- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 2
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 2
- •Воронеж 2013
- •Введение
- •1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.1. Комплексные числа. Основные определения
- •1.2. Основные действия над комплексными числами
- •1.3. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа
- •1.4. Применение формул Эйлера и Муавра
- •1.5. Многочлены в комплексной области
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п.1
- •Неопределенный интеграл
- •2.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Неопределенный интеграл.
- •2.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.3. Таблица основных интегралов
- •2.4. Основные методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •2.6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •Индивидуальные задания
- •3. Определенный интеграл
- •3.1. Определение определенного интеграла
- •Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на нем.
- •3.3. Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формула среднего значения
- •2. Формула среднего значения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •3.6. Формула Ньютона-Лейбница
- •3.7. Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 1. Вычислить
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
- •3.10. Несобственные интегралы
- •1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •3.11. Индивидуальные задания
- •Задача 4.
- •Задача 5.
- •Задача 6.
- •4. Ряды
- •4.1. Понятие числового ряда
- •Суммы конечного числа членов ряда
- •2. Свойства сходящихся рядов.
- •Ряды с неотрицательными членами
- •4.3. Знакочередующиеся ряды
- •4.4. Абсолютная и условная сходимость рядов
- •Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
- •4.5. Степенные ряды
- •Таким образом, при любом х имеет место разложение
- •4.6. Ряды Фурье
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •Библиографический список
- •8. Краснов м.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / м.Л. Краснов, а.И. Киселев, г.И. Макаренко – м.: Наука, 1981. Оглавление
- •1. Комплексные числа и действия над ними …………….4
- •Неопределенный интеграл ……………………......…...23
- •3. Определенный интеграл.….……………....………........68
- •4. Ряды……..…………................………………...…...…...118
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Ряды с неотрицательными членами
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных условий сходимости рядов с неотрицательными членами. Предварительно сформулируем теорему, которая будет использована в последующих рассуждениях.
Теорема 5. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Достаточные условия сходимости ряда. Установим ряд признаков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.
Теорема 6 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Пример 1. Ряд сходится, так как сходится
ряд из членов геометрической прогрессии: ,
а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда
сходящейся геометрической прогрессии:
Пример 2. Ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда а гармонический ряд расходится.
Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Рассмотрим два из них.
Теорема 7 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при ряд сходится; б) при ряд расходится.
З а м е ч а н и е. При , как показывают примеры, ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.
Пример 3. Ряд сходится, так как
Пример 4. Ряд расходится, так как
Пример 5. Рассмотрим ряд . Имеем Согласно признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако, как было показано ранее (см. пример 2), этот ряд расходится.
Теорема 8 (признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при ряд сходится; б) при ряд расходится.
Пример 6. Рассмотрим ряд . Имеем и Согласно признаку Коши этот ряд сходится.
Теорема 9 (интегральный признак). Пусть дан ряд
члены которого являются значениями некоторой функции
, положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда, если сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то ряд также расходится.
Пример 7. Рассмотрим ряд
( ).
С помощью интегрального признака выясним поведение данного ряда при . Возьмем в качестве функции функцию которая удовлетворяет условиям теоремы 8. Члены ряда равны значениям этой функции при . Как известно, несобственный интеграл при сходится, а при расходится. Следовательно, данный ряд сходится при и расходится при .
Заметим, что при такие ряды также расходятся, так как их общий член не стремится к нулю при , т. е. нарушается необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 4).
В частности, при имеем сходящийся ряд ;
при расходящийся гармонический ряд ; при pacходящийся ряд и т.д.