Закатов Вища геодезія 1

Формули (44.5) с отими обозначениями и с учетом формули (44.6) пере­ пишем так:

Вг— В = А 2у2-\-Аіуі + А*к6

1 ~ У ї{Ьх+ В ьУ2) і & + В'кь

Обозначая:

Зто точнне формули, применяемне для вичислений в триангуляции 1 класса. Для триангуляции 2 класса употребляют формули в виде

бЬ 2 = — fm {х2 ~ хі) ( Ут— U2~QV1)

(44.10)

5-2. і = + fm {х2 ~ хі) ( у т+ --2=^ -1 )

адля триангуляции 3 и 4 классов

51.2 = — fm {хг— х х)Ут 1

с м а*т р и в а е м н х т а б л и ц а х рекомендуется применение формули

(Igd— lg*)108 = /« ^ /

Д;/2

12 6R‘

ГДЄ /ш

ц • 10»

27?І

190

В таблицах Ларина приведенн величини

ления, связанние с применением координат Гаусса — Крюгера, виполняются просто и требуют сравнительно небольшого количества вьічислительньїх действий; в атом легко убедиться, рассмотрев формули (44.2), (44.4), (44.7) и др.

ошибки, не превншающие 0,0005 м в прямоугольннх координатах; 0,0005 " —

всближении меридианов и 0,00005" —

вгеодезических координатах.

мне для построения рамок трапеций топографических планов и нанесення километровнх линий на них. В зтом основное назначение таблиц. Кроме того,, они позволяют вичислить прямоугольние координати по геодезическим. Вьічисление прямоугольннх координат при помощи зтих таблиц весьма простое. Пусть требуется вичислить прямоугольние координати пункта М(рис.87), геодезические координати которого В и L данн. Находим трапецию масштаба 1 : 25 000, на которой расположен пункт М. Для вершин данной трапеции геодезические координати известни; прямоугольние координати вершин тра­ пеции приведенн в таблицах. Искомне прямоугольние координати х , у точки М находят интерполированием. На рис. 87 пунктиром показанн линии меридиана и параллєли, проходящие через точку М. Сплошнне прямьіе, проходящие через точку М , являются линиями, параллельннми осям абсцисс и ординат.

191

Искомьіе координатьі х , у точки М определятся путем интерполирования следующим образом:

= Уі.і + І*+И „ —by

где членьї І и II — поправки, получающиеся из линейного интерполирования; величиньї 8а; и by — поправки за нелинейное изменение абсцисо и ординат в зависимости от изменения В ті І.

Координати вершин трапеции рекомендуется вьшисьівать в схеми, показаннне на рис. 88 и 89.

Плоские прямоугольнне координати по таблицам Вировца внчисляют с точностью порядка 0,2 м. Зтими таблицами, обеспечивающими наибольшую простоту вичислений, и следует пользоваться во всех случаях, где точность 0,2 м достаточна.

§ 45. Преобразование координат Гаусса — Крюгера из одной зони в другую

На практике нередко возникает задача перевнчисления (преобразования) координат из одной зони в другую. 9та задача заключается в том, что коорди­ нати какого-либо пункта или многих пунктов, отнесеннне к осевому меридиану с долготой Ь'0 одной зони, требуется перевнчислить с отнесением к осе­ вому меридиану другой зони, имеющему долготу Z/o- Такая задача может возникать в следующих случаях:

192

1) если триангуляционная сеть располошена на стнке двух смежннх зон (исходнне даннне в восточной и западной частях триангуляции отнесеньї к разньїм осевьім меридианам зтих зон), то для уравнивания такой триангуля­ ции в системе одной зоньї необходимо преобразовать координати исходннх пунктов из одной зони в другую;

2) в связи с переходом на систему трехградусньїх зон в районах, где намечено исполнение топографических сьемок в крупних масштабах (1 : 10 000, 1 : 5000), при наличии координат опорной сети, внчисленннх в шестиградусной зоне, возникает задача перевнчисления координат из шестиградусннх зон в трехградуснне или в зону с частннм значением долготн осевого меридиана;

