4.24) является периодической функцией с периодом . Поэтому и любая частичная сумма ряда (4.24) -периодична (если все члены ряда не меняются от замены х на , то и сумма его не изменяется от этой замены). Отсюда следует, что если ряд (4.24) сходится на отрезке то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом . Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы, которые имеют место в природе и технике. Примерами периодических процессов служат колебательные и вращательные движения различных деталей машин и приборов, периодическое движение небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания и др.
Другим важным свойством функций системы (4.25) является их ортогональность на отрезке в следующем смысле: интеграл по отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля. Действительно,
(4.26)
Далее,
(4.27)
(4.28)
Наконец, (4.29)
что и требовалось показать.
2. Ряд Фурье. Аналогично степенному ряду, для тригонометрического ряда имеет место следующая теорема.
Теорема 19. Если функция определена и интегрируема на отрезке , разлагается в тригонометрический ряд
(4.30)
который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируя (4.30), получаем
откуда, учитывая (4.26), находим (4.31)
Для определения коэффициента при (k – натуральное число) умножим равенство (4.30) на и проинтегрируем по х от до . Тогда на основании формул (4.26) (4.29) получаем
откуда
. (4.32)
Аналогично, умножая равенство (4.30) на и интегрируя в пределах от до , на основании тех же формул получаем откуда находим
. (4.33)
Таким образом, коэффициенты и ряда (4.30) определяются единственным образом формулами (4.31) (4.33), что и доказывает теорему, которая дает основание ввести следующее определение.
Определение. Пусть функция, определенная и интегрируемая на отрезке Тогда числа , найденные по формулам (4.31) (4.33), называются коэффици-ентами Фурье, а ряд с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции .
3. Сходимость ряда Фурье. Введем понятие периодического продолжения функции , заданной на отрезке . Будем говорить, что функция F(x), определенная на всей числовой прямой и периодическая с периодом , является периодическим продолжением функции , если на отрезке
Очевидно, что если на отрезке ряд Фурье сходится к функции , то он сходится на всей числовой прямой к ее
периодическому продолжению.
Установим, при каких условиях ряд Фурье функции сходится к этой функции. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема 20. Пусть функция и ее производная непрерывные функции на отрезке или же имеют на нем конечное число точек разрыва 1-го рода, Тогда ряд Фурье функции сходится на всей числовой прямой, причем в каждой точке , в которой непрерывна, сумма ряда равна , а в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна где и На концах отрезка сумма ряда равна . В любой точке сумма ряда Фурье равна F(x), если х – точка непрерывности F(x) и равна если х – точка разрыва F(x), где F(x) – периодическое продолжение .
4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Пусть функция f(x) определена на отрезке и является четной, т.е. . Тогда ее коэффициенты Фурье равны нулю. Действительно,
В первом интеграле в квадратных скобках сделаем замену переменной. Положим x = t. Тогда dx = dt; если , то
; если то Принимая во внимание, что
функция четная, а функция sin х нечетная, получаем
Следовательно,
Аналогично, учитывая, что функции и четные, можно получить следующие выражения для коэффициентов :
(4.34)
Пусть теперь функция , определенная на отрезке , нечетная, т.е. . Тогда, используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, можно показать, что коэффициенты Фурье равны нулю, а коэффициенты определяются выражениями
(4.35)
Таким образом, если функция четная, то ряд Фурье содержит только косинусы и только синусы, если функция нечетная. Формулы (4.34) и (4.35) позволяют упростить вычисление коэффициентов Фурье, когда заданная функция является четной или нечетной.
Пример 1. Рассмотрим функцию = x. Эта функция удовлетворяет условиям теоремы 19 и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Так как она нечетная, то ее коэффициенты находятся по формуле (4.35). Имеем
Таким образом, получаем ряд Фурье данной функции
Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по теореме 19 не совпадает со значениями функции а равна
Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции =x; ее график изображен на рис. 21, а.
Пример 2. Рассмотрим функцию Эта функция удовлетворяет условиям теоремы 19 и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Так как она чётная, то ее коэффициенты Фурье а находятся по формулам (4.34). Имеем
Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид
Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда в данном случае совпадает со значениями функции поскольку
График функции и суммы данного ряда Фурье изображены на рис. 21, б.
Рис. 21
5. Ряд Фурье с периодом 2l. Пусть, функция определена на отрезке произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы 19. Разложим ее в ряд Фурье. Введем новую переменную по формуле и рассмотрим функцию . Очевидно, функция определена на отрезке и удовлетворяет на нем условиям теорема 19. Разложим функцию на отрезке в ряд Фурье
(4.36)
где
Вернемся теперь к старой переменной х: , Тогда формула (4.36) принимает вид
(4.37)
где
Формула (4.37) и есть ряд Фурье с периодом 2l.
Пример 3. Разложить в ряд Фурье с периодом 2l функцию , которая на отрезке задается формулой
Решение. Так как функция четная, то
Следовательно, ряд Фурье функции имеет вид
Ф ункция удовлетворяет условиям теоремы 19 и полученное равенство справедливо для любого , а это значит, что ряд сходится на всей числовой прямой и его суммой является функция, график которой изображен на рис. 22.
О
Рис. 22