Закатов Вища геодезія 1

Для вьіражения масштаба в функции плоских координат подставим в фор­ мулу (41.5) значення І и cos2 В согласно (39.13) и (40.6), тогда долучим

в виде

§ 42. Формули для перехода от расстояний на зллипсоиде к расстояниям на плоскости

в проекции Гаусса — Крюгера

Пусть на плоскости расстояние по прямой между точками а и Ь равно S (рис. 82), а расстояние между соответственньїми точками на зллипсоиде, считаемое по геодезической линии, равно s. Кривая abrb єсть изображение геодезической линии АВ на плоскости в проекции Гаусса — Крюгера. Через о обозначим длину зтой кривой, а через v — угол между некоторнм злементом do кривой ab'b и хордой ab. Будем иметь

о

=| cos v do.

о

180

Величина v, как увидим дальше, вьіше второго порядка; пренебрегая

Для масштаба изображения имеем

откуда

S

Имея в виду, что

т1 + ^ 1 - j_ _

'2Л2 _4

получаем

s

(42.3)

о

у4

Пренебрежем В подмнтегральной^функции членом 2AR~i '' ПРИ значении

у = 100 км, т. е. при положений точки на краю трехградусной зоньї, зто даст погрешность в переносе длинн с^зллипсоида на плоскость меньше, чем -1 х

181

§43. Формули для вьічисления поправок

внаправлення за кривизну изображения геодезической линии на плоскости

Вконформной проекции угльї и направлення переносятся с аллипсоида на плоскость без искажений, но геодезическая линия изображается на плоско­

сти не прямой, а некоторой кривой. Пусть, например, на рис. 83: о, і, к — изо-

і

бражения на плоскости точек О, / , К поверхности аллипсоида; геодезические линии, соединяющие точку о с і и к, изобразятся кривими оі и ок; угол между касательннми окг и о ї к атим кривим в точке о будет в точности равен углу между геодезическими линиями ОК и ОІ на аллипсоиде. Однако для прак-

182

тических вичислений необходимо перейти от кривих оі, ок, ... к прямим, соединяющим конечнне точки отих кривих. В направлення окг и оіг следует ввести поправки, равнне углам между касательннми к кривим, изображающим геодезические линии на плоскости, и прямими, соединяющими конечнне точки зтих кривих. Зти поправки на рис. 83 изображаются углами іо ї и кокг и нази­

Координати точекЛ х и В х обозначим через х 1% у х и х 2, У2* Если линия C\DX— изображение осевого меридиана, то

А хСі — ух, BXDX= и2.

Вследствие конформности изображения суммн углов обеих фигур должнн бить равнн, т. е.

360* + є = 360* + 61. 2 + 62. 1,

или

Є = ^1. 2+ ^2 і-

Полагая, б і<2 = б 2Л и принимая во внимание, что

183

получаем

Дадим вьівод более точних формул. Пусть А 1аВ1 (рис. 86) — изображение на плоскости геодезической линии АВ. Возьмем на кривой А гаВг две точки р и q, расположеннне на бесконечно малом расстоянии одна от другой и ограничивающие участок do. Для зтого бесконечно малого участка разность х 2 — х г обратится в dx, а

6ь2 - б 2. 1 = ^б.

Пусть 0 1 — центр кривизни для участка do. Угол pOxq будет равен 2db. На оснований (43.1) имеем

Обозначив радиус кривизни кривой А хаВх через р, напишем из треугольника pO xq

Возьмем систему координат с началом в точке А х; ось | направим по хорде А ХВ Х, а осьц — по направленню, перпендикулярному к ней. Напишем внражение, известное из дифференциальной геометрии, для радиуса кривизни

квадрат зтой величини будет ничтожен по сравнению с единицей, с которой

он складнвается в виражений для — . Позтому приближенно можно написать

184

Так как ось £ направлена по хорде А ХВ Х, то

dS=d£1.

Обозначив координати точек А х жВ х через х х, у х и х %, у г, а дирекционньїй угод хордьі А ХВ Х— через Т, будем иметь

■откуда

185

Полученньїе формули (43.8) и (43.9) пригодньї для вьічисления редукций в триангуляции 2 класса.

Для триангуляции 1 класса, при вьічислении в системе шестиградусньїх зон, более точная формула имеет вид

- ^ Г У І ( х * - Х і ) — % т У І , ( У г - У і ) Ч тг І ,

Для триангуляции 3 класса и ниже можно пользоваться формулой

т а т ь из измеренньїх направлений (рис. 86).

