Закатов Вища геодезія 1

Т а б л и ц a 9

Пр и м е ч а н и я :

1.Коаффициент D вьібирается из заранее составленннх таблиц или вьічисляется.

Внше приведен образец таблиц для широтн, соответствующей приведенному примеру (51°20' —51°25').

2.Козффициентьі at вьічисляются на арифмометре или иной счетной машине,

3.Число знаков, подлежащих удержанню, берется из приведенного примера.

110

§ 28. Теория Гаусса конформного изображения зллипсоида на шаре.

Применение ее к решению главной геодезической задачи

Проф. Ф. Н. Красовский в своем труде «Руководство по вьісшей геодезии» говорит: «...теория Гаусса конформного изображения зллипсоида на шаре в своє время составила зпоху в области точних наук». Указьівая, что значение зтой теории в геодезии в настоящее время в значительной степени утратило

Гауссовой теории». Есть основания считать зту мьісль правильной и в настоящее

рует один из основних методов решения основних задач сфероидической гео­ дезии.

Учитнвая общее значение Гауссовой теории, приводим изложение ее основ и предложенное Гауссом применение теории к решению главной геоде­

зллипсоида на шаре, при котором бесконечно малий контур на поверхности

на шаре подобной ей фигурой a!b'crd'er с центром Ог.

В теории картографических проекций доказнвается, что при произвольном законе изображения зллипсоида на шаре всегда существуют два взаимно перпендикулярних направлення на зллипсоиде, которне на шаре также остаются взаимно перпендикулярними. Зти два направлення назнваются г л а в -

конформном изображении масштаби в каждой точке по обойм главннм напра­ вленням должнн бить равнн. Если обозначить масштаб изображения по меридиану через т, а масштаб изображения по параллели — через п, то условие конформности получитея

Введем обозначения:

В и L — широта и долгота некоторой точки на поверхности зллипсоида; U и (о — широта и долгота изображения точки на поверхности шара.

Ж

В общем случае закон изображения зллипсоида на шаре вьіражается уравнениями:

личиной.

112

Обозначая 4^- = а , находим

где р — постоянное интеграции.

Если долготьі на аллипсоиде и шаре считать от одного меридиана, то для начального меридиана (о = L — 0, следовательно, и р равно нулю, позтому уравнение (28.5) примет вид

Формули (28.6) и (28.7) вьіражают закон конформного изображения зллипсоида на шаре.

Для использования полученньїх формул необходимо знать значення постоянннх а, к и R, входящих в формули (28.6) и (28.7).

Постоянньїе можно определить различно. Для использования конформного изображения зллипсоида на шаре с целью решения геодезической задачи постоянньїе целесообразно определять из условий наибольшей простоти переноса злементов зллипсоида на шар и минимальннх искажений в пределах той области, в которой располагаются исходннй и определяемнй пункти. В связи с зтим для определения постоянннх поставим условия, чтоби масштаб изображения на некоторой широте В 0, назнваемой нормальной широтой, равнялся единице и изменение масштаба при удалении к северу и югу от параллели с нормальной широтой происходило возможно медленнее.

Вьшолнение зтих условий позволит в пределах некоторой области считать масштаб изображения практически постоянним и равним единице. В зтом случае, очевидно, будет обеспечемч малость поправок за переход с зллипсоида на шар и достигнута простота их вичисления и учета.

Если обозначим через U 0 широту на шаре, соответствующую нормальної широте В 0 на зллипсоиде, то математически условие первое внразится так:

Вьіражения (28.8) и (28.9), дающие три уравнения, позволяют определить три постоянньїе. Находим производньїе (28.9), учитнвая (28.8), и совместно решаем три полученньїх уравнения; после соответствующих преобразований лолучим:

Из (28.12) следует, что радиус шара равен среднему радиусу кривизни зллипсоида в точке с широтой В 0.

В математической картографии, когда стоит задача изображения всего

.414

чески масштаб можно считать равньїм единице при указанном вьіше условии внбора постоянннх.

Зтот внвод исчерпнвающе показьівает внгоду использования поверхности шара для проектирования поверхности зллипсоида и малую величину иска~ жений, обусловленную незначительностью сжатия зем­ ного зллипсоида.

Таким образом, если триангуляционная сеть рас- положена на расстоянии 100—120 км к северу или югу от параллели с нормальной широтой (и, конечно, как угодно далеко по долготе), то можно считать, что зле- ментьі триангуляции на зллипсоиде переносятся на шар без искажений: угловне — по конформности проекции, а линейние — по малости искажений. Отим обстоя- тельством мьі воспользуемся при виводе формул для решения геодезической задачи.

Однако в азимути приходится вводить поправку, хотя проекция и конформна. Дело в том, что геодевическая линия на зллипсоиде изображается на шаре кривой, не совпадающей с дугой большого круга.

Пусть на рис. 50 кривая А гИ В х — изображение геодезической линии А В шаре; зта кривая будет двоякой кривизни. Азимут ее в точне А г по кон- ^ормности изображения в точности равен азимуту А г 2 геодезической линии II зллипсоиде. Пусть А 1МВ1 — дуга большого круга, соединяющая точки А г и В г. Чтобн в дальнейшем иметь возможность пользоваться формулами

сферической тригонометрии, необходимо в азимут кривой A 1N B 1 ввести по­ правку, равную разности азимутов кривой A jNB х и дуги большого круга А^МВ^ После зтого треугольники на шаре будут иметь сторони, являющиеся

дубами больших кругов. Однако вследствие близости земного зллипсоида к Sftapy зта поправка вводится лишь в значення направлений, конечнне точки которнх расположени на расстоянии более 50—70 км от параллели с нормальнбй широтой В 0. При расположении точек на меньших расстояниях зтой поправкой можно пренебречь.

