Закатов Вища геодезія 1

Применим к вьіражению (7.17) наиболее простую и достаточно точную фор­ мулу Симпсона (формулу парабол), разделив при атом интервал интегрирования на две части; тогда можно записать:

дуги меридиана — в начальной, конечной и средней, соответственно по широтам

2 = М! + 4Мт + М 2,

AВ' = (В2- В Х)\

Формула (7.19) при расстояниях s до 1000 км обеспечивает вичисление длиньї дуги меридиана с ошибкой порядна 1—2 см.

Для контроля вичислений дугу меридиана s следует получить как разность длин дуг Х 2 и Х г меридиана от зкватора до точек с широтами В 2 и В г, т. е.

8 = Х г- Х 1.

Значення величин Х 2 и вьібирают из «Таблиц для вьічисления плоских конформних координат Гаусса в пределах широт от 30° до 80°».

П р и м е р. Вичисление длиньї дуги меридиана по формуле (7.19) между точками, широти которнх В 2 — 49° 29' 5 8 ,9 3 8 и В х = 45° 30f 17,221",

к8 080 228 • 10-13

40

8. Вьічисление длиньї дуги параллєли

Параллель на аллипсоиде вращения является окружностью, поатому вьічи­ сление дуги параллели сводится к определению дуги окружности с центральним углом, равньїм разности долгот конечньїх точек дуги. Радиус параллели г определяется по формуле (4.9), которая имеет вид

на зтой параллели, если даньї разность долгот зтих точек и широта параллели *:

10° 45' 46,882"

В54°32'19,354"

* Пример взят из [10, стр. 18—=-19].

§ 9. Вьічисление площадей сьемочньїх трапеций

Вьічисление площади сьемочной трапеции или листа картьі сводится к опре-

малую трапецию ABCD. Сторони зтой трапеции, как злементн дуг меридианов и параллелей, будут равньї:

АВ = CD = М dB, AD = ВС = N cos B\dl.

Площадь злементарной трапеции ABCD, обозначенной через dT , вьіразится формулой

Площадь поверхности пояса зллипсоида, расположенного между параллелями с широтами В х и # 2, будет

зто табличний интеграл и берется в елементарних функциях. Однако получаемое при зтом внражение для площади мало пригодно для вичислений.

42

Следовательно,

Вг

z = 2rib2 ^ (cosB-}-2e2sin2BcosB-l-3e4sin4BcosB-)- . . .)dB,

Для приведення зтой формулн к виду, удобному для практического применения, воспользуемся формулами, дающими внражения синусов нечетньїх степеней в функции синусов нечетних дуг *.

При разложении внражения (9.4) в ряд члени с е 6, «8 и т . д. не били принятн во внимание. Более точная формула для площади пояса с учетом членов с е 6 и е 8 будет имеет вид

Z= 4лb2{A* sin B2-~-Bl cos Вт —В* sin у (В2 — Вх) cos 3Вт+ О sin у X

X (В2 — Вх) cos 5Z?m — D" sin у (B2— Вх) cos lBm-\-Ef sin у (B2— # 1)cos9i?m}, (9.8)

43

Формула (9.8) внражает площадь пояса зллипсоида, ограниченного параллелями с широтами В х я. В2. Чтобьі получить формули для вьгчисления площадей трапеций данного масштаба и номенклатури, берут разность широт северной и южной рамок трапеций В 2 — В х и разность долгот западной и восточной рамок AZ.

Например, для государственной карти масштаба 1 : 1 000 000 В 2 — В х =

Положив в формуле (9.7) B x — 0, В 2 = 90° и удвоив полученное внражение, получим формулу для внчисления площади S — всей поверхности зллипсоида

Площадь поверхности зллипсоида Красовского, внчисленная по формуле (9.11), будет равна 510 083 035 км2.

Радиус шара Л”л, площадь которого равна площади зллипсоида Красов­ ского, равен 6 371 116 м, а радиус шара, равновеликого по обтьему зллипсоиду Красовского, равен 6 371 110 м.

