Задачи к п. 1
1. Вычислить:
,
,
,
,
если
1)
,
2)
,
2. Доказать следующие соотношения:
1)
;
2)
3)
4)
3. Найти действительные решения уравнений:
1)
2)
3)
4. Найти
все комплексные числа, удовлетворяющие
условию:
5. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа:
1)
;
2)
;
3)
.
6. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
7. Записать следующие комплексные числа в показательной форме:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
8. Вычислить:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
9. Найти все значения корня:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
Ответы к п.1
1. 1)
;
;
;
2)
;
;
;
3. 1)
2)
,
;
3)
,
4.
5. 1)
2)
3)
6. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
7. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
8. 1)
;
2)
;
3)
;
4) 1728.
9. 1)
;
;
;
;
2)
;
;
;
;
3)
;
;
4)
;
;
;
;
5)
;
;
6)
;
.
Неопределенный интеграл
2.1. Первообразная и неопределенный интеграл
1. Понятие
первообразной функции. Одной
из основных задач дифференциального
исчисления является отыскание производной
заданной функции. Разнообразные вопросы
математического анализа и его
многочисленные приложения в геометрии,
механике, физике и технике приводят к
обратной задаче: по данной функции
найти такую функцию
,
производная которой была бы равна
функции
,
т.е.
Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.
Определение 1. Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство
Рассмотрим примеры.
1. Функция
является первообразной для функции
на всей числовой прямой, так как при
любом значении
2. Функция
первообразная для функции
на всей числовой прямой, ибо в каждой
точке
3. Функция
первообразная
для функции
на интервале (1,+1),
так как в любой точке х
этого интервала
Задача отыскания
по данной функции
ее первообразной решается неоднозначно.
Действительно, если
– первообразная для
,
т. е.
то
функция
,
где С
– произвольная постоянная, также
является первообразной для
.
Например, для функции
первообразной является не только
,
но и функция
так как
Отметим, что множество функций , где – некоторая первообразная для функции , а C – произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для функции .
Лемма. Функция, производная которой на некотором промежутке Х равна нулю, постоянна на этом промежутке.
Терема 1. Если – первообразная для функции на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для функции на этом промежутке может быть представлена в виде , где С – произвольная постоянная.