Закатов Вища геодезія 1

линииА — В . Такая задача назьівается о б р а т н о й г е о д е з и ч е с к о й з а - д а ч е й. Так, например, после уравнивания отдельньїх звеньев триангуляции 1 класса для полигонального уравнивания необходимо вичислять длиньї, прямой и обратний азимут геодезической линии, соединяющей конечнне точки звена. В зтом случае решается обратная геодезическая задача.

Прямую и обратную геодезические задачи назьівают г л а в н н м и г е о - д е з и ч е с к и м и з а д а ч а м и .

Приведенное вьппе описание главннх геодезических задач дано применительно к случаю внчисления геодезических координат пунктов государственной геодезической сети.

Зтот случай характерен тем, что вьічисление геодезических координат приходится вести на расстояния, не превшпающие, как правило, ЗО—40 км, а требуемая точность внчисления координат достаточно висока. Иногда возникает необходимость внчисления прямой и обратной геодезических задач при расстояниях между пунктами в несколько сот, а в ряде случаев и в несколько тисяч километров. Необходимость решения таких задач возникает в различннх целях. Например, при передаче координат на другие континенти при изучении их движения. Разнообразие в расстояниях, по которнм возникает необходи­ мость решения главннх геодезических задач, различнне требования к точности не позволяют рекомендовать какой-либо єдиний метод и единне формули. Позтому, в зависимости от указанннх условий, целесообразно применять различнне методи и формули решения задач.

Условно расстояния можно подразделить на четнре группн:

1.Малне расстояния — до ЗО—45 км.

2.Средние расстояния — до 600 км.

3.Больпіие расстояния — до 5000 км.

4.Очень большие расстояния — до 19 000 км.

вьічисляют прямоугольнне плоские координати. Когда речь идет о расчетах в пределах небольших расстояний и площадей, то, конечно, наиболее целесо­ образно использовать геодезические даннне в прямоугольной системе коорди­ нат. Но когда геодезические внчисления должнн бить вьшолненьї между точ­ ками земной поверхности, расположенннми на значительннх расстояниях, то здесь в полной мере проявляются преимущества и достоинства системи геодезических координат, как единой для всей Земли и отнесенной непосредственно к ее поверхности.

Вот почему обязательно для инженера-геодезиста знать пути и методи решения прямой и обратной задач в системе геодезических координат при разннх расстояниях, если он хочет бить подготовленннм для ответа на определенннй круг вопросов теории вьісшей геодезии и ее практического применения.

§ 23. Общие соображения о решении прямой и обратной геодезических задач

Существует два основних пути решения прямой и обратной геодезических задач, назнваемнх прямим, или непосредственньш путем решения геодезиче­ ской задачи и косвенним путем решения задачи.

П р я м о й , или непосредственньш путь решения главной геодезической задачи заключается в решении сфероидического треугольника АР В (рис. 43).

32

рота В 2, (360° — А 2л), т. е. обратньїй азимут А 2 х, и І — разность долгот пунктов А шВ, по которой легко находится долгота L %= Ь г + І. При решении обратной геодезической задачи известнн следующие три злемента: В х, В 2 и L

характерно непосредственное определение злементов треугольника АВР, являющихся искомнми величинами.

К о с в е н н м й п у т ь решения главной геодезической задачи заключается в виводе разностей широт, долгот и азимутов данного и определяемога пунктов.

Следовательно, для косвенного пути решения задачи характерен вьівод

Формули для решения обратной геодезической задачи обнчно получаются из формул для решения прямой задачи путем соответствующих математических преобразований, позтому в посдедующих параграфах внимание будет сосредоточено на рассмотрении различннх методов решения прямой геодезической задачи. Для решения же обратной задачи будут данн с соответствующим обоснованием только наиболее употребительнне формули.

Возвращаясь к прямому пути решения главной геоде­ зической задачи, необходимо указать, что решение тре­

пути поступают следующим образом: от сфероидического треугольника А Р Е переходят к треугольнику некоторой вспомогательной сфери и устанавливают одновременно аналитическую или геометрическую связь между злементами обоих треугольников. Зтот методический прием решения задачи прямим путем, конечно, может спитаться достаточно целесообразннм и обоснованннм для соответствующих случаев, если учесть, что земной зллипсоид имеет сравни-

тельно малое сжатие а вследствие чего при удачном виборе способа

перехода на сферу различие в злементах обоих треугольников при не очень больших расстояниях будет незначительно и легко учитнваемо.

После перехода от зллипсоидального треугольника к сферическому определяют все злементьі последнего, затем, пользуясь теми же законами связи сфероидического и сферического треугольников, осуществляют обратньїй переход на сфероид, т. е. определяют злементи сфероидического треугольника, являющиеся искомшми, в прямой геодезической задаче: широта второго пункта, разность долгот обоих пунктов и обратннй азимут.