Для вьічисления поправок 6 координати пунктов достаточно знать при-

триангуляции 1 класса и 1 м — для триангуляции 2 класса. Для триангуляции З и 4 классов приближеннне координати достаточно вичислять с округлением до десятков метров; в зтом случае приближеннне координати можно определять графически — по точной схеме триангуляции.

§ 44. Формули и таблицьі для вьічисления плоских прямоугольннх координат Гаусса — Крюгера

Полученньїе основние формули проекции Гаусса — Крюгера для число­ вого решения задач, возникающих при применении зтой проекции в геодезии, громоздки и сложнн. Непосредственное их использование без применения

186

вспомогательньїх внчислительннх средств в виде специальньїх таблиц потребовало бьі вьшолнения больших и сложньїх вичислений. Позтому наличие рационально составленннх таблиц, соответствующих удобннм для вичислений фор­ мулам, имеет исключительно важное значение для практики геодезических вичислений вообще и для внчисления координат Гаусса — Крюгера в частности.

Одни и те же по существу формули могут бить путем преобразований приведенн к разнообразной внешней форме, позтому для решения одной и той же задачи с заданной точностью можно предложить различнне формули

иразличнне таблицн.

При преобразований формул для практических вичислений и составлении

таблиц стремятся обеспечить заданную точность вичислений при минимальном количестве внчислительннх действий, простоте и удобстве вичислений. После введення в GGGP системи координат Гаусса — Крюгера (1930 г.) били предложенн формули различного вида для внчисления и составленн соответствующие таблицн. Наибольшее распространение получили таблицн, составленнне инженерами Д. А. Лариннм и В. И. Звоновнм под руководством проф. Ф. Н. Кра­ совского.

В связи с переходом в 1942 г. в геодезических работах GGGP от зллипсоида Бесселя к зллипсоиду Красовского все ранее составленнне таблицн потеряли практическое значение. Главннм управлением геодезии и картографии били составленн и изданн новне таблицн для внчисления координат Гаусса — Крю­ гера с использованием размеров зллипсоида Красовского:

1) Ф. Н. Красовский и А. А. Изотов — «Таблицн для логарифмического внчисления координат Гаусса — Крюгера для широт от ЗО до 80°і> (М., Гео-

Щ., Геодезиздат, 1958);

3)«Таблицн координат Гаусса — Крюгера для широт от 32 до 80° через 5'

и для долгот от 0 до 3і/ 2° через 7і/ 2' и таблицн размеров рамок и площадей трапеций топографических свемок», составленнне под руководством проф. А. М. Вировца (М., Геодезиздат, 1947).

При составлении перечисленннх таблиц исходннми служили формули, полученнне в предндущих параграфах. Однако рекомендуемне в зтих табли­ цях рабочие формули, метод и порядок вичислений различнн, позтому рас- ■смотрим указаннне таблицн.

І. Т а б л и ц н Ф. Н. К р а с о в с к о г о и А. А. И з о т о в а предназначенн для вичислений при помощи логарифмов. В зтих таблицях рекомендуется два вида|формул: для внчисления координат точки, удаленной от осевого меридиана по долготе менее чем на 1°30\ и формули для внчисления коор­ динат точки, удаленной от осевого меридиана по долготе в пределах от 1°30' До 3°30'.

При помощи таблиц вьічисляют:

а) плоские прямоугольньїе координати, сближение меридианов и масштаб ^зображення по геодезическим координатам;

б) геодезические координати, сближение меридианов и масштаб изображения по данннм прямоугольньїм координатам;

в) редукции горизонтальних направлений за кривизну изображения геодезической линии на плоскости;

г) редукции расстояний за переход с зллипсоида на плоскость.

187

предназначенн для нелогарифмического внчисления координат Гаусса (в дальнейшем для краткости будем називать их таблицами Ларина).

Таблицьі содержат натуральнне значення коаффициентов рядов, полученннх в § 38, 39, 40, 41 и представляющих разложения величин (х — X); у; у; В г — В ж І по степеням І и у, а также вспомогательнне табличнне величини, необходимне для внчисления поправок в расстояния и направлення при пере­ ходе с зллипсоида на плоскость.

1. Д л я в н ч и с л е н и я п р я м о у г о л ь н н х к о о р д и н а т по

Ьь= ~2~ т,у C O S5 В (5— 1812~\-t*-f- 14p2— 58г]2/:2).

Козффициентн а и b — функции широти; значення а6 и Ь5 — функции широти В и долготн Z. С зтими обозначениями формули (44.1) окончательно перепишем так:

188

18&