Закатов Вища геодезія 1

в каждой точне кривой. Согласно § 11, нормали А п х, ап%, Ьп3, сп± пересекают малую ось зллипсоида в разньїх точках, позтому плоскости Aabn2, abcn3, bcdn4 не совпадут между собой и точки A, a, b, с, d и т. д. дадут на поверхности зллип­ соида непрерьівную кривую двоякой кривизни.

В изложенном методе построения геодезической линии каждая последующая точка геодезической линии определяется по двум предшествующим при условии бесконечно малих расстояний между кажднми двумя смежннми точ­ ками.

Очевидно, для построения геодезической линии на поверхности между заданньїми точками А и В необходимо знать направление первого злемента кривой.

Рис. 22

Покажем другой путь построения геодезической линии между точками А

иБ. Пусть на рис. 21 АаВ — прямое нормальное сечение в точке А, а ВЬА — прямое нормальное сечение в точке В.

Соединим А и В хордой и из серединьї ее проведем нормаль к поверхности зллипсоида; пусть С — точка пересечения зтой нормали с поверхностью зллип­ соида. Проведем плоскость через нормаль в точке С и точку А ; в зтой плоскости будет лежать хорда АВ. Следовательно, зта плоскость пройдет и через точку В. Сечение зтой плоскостью поверхности зллипсоида показано кривой АсСсВ. Очевидно, зта плоскость будет плоскостью прямого нормального сечения из точки С на точку А и на точку В.

Проведем прямое нормальное сечение в А на точку С\ пусть зто сечение изобразится кривой АаС, которое расположится на поверхности зллипсоида

.южнее, чем обратное сечение СсА, поскольку точка С на чертеже располагается севернее точки А. Аналогично зтому прямое нормальное сечение в точке В на точку С изобразится кривой ВЬС, которая будет расположена севернее нор­ мального сечения СсВ, так как точка С находится южнее точки В.

Соединим хордами точки А и С, В и С и из серединьї зтих хорд проведем нормали к поверхности зллипсоида, которьіе пересекут последнюю в точках d

ие\ затем исполним те же действия, какие произвели ранее в отношении точки С : проведем нормальную плоскость в d через А так, что она пройдет и через точку С и изобразится кривой A d xddrC. Точно так же построим нормальную плоскость в е, проходящую через С\ она пройдет и через точку В и изобразится кривой СехегВ. Прямое нормальное сечение в А на точку d изобразится кри­

вой A a xd\ прямое нормальное сечение с С на d — кривой Ccxd\ прямое сечение с В на е изобразится кривой ВЬхе, прямое сечение с С н а е — кривой Сс2е.

Далее поступаєм так же: соединяем хордами точки A n d , d и С, С и е, е и В (рис. 22); из серединьї зтих хорд проводим нормали к поверхности зллип-

50

угод начального злемента геодезической линии в А с прямьш нормальним -сечением на В , т. е. с кривой АаВ. Будем иметь (см. рис. 21 и 24) угльї между іКривьіми:

мт. д.

Впределе, при бесконечном продолжении описанного вьіше построения, угол между кривой АаВ и нормальним сечением, проходящим через нормаль, проведенную из середини ближайшей к точне А хорди, обратится в б . Тогда діо аналогии с написанной вьіше таблицей будем иметь:

или

Сумма членов геометрической прогрессии, стоящей в круглих скобках,

>равна -і-. Следовательно,

б

Отсюда следует, что геодезическая линия на поверхности зллипсоида (при азимутах, не близких к 90 или 270°) делит угол между взаимньши нор­ мальними сечениями в отношении 1 : 2 и располагается в данной точне ближе к прямому нормальному сечению.

Иначе говоря, угол между геодезической линией, соединяющей точки А

і

и В , и прямим нормальним сечением в каждои из зтих точек равен — угла

между прямим и обратннм нормальними сечениями в данной точке.

В дальнейшем зтой зависимостью нам придется воспользоваться при поду­ шений формули поправки в направлення за переход от прямого нормального сечения к геодезической линии.

.52

Если между двумя точками поверхности аллипсоида натянуть упругую нить, то нить примет форму геодезической линии. Действительно, равнодействующая упругих сил нити в каждой точне должна лежать в соприкасающейся плоскости, а сопротивление поверхности направлено по нормалик поверхности. При равновесии нити зти две сильї уравновешиваются и соприкасающаяся плоскость будет содержать нормаль к поверхности.

§ 13. Упрощенньш вьівод основного уравнения геодезической линии

Рассмотрим елементарний полярний треугольник А Р В Г (рис. 25), образованньїй дугами меридианов АР, В ГР и злементарной дугой геодезической линии ds.

Пусть направление начального елемента геодезической линии ds из точки А задано азимутом А. Проведем из точки В' елементарную дугу параллели В ГС.

к елементам любой кривой на поверхности зллипсоида, поскольку они вьіражают линейньїе елементи поверхности; последнее уравнение относится только к геодезической линии (см. [2, стр. 71—72] или [55, стр. 33—37]).

Система уравнений (13.4) имеет весьма важное значение в вьісшей геодезии, так как она представляет собой исходнне дифференциальние уравнения для решения прямой и обратной геодезической задачи на поверхности аллипсоида.