Во всех способах прямого пути решения главной геодезической задачи сферическая поверхность используется как промежуточная инстанция; она может бьіть использована и при виводе формул, и в процессе практических вичислений. Решение треугольника на сфере производят по замкнутим форму­ лам; переход же от злементов сфероидического треугольника к сферическому и обратно — по разомкнутьім формулам.

Остановимся в общих чертах на принципиальной стороне рассматриваемой вадачи.

В § 13 полученн дифференциальнне уравнения

После интегрирования уравнений (23.1) вдоль отрезка s между точками 1 ж2 получим

Формули (23.2) дают в общем виде решение прямой геодезической задачи. Однако в общем виде уравнения (23.2) проинтегрировать нельзя, так как подннтегральная функция зависит от аргументов А и В, виразить которне в функции переменной интегрирования 5 в замкнутом виде не представляется возможннм; сложность задачи увеличивается также и вследствие того, что функции V и с зависят и от зксцентриситета е.

Позтому неизбежннм становится использование рядов или применение описанного внше приема с переносом злементов сфероидического треугольника на сферу, решением задачи на ней и обратннм переходом на поверхность зллипооида. Заметим попутно, что при переходе на сферу сторони сфероидических треугольников должньї изображаться дугами больших кругов; в зтом случае решение задачи на сфере производится по елементарним формулам сферической тригонометрии.

Возвращаясь к использованию рядов для решения геодезической задачи, отметим следующее. При интегрировании уравнений (23.2) возможно разложение в ряди по возрастающим степеням s или е2. При сравнительно малих рас-

84

стояннях по сравнению с радиусом Земли (25—50 км, но не свшпе 400 км) внгоднее использовать рядьі по степеням s ; в атом случае будет иметь место хорошая сходимость членов рядов. При больших расстояниях, вследствие слабой сходимости рядов, разложение по возрастающим степеням s практи-

чески непригодно. При > 1 ряди расходятся. В зтом случае при интегриро-

вании уравнений (23.2) используется разложение по степеням е2.

При решении геодезической задачи на сравнительно мальїе расстояния целесообразно применять косвенньїй путь решения задачи и использовать ряди по возрастающим степеням s.

Вторне производнне получатся путем дифференцирования виражений (23.6). При зтом не будем принимать во внимание сфероидичность Земли, т. е. примем радиусн кривизни N и М постоянннми, что допустимо при s ^ ЗО км. Будем иметь

85

Из виражений (23.5) легко усматривается, что чем меньше st тем лучшую сходимость имеют ряди, и, следовательно, можно ограничиться меньшим чис­ лом членов при сохранении одного и того же значення остатка, т. е. с сохранением одинаковой точности вичислений.

дующие члени, принимать во внимание непостоянство М и N и зависимость их значений от широти; естественно, учет отмеченних обстоятельств приводит при использовании рядов (23.5) к сравнительно громоздким и сложним для практических вичислений формулам.

Существуют способи и приемн использования рядов по возрастающим степеням s, которне упрощают формули, а следовательно, и внчисления, обеспечивая достаточную точность решения геодезической задачи для предельннх сторон треугольников 1 класса и даже более.

Рассмотрим далее три способа.

1. Формули, основаннне на использовании средней широти и среднего азимута сторони, по которой решается геодезическая задача. Внчисление производннх при среднем значений аргументов позволяет улучшить сходимость членов ряда вследствие исключения членов ряда с четннми степенями.

2. Формули для решения задачи по так назнваемому способу вспомогательной точки. Сущность способа заключается в том, что искомая разность

отдельнне члени разложения становятся малими, а погрешности их пренебрегаемими.

3. Метод решения задачи, основанннй на использовании вспомогательной сфери.

В зтом способе треугольник А Р В (см. рис. 43) изображается на сфере по определенному закону и по известньш данним геодезической задачи.

После решения полученного сферического треугольника осуществляется обратннй переход со сфери на сфероид, но, в отличие от прямого пути решения задачи, треугольник на сфере решается по особьім формулам, позволяющим находить разности злементов зтого треугольника (а не сами злементи, как при прямом пути решения задачи). Переход со сфери на сфероид осуществляется также путем переноса разностей его злементов, являющихся искомими разностями широт, долгот и азимутов. В зтом состоит принципиальное отличие зтого метода косвенного пути решения задачи от прямого. Легко понять, что чем меньше разности координат между внчисляемнми пунктами, тем меньше редукции для перевода зтих разностей с зллипсоида на сферу и обратно и тем ббльшие могут бить допущенн упрощения соответствующих формул. На оснований зтих общих соображений приходим к виводу, что указанннй метод решения главной геодезической задачи целесообразно применять при сравнительно незначительннх расстояниях между пунктами.