Следовательно, при приближенннх вичислениях, когда Землю возможно принимать за шар, его радиус следует брать равннм 6371 км.

§ 10. Расчет рамок сьемочньїх трапеций

Полученнне в предндущих параграфах формули позволяют легко вивести вираження для размеров рамок сьемочних трапеций.

1 Пусть рис. 16 изображает сьемочную трапецию масштаба —; широта

южной параллели В х, северной — В 2\; разность долгот западного и восточного граничних меридианов трапеции AL Очевидно, западние и восточние рамки траиеции равнн и представляют собой дуги меридианов между параллелями с широтами В х и В 2. Позтому

44

Г л а в а II

КРИВЬІЕ НА 9ЛЛИПС0ИДЕ ВРАІЦЕНИЯ

§ 11. Взаимньїе нормальньїе сечения

Возьмем на поверхности аллипсоида вращения две точки А й В (рис. 17) сширотамиВ г жВ2; пустьВ г Г>J51Проведемнормали кповерхности аллипсо­ ида в точках А жВ. Обе ати нормали лежат в плоскостях меридианннх аллипсов, проходящих через точку А жточку В соответственно и пересекаются с малой осью Р Р г в точках па и щ. Докажем, что нормали к поверхности аллипсоида, проведеннне из двух точек с разннми широтами, пересекаются с его малой осью в разньїх точках. Опустим из А перпендикуляр А А хна малую полуось ОР. Тогда, согласно (4.8), будем иметь

ОА1 = уа= а (1 —е2) sin В х V і — е2 sin2 Вг

Согласно (5.11), Апа — радиус кривизни N x первого вертикала в точке А

т. е. нормаль к поверхности аллипсоида, проведенная в точке А , имеющей меньшую широту, чем точка Б, пересекает малую ось ближе к центру аллипсо­ ида, чем нормаль, проведенная в точке В.

Таким образом, ати нормали представляют собой две перекрещивающиеся в пространстве, но не пересекающиеся прямне (если А и В не лежат на одном меридиане).

Проведем плоскость через точки 4 , nfl и В; очевидно, ата плоскость, в которой лежит нормаль Апа, будет нормальной плоскостью в А , проходящейчерез точку В. В пересечении с поверхностью аллипссида она даст кривую АаВ, которая назнвается п р я м и м н о р м а л ь н и м с е ч е н и е м в точке А на точку В. Если проведем плоскость через точки В, пь жА, то получим пло­ скость нормального сечения из точки В на точку А ; ата плоскость пересечется

46

с плоскостью нормального сечения из точки А на В по хорде АВ, но на поверхности зллипсоида даст другую кривую ВЬА, не совпадающую с кривой АаВ. Таким образом, нормальнеє сечение АаВ из точки А на точку В не совпадает на поверхности зллипсоида с нормальним сечением ВЬА из точки В на точку А.

зллипсоиде А жВ проходят два нормальних сечения: АаВ, которое назнвается прямим нормальним сечением для точки А и обратннм нормальним сечением для точки В, и ВЬА, которое будет прямим нормальним сечением для точки В

жобратннм для точки А.

Представим себе, что в точке А установлєн внверенннй теодолит таким образом, что его вер­ тикальная ось совпадает с нормалью А па; тогда

при наведений на точку В визирная плоскость совпадет с плоскостью, проходящей через точки А, па, В, или с плоскостью прямого нормального сече­ ния из 4 на В, и ее пересечение с поверхностью зллипсоида даст кривую АаВ. При наблюдении из точки В на точку А визирная плоскость теодолита пересечет поверхность зллипсоида по кривой ВЬА, не совпадающей, как било установлено вьіше, с кривой АаВ.