3) при обработке ходов ст>емочного обоснования азрофотосьемки на гра­ нице зон необходимо координати опорних пунктов государственной триангуля­ ции иметь в одной системе; если зти пункти расположенн в разннх зонах и координати их отнесенн к разннм осевнм меридианам, то возникает необходимость перевнчисления координат из одной зони в другую;

4) если внполнени сьемочнне работн для составления специальннх крупномасштабннх планов и район работ оказался на стнке двух зон, или даше в одной зоне, но на ее краю, то возникает необходимость перевнчисления коор­ динат имеющихся опорних пунктов при некотором другом осевом меридиане, проходящем через территорию данной ст>емки. Зто оказнвается необходимьш

всвязи с недопустимой величиной искажений на краю зони при использовании

вспециальннх целях ст>емочннх материалов.

При окончательном внчислении координат пунктов государственной триан­ гуляции и составлении каталогов принято за правило проводить «перекрнтие» зон, т. е. для точек, лежащих вблизи раздельного меридиана, давать коорди­ нати в двух смежннх зонах. Зта мера в значительной степени приводит к сокращению случаев необходимости преобразования координат пунктов из одной зони в другую, но не исключает их.

Способов перевнчисления координат пунктов из зони в зону существует несколько. Рассмотрим некоторне из них.

1.Если возникает необходимость преобразования координат из одной зони

вдругую для одного-двух пунктов, то можно применить следующий способ.

Пусть дани координати xj, у і пункта Р в зоне І; требуется перевнчислить зти координати в зону II. Поступаєм следующим образом:

а) от известннх координат xj, уі пункта Р переходим к геодезическим координатам его В и L:

б) по найденньїм таким образом геодезическим координатам пункта Р , принимая осевой меридиан зони II, внчисляем искомне прямоугольнне коор­ динати Хц И Уп.

Задача решается принципиально просто и точно, но для перевнчисления координат значительного числа пунктов зтот способ не может бить рекомендован вследствие большого обгема внчислительной работн.

2. Второй способ преобразования координат, которнй целесообразно применять для значительного числа пунктов, основан на переходе от редуцированннх направлений и сторон в системе зони І к направленням и сторонам на сфероиде, а от них — к редуцированннм направленням и сторонам в системе зони II и внчислению искомнх координат пунктов в зтой зоне по обьтчньїм формулам. Могут бить некоторне варианти в применении отого способа в зависимости от конкретних условий задачи. Рассмотрим более детально один из типових случаев.

На рис. 90 изображена триангуляция в виде ряда между твердими сторо­ нами АВ и CD. Координати исходннх пунктов А жВ дани в системе зони Іт а пунктов С и D — в системе зони II. Уравнивание ряда должно бить виполнено в одной зоне. После уравнивания координати пунктов 1—7 должни бить окончательно дани в системе зони І, а координати пунктов 4—9 — в системе зони II, что обеспечит взаимное перекрнтие смежннх зон. Так как большая часть ряда расположена в зоне І, то уравнивание следует вести в системе атой зони. Задача решается в следующем порядке:

а) от координат пунктов D и С, данних в системе зони II, переходят к коор­ динатам в системе зони І описанннм вьіше способом;

б) внчисляют приближеннне координати всех пунктов ряда, начиная от пунктов А и В в системе зони І; при помощи атих координат определяют редукции направлений и вводят их в измереннне направлення. В результате атих вичислений все алементн ряда получаются отнесенними к системе зони І;

в) нроизводят уравнивание ряда;

г) из уравненннх направлений с пунктов 4—9 внчитают вичисленньїе редукции направлений и получают таким образом уравненнне направлення на аллипсоиде;

д) по координатам пунктов С и D, отнесенньш к зоне II, определяют приближеннне координати пунктов 4—9 и внчисляют редукции направлений с атих пунктов; после введення атих редукций в уравненнне сферические напра­ влення получают уравненнне направлення на плоскости с указанннх пунктов в системе зони II;

е) внчисляют окончательно координати пунктов 1—7 при помощи исход­ ннх координат пунктов А и В и уравненннх направлений на плоскости, полученньїх после вьшолнения п. «в», и координати пунктов 4—9 при помощи координат пунктов С жD, отнесенннх к системе зони II, и уравненннх напра­ влений на плоскости, полученннх в результате вьшолнения п. «д».