53

Докажем важную теорему для геодезической линии: п р о и з в е д е н и е

r cos A dA + dr sin A = 0.

В правой части ми получили полньїй дифференциал, интеграл которого равен

Следовательно, теорема доказана. Согласно (4.21),

r —a cos и,

позтому уравнение (13.8) может бить переписано

или

cos ихsin А х= cos и2sin А2 = . . . = с.

54

Из уравнения (13.9) следует, что для геодезической линии на поверхности вллипсоида вращения п р о и з в е д е н и е к о с и н у с а п р и в е д е н - н о й ш и р о т ьі т о ч к и г е о д е з и ч е с к о й л и н и и н а с и н у с а з и м у т а г е о д е з и ч е с к о й л и н и и в т о й ж е т о ч к е є с т ь в е л и ч и н а п о с т о я н н а я .

Уравнения (13.8) и (13.9) представляют собой два вида основного уравнения геодезической линии на поверхности зллипсоида вращения.

Зти уравнения в дальнейшем будут использованьї при виводе формул для вьічисления геодезических координат при больших расстояниях между пунктами.

§ 14. Аналитический вьівод основного уравнения геодезической линии на поверхности вращения

Учитьівая большое значение, которое имеет геодезическая линия в висшей геодезии, в зтом параграфе получим общий вид дифференциального уравнения геодезической линии на любой поверхности исходя из ее определения и, далее, как частньїй случай, получим уравнение линии для поверхности зллипсоида

вращения.

Пусть имеем поверхность, уравнение которой

F{x, у, z) = 0.

Параметрическое уравнение геодезической линии в общем виде будет

вкаждой точке которой ее соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль

кповерхности в той же точке; зто определение равносильно требованию совпадения главной нормали кривой в каждой ее точке с нормалью к поверхности

в той же точке (главной нормалью кривой назьівается прямая, полученная в результате пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей, относязцихся к одной точке кривой). Зто совпадение произойдет, если

55

или

Следовательно, уравнение геодезической линии для произвольной поверхности имеет вид

Для нас представляет интерес уравнение геодезической линии и ее свойства на поверхности земного зллипсоида, являющегося поверхностью вращения.

х с11х*йх,у*йу)

9то уравнение будет частини случаем уравнения (14.2). Напишем уравнение' поверхности вращения в виде

z2 + y2 + /(z) = 0.

Соответствующие частнне производньїе, входящие в (14.2), будут равнн:

где C — постоянная интегрирования.

Определим геометрический смьісл вьіражения Cds. Пусть координати точки А (рис. 27), расположенной на поверхности зллипсоида, равньї х , у, z,

56

причем ось z расположена по оси вращения зллипсоида ОР, а оси х и у нахо-

Площадь сектора АЬС (см. рис. 27) будет равна — rds sin а.

При бесконечно мальїх dx и dy площади треугольника AdC и сектора АЬС равньї между собой, позтому

т. e. получили уравнения (13.8) и (13.9).

§ 15. Расхождение взаимньїх нормальних сечений

Возьмем на поверхности зллипсоида две точки А и В, имеющие разньїе широтьі и долготьі (рис. 29). Обозначим:

nd, пь — точки пересечения нормалей к поверхности зллипсоида в точках А

иВ с малой осью;

а— угол между прямими паА и паВ;

АаВ — прямое нормальнеє сечение в А на точку В; ВЬА — прямое нормальное сечение в В на точку А;

АВ — хорда — линия пересечения плоскостей прямого и обратного сече­ ний АВпа и АВпь;

є — угол п аВпь.

Для определения отрезка папь воспользуемся формулами (11.2) и (11.3),

57

Следовательно, с ошибкой порядка ае* (В2 — В г) можем написать:

папь = Ощ — Опа = ае2 (sin В2—sin Вх),

или

где

Отметим, что треугольник АпаВ можно считать равнобедренньїм, так как

Апа «=*Впа, следовательно, угод АЬпа приближенно равен 90° — у . Обозна-

чим через / угод между плоскостями АВпа и А В пь двух взаимно обратньїх нормальних сечений. Приняв за центр точку 2?, построим сферический треуголь­ ник А п ап'ь,’ соответствующий трехграннику с ребрами ВА, Впь, Впа (рис. 29 и ЗО). В зтомтреугольнике стороне п’апь будет соответствовать угод є, стороне

Ап'а — угод АВпа, равньїй 90° — у .

Угол при вершине треугольника А бу­ дет искомнм утлом /, а угол п р и ]^

58

Таким образом, / — угол между плоскостями взаимньїх нормальних селе­ ний — величина малая второго порядна. Для максимальних длин сторон треугольников триангуляции 1 класса, равннх 40—50 км, значение f равно 2—З*.

Следовательно, угловне и линейнне расхождения между взаимннми нормальними сечениями будут величинами малими. Позтому при последующем виводе фор-

Рис. 33

мул можно дуги АаВ и АЬВ рассматривать как сферические с центром в па или пь.

На рис. 31 АаВ — дуга прямого нормального сечения в точне Л, рассматриваемая как дуга окружности с центром в па\ АЬВ — обратное нормальнеє

59