Пусть из точки А при помощи теодолита наблюдают, кроме точки В, еще точку С (рис. 18); в зтом случае визирная плоскость инструмента пересечет поверхность зллипсоида по некоторой кривой АаС, которая будет прямим нор­ мальним сечением из точки А на точку С. Измеренннй горизонтальний угол

вточке А между направленнями на В и С будет мерой двугранного угла ВАСпа между нормальними плоскостями в А, проходящими через точки ВжС. На поверхности зллипсоида зтому углу соответствует угол между прямими нор­ мальними сечениями из точки А на точки ВжС. Следовательно, измеряемне

втриангуляции угли треугольников на поверхности зллипсоида являются углами между прямими нормальними сечениями в данной точке.

Пусть на рис. 19 изображени пункти триангуляции А, В и С, между которнми проведенн прямьіе и обратние нормальние сечения. Измеренние гори-

зонтальнне угли на пунктах А , В и С будут равнн углам между касательншми в соответствующих вершинах к кривим:

47

Нетрудно видеть, что несовпадение прямих и обратннх нормальних селе­

т р е х п у н к т а х н е о б р а з у ю т н а п о в е р х н о с т и з л л и п - с о и д а з а м к н у т о г о т р е у г о л ь н и к а ; фигура полулается «разорванной». 9ту неопределенность в образовании треугольников можно устранить, если их вершини соединить геодезилескими линиями.

§ 12. Геодезическая линия

Между двумя точками на любой поверхности можно провести множество кривих.

В геодезии решение задач по определению взаимного положення точек земной поверхности основано на построении на ней определенннх фигур (обьічно треугольников) и внчислении числових значений злементов зтих фигур. Позтому следует решить, какими кривими соединять точки поверхности земного зллипсоида при внчислении злементов геодезических построении.

В сфероидической геодезии точки на поверхности зллипсоида соединяются г е о д е з и л е с к и м и л и н и я м и , к о т о р н е о п р е д е л я ю т с я к а к к р а т ч а й ш и е р а с с т о я н и я н а д а н н о й п о в е р х н о ­ с т и м е ж д у з а д а н н н м и т о ч к а м и . Следовательно, геодезическая линия на данной поверхности играет роль прямой линии на плоскости или дуги большого круга на сфере. Введением геодезической линии устраняется неопре­ деленность в построении геометрических фигур на поверхности земного зллипсо­ ида и достигается однозначность решения задали.

Из определения геодезической линии, как кратчайшей кривой между двумя точками на земной поверхности, следует и иное ее определение: г е о ­ д е з и ч е с к а я л и н и я н а п о в е р х н о с т и — т а к а я к р и в а я , в к а ж д о й т о ч к е к о т о р о й с о п р и к а с а ю щ а я с я п л о - с к о с т ь п р о х о д и т ч е р е з н о р м а л ь к п о в е р х н о с т и в т о й ж е т о ч к е .

Докажем зто свойство геодезической линии. Возьмем на поверхности зллипсоида три близкие точки М , N, К , через которне проведем плоскость. Как известно из дифференциальной геометрии, предельное положение пло­

ную NT; согласно теореме Менье, наибольший радиус в точке N будет иметь та кривая, в соприкасающейся плоскости которой лежит нормаль к поверх­ ности в точке N. Возьмем точку Nx, расположенную на бесконечно малом расстоянии от точки N, и проведем между ними всевозможньїе кривьіе; наикратчайшей кривой из них будет та, которая имеет наибольший радиус (наименьшую кривизну). Следовательно, согласно сказанному ранее, наикратчайшей линйей между двумя бесконечно близкими точками будет злемент той кривой, в сопри­ касающейся плоскости которой лежит нормаль к поверхности. Распространяя зтот вьівод на кривую конечной длиньї, получаем, что к р и в а я н а п о ­ в е р х н о с т и , в к а ж д о й т о ч к е к о т о р о й с о п р и к а с а ю щ а ­ я с я п л о с к о с т ь п р о х о д и т ч е р е з н о р м а л ь в т о й ж е

48