Таким образом, поставленная задача решена. При атом в связи с расположением ряда в двух зонах дополнительной работой явилось приближенное внчисление координат пунктов и редукций направлений для меньшей поло­ вини ряда (не считая преобразовачия координат пунктов D и С по первому способу).

Применение настоящего способа обеспечивает получение преобразованннх координат с полной точностью, соответствующей данному классу триангуляции.

3.Большинство других способов основано на применении различного

рода таблиц. Из них отметим таблицн, составленнне А. М. Вировцем и Б. Н. Рабиновичем *. При применении атих таблиц на внчисление отдельного

194

пункта требуетсяІО—15мин. Преобразованнне координати получаются с ошибкой до 2 см. Укажем также таблицн, составленньїе В. Л. Каганом *, Е. Е. Бирюковьім **.

Рассматриваемая задача может бьіть решена при помощи ранее упоминавшихся таблиц А. М. Вировца («Таблицьі координат Гаусса — Крюгера для широт от 32 до 80° через 5Л, для долгот от 0 до 31/ 2° через 7і/ 2Ги таблицн размеров рамок и площадей трапеций топографических сьемок»). Как указнвалось, основнеє их назначение — построение в проекции Гаусса — Крюгера рамок трапеций топографических свемок. Зти таблицн содержат также некоторне вспомогательньїе данньїе, позволягощие преобразовнвать координати из зони в зону с ошибкой порядка 0,2 м.

Формули для преобразования координат при помощи указанннх таблиц получаются следующим образом.

Пусть требуется перевнчислить координати пункта А из зони І в зону II. Обозначим через х х, у х данньїе координати пункта А в зоне І, а через х 2, у %— искомне координати в зоне II. Находим трапецию масштаба 1 : 25 000, в пределах которой расположен пункт А. На рис. 91 и 92 показано изображение рамок зтой трапеции в І и II зонах и изображение пункта А.

Пусть Охх и Огх — изображения прямих, проходящих через юго-западную вершину трапеции и соответственно параллєльних осям абсцисс в І и II зонах. От атих прямих отсчитнваются дирекционнне угльї линий. Обозначим коор­ динати вершин трапеции 0 2 в зоне II, известнне из таблиц, через (ж0)2 и (у0) 2. Однако разности координат точек О и А известнн только в системе зони І; обозначим их Ахх и Аух. Очевидно, несовпадение разностей координат точек

и с разностями координат точек Ох ті А х внзивается различием дирекционннх углов и разннми значеннями масштабов линий ОхА х и ОгА^. Отсюда следует, что разности координат Ахх и Аух зони І могут бить преобразованн в зону II путем учета изменения дирекционного угла линии ОхА х, которое можно считать внзванннм поворотом координатних осей на угол Да. Затем полученньїе вираження должнн бить исправленн за изменение масштаба Am при переходе из зони І в зону II. Следовательно, можно написать:

Ах2 —(Да?! cos Да—Духsin Да) Дпг

из шестиградусной зонн в смежную шестиградусную зону. М., ВТУ Генштаби ВС СССР,

1948.

** Е. Е. Б и р ю к о в . Таблицн для перевнчисления прямоугольннх координат Гаусса — Крюгера из одной шестиградусной зонн в другую шестиградусную зону. М., ВТУ Генштаби ВС СССР, 1947.