Упрощенние вираження для {А — (5):

где m 1 и m2 — масштаби изображения в точках А и В.

Р е ш е н и е п р я м о й г е о д е з и ч е с к о й з а д а ч и с п р и - м е н е н и е м Г а у с с о в о й т е о р и и и з о б р а ж е н и я з л л и п с о - и д а н а ш а р е . В качестве иллюстрации применения теории Гаусса к за­ дачам внсшей геодезии вьіведем формульї для решения прямой геодезической задачи, которне полученьї в § 26. Общий ход решения задачи состоит в том, что исходньїе данньїе В г, Ь г, А х 2, s, отнесеннне к поверхности зллипсоида, переносятся на шар по закону конформного изображения зллипсоида на шаре. Задача решается на поверхности шара, в результате чего определяются широта, разность долгот и обратннй азимут на шаре. В соответствии с тем же законом изображения осуществляется обратннй переход с шара на зллипсоид, в ре­ зультате которого и определяются искомне величини: широта В 2, разность долгот І и обратннй азимут А 2< г.

Задачу можно решать двумя способами: 1) нутем перехода от числових значений исходной широти, азимута и длинн сторони на зллипсоиде к соответственньш числовим значенням зтих же величин на шаре, решения сфери­ ческого треугольника с числовими данннми и обратного перехода с шара на зллипсоид также с числовими данннми; 2) переход с зллипсоида на шар, решение сферического треугольника на шаре и обратннй переход с шара на зллипсоид осуществляют в процессе внвода формул в общем виде, а не с число­ вими данннми задачи. В зтом случае шар используется как промежуточная поверхность при виводе формул, внражающих искомне разности широт, долгот и азимутов. Злементн сферического треугольника, которне появляются в продессе внвода формул, исключаются, и окончательнне формульї вьіражают зависимость между данннми и искомнми величинами на зллипсоиде.

Первнй способ вследствие громоздкости на практике не применяется. Второй способ довольно часто находит применение, позтому ниже он изложен ,с необходимой подробностью. При виводе формул будем иметь в виду их при­ менение для внчисления координат по сторонам треугольников триангуляции, л\ е. для расстояний, не превншающих 50 км.

Внвод формул для второго способа, данннй Гауссом, основан на разложении в ряди искомнх величин. Приведем внвод зтих формул, предложенннй проф. Ф. Н. Красовским. Зтот внвод основан на геометрическом подходе; он прост и в то же время отчетливо показнвает достоинства использования конформного изображения зллипсоида на шаре для решения геодедической задачи.

416

При виводе будем следовать указанному вьіше общему порядку решения

зллипсоиде (рис. 51):

В г жВ 2 — широти точек А жВ;

s — расстояние между точками А жВ.

Пусть точки А г ж В г — изображения на шаре точек А ж В зллипсоида,

точками переселення последней параллели с меридианами А 1Р 1 жВ^Р^. Пусть точка С на зллипсоиде соответствует точке Сх на шаре, т. е. точка С х — изображение на шаре точки С. Проведем параллель через точку С, жпусть точки М и F — пересечение параллели с меридианами АР жВР. Так как параллели на зллипсоиде изображаются параллелями на шаре, то точки Е F 1? D± будут зображеннями точек Е, F , D.

Широта параллели EF — нормальная широта В 0 на зллипсоиде. Так как разности В х — В 0 ж В 2 — В 0 для сторон триангуляции не превншают

точек А и D по дуге меридиана; точка же ІУрасполагается так, что р а з н о с т и ІП и Р о т м е ж д у з т о й т о ч к о й и т о ч к а м и і и Д о д и н а - * ° в н . Вследствие разницьі в кривизне меридиана точка Н будет находиться на разннх линейннх расстояниях от точек А жD.

Найдем разность широт точек Н ж Е, т. е. Вт — В 0. Напишем

Вт — І31 і- Ве\ Ві +

где

b == В2— By.

117

Такое малое расхождение между Вт и В 0 позволит в дальнейшем не отличать радиусов М 0 и N 0, вичисленньїх для широти В 0, от радиусов М ти Nmt внчисленннх для широти Вт.

Поправка в азимут за переход от изображения геодезической линии на шаре к дуге большого круга при настоящем виборе нормальной широти и при s ^ 60 км будет пренебрегаемо мала.

Таким образом, при расстоянии s между пунктами А и В, не превншающем 40 км, и указанном виборе нормальной параллели два злемента треугольника

С

без заметннх искажений. При зтом за нормальную широту на зллипсоиде для сторони А В следует принять

Сферический треугольник А ХВ ХР Хрешают по особнм формулам, в которнх

в качестве третьего исходного злемента участвует U 0 = .. Зависимость

118

между U 0 и соответствующей широтой В 0 (или, как показано вьіше, широтой

Вт= 3 і ~^БЯ) определяется на оснований (28.10)

119