Обозначив через А геодезический азимут линии на зллипсоиде соответ ствующей прямой 0 1А 1 (или 0 2А^) на плоскости, напишем:

Построение формульї (45.4) позволяет для Дб составить табличку, которая и приведена в таблицах Вировца. Величину Дб вьібирают по аргументам Д.х

и Дут. Значення у тоже вьібирают из таблиц. Следовательно, окончательно

Далее находим изменение масштаба Дт, т. е.

где т х и т 2 — масштаби изображения для точек Ох и 0 2 в зонах І и II, a s — расстояние на зллипсоиде, соответствующее расстоянию на плоскости ОхА х (или <92И 2). Из формули (45.6) получим

196

*Долгота вершини трапеции относительно осевого меридиана зони № 8.

**То же, относительно осевого меридиана зони № 9.

зони І в зону II Д Л Я линии ОА.

Чтоби при внчислении иметь дело с мєньшим количеством знаков, фор­

197

Величини (т — 1)2 и (т — 1)г внбирают из вспомогательной таблицн. Формули (45.1), (45.2), (45.5) и (45.8) решают задачу.

В табл. 16 приведен пример перевода координат из зони в зону при помощи указанннх таблиц.

Пункт Р задан в зоне № 8 координатами:

хх= 5 241 750,0;

ух = 8752 000,0

или

Уі = + 2 5 2 000,0.

Требуется перевнчислить ати координати в систему зони № 9. Таблицн А. М. Вировца и Б. Н. Рабиновича служат для преобразования

прямоугольннх координат из трехградусной в смежную трехградусную, из трехградусной — в шестиградусную и обратно и из шестиградусной зони — в смежную шестиградусную. Переводи, связаннне с шестиградусннми зонами, возможнн для пунктов, удаление которнх от осевого меридиана не превншает 3° ЗО' долготн. При переводе из шестиградусной в шестиградусную зону при-

198

Формули для перевода координат из зони в зону, используемьіе при применении ‘таблиц А. М. ВироЕца и Б. Н. Рабиновича, следующие:

кУ = Уі— Уо,

(45.9)

где у о — ордината вспомогательной точки P Qв системе первой зони, лежащей на изображении осевого меридиана второй зони и имеющей абсциссу, равную абсциссе х данной точки; x Q— дуга меридиана от акватора до параллели вспо­ могательной точки Р 0.

Значення величин х 0 и у 0, козффициентьі а, Ь, а х, Ьх, поправки с и сг приводятся в таблицах в метрах и вьібираются по значенню х х.

Погрешность перевода из зоньї в зону по данньїм таблиц не превьішает 0,02 м.

Пример на переход из шестиградусной зони в шестиградусную по таблицам А. М. Вировца и Б. Н. Рабиновича приводится в табл. 17. Данн: коор­ динати пункта 1 — х х, у х в 4-ой шестиградусной зоне (L0 = 21°). Вичислить координати атого пункта х 2, у 2 в пятой (восточной) зоне (Ь0 = 27°).

Контрольним внчислением может служить обратннй переход из пятой зони в четвертую.

§ 46. Нанесение километровьіх линий на планшети топографической сьемки.

Вставка географической сетки в прямоугольную

Внастоящее время в практике топографических и картографических работ

вGCCP принято топографические плани масштаби до 1 : 2000 включительно ограничивать линиями меридианов и параллелей.

километровой сетки в данном масштабе. Затем относительно километровой сетки наносят при помощи таблиц Вировца вершини углов трапеции и опорнне пункти по их координатам. Положение километровнх линий определяетея уже при построении рамок.

масштаби 1 : 1000 и крупнеє и в настоящее время ограничивают линиями абсцисс и ординат; может возникнуть обратная задача — вставка географической сетки в прямоугольную. Пусть сьемочннй планшет изображаетея квадра­ том (рис. 93) с вершинами А (хх, у х); В (хх, у 2)\ С (х 2, у х); D(x2, у 2). Требуется

199