Конечно, законов изображения сфероидического треугольника на сфере может бить предложено множество.

В рассмотренном далее способе использована теория Гауссова конформ­ ного изображения зллипсоида на шаре.

Несколько отличается метод решения главной геодезической задачи, основанньїй на замене сфероидических треугольников соответствующими плоскими, образованньши из хорд зллипсоида, в результате чего получаются замкнутие

86

формули, определяющие искомьіе разности координат и пригоднне для решения задачи при любьіх расстояниях между пунктами.

На зтот метод обратил внимание М. С. Молоденский. Заметим, что фор­ мули Молоденского позволяют вести внчисления координат точек физической поверхности Земли. Формули для внчисления координат точек поверхности зллипсоида получаются из формул Молоденского как частннй случай при

# = 0.

§ 24. О точности вьічисления геодезических координат широт, долгот, азимутов

1. Общие соображения

При внчислении геодезических координат должно внполняться условие необходимой и достаточной точности вичислений. Для зтого следует:

и установленннм требованиям; б) производить внчисления с удержанием необходимого и достаточного числа

десятичннх знаков (натуральних или логарифмических); при недостаточном числе знаков не внполняются требования к точности вичислений, а при избьіточном числе излишне затрачиваются сили и средства; ■. в) применять для вичислений координат методи и формули, наиболее соответствующие условиям поставленной задачи.

Особо приходится считаться с тем, что для вичислений геодезических координат применяготся формули в виде рядов, позтому необходимо при использовании тех или иннх формул правильно ограничивать число членов зтих рядов.

2. О точности вичисления окончательних значений координат

Методическая основа расчета необходимой точности внчисления окончательннх значений геодезических координат остается такой же, как в других геодезических внчислениях. Она состоит в вьшолнении условия, чтобьі суммарнне ошибки различннх зтапов вичислений искомнх величин били в 5— 10 раз меньше влияния ошибок исходних данньїх. Зто требование понятно — точность координат пунктов должна определяться только ошибками используемнх исходних данннх для вичислений, но отнюдь не должна зависеть от недостаточной строгости внчислительннх действий. Зто условие должно соблюдаться и при решении обратной геодезической задачи.

Рассмотрим некоторне типичнне случай. Установим требуемую точность вичислений геодезических координат пунктов государственной опорной гео­ дезической сети. Точность внчисления окончательних значений геодезических координат должна соответствовать в указанном више смисле точности полевнх измерений. Ставя условие, чтоби ошибки вичислений били в 5—10 раз меньше влияния ошибок полевнх измерений, ми можем считать, что ошибки в коорди­ натах будут зависеть только от ошибок полевнх измерений.

Поскольку внчисление координат пунктов геодезической сети распадается на последовательное раздельное решение задач между каждими двумя смежНнми пунктами сети, то достаточно рассмотреть вопрос о точности вичислений на примере решения отдельно взятой задачи. В качестве типичного случая рассмотрим равносторонний треугольник триангуляции.

87

татьі при составлении каталогов округляют до сотой доли секунди. Иначе говори, при округлений значений уравненньїх направлений допускается ошибка до 0,005 ". С зтой точностью уравненньїе значення углов треугольников должнн соответствовать разности азимутов направлений, образующих данньїй угод. Так как разность прямого и обратного азимутов внчисляется почти всегда как ■сумма трех слагаемнх, то при внчислении азимутов в триангуляции 1 класса необходимо сохранять тнсячньїе доли секунди.

Смещение одного конца линии длиной в 25 км на 0,0003" дуги нормального ■сечения или в линейной мере 1 см соответствует изменению ее азимута на вели­ чину порядка 0,07". Позтому при внчислении азимутов направлений по коор­ динатам конечних точек линии (обратная геодезическая задача), при указанной точности вичислений, полного совпадения внчислєнного азимута с его значением, коюрое использовалось при внчислении прямой геодезической задачи по данной стороне, может и не бить. Здесь возможнн расхождения до 0,02— 0,03" (если координати взяти с указанной точностью).

Таким образом, полного соответствия между точностью внчисления коор­ динат пунктов (широт и долгот) и азимутов направлений нет; ато понятно, так как установленная внше точность внчисления азимутов определена исходя из иного условия.

Накопление ошибок вичислений координат вдоль триангуляционного ряда будет значительно слабеє, чем накопление ошибок в передаче координат, внвванннх ошибками измерений углов. В атом нетрудно убедиться, сравнивая •закони накопления указанннх ошибок. Как известно, продольннй или попе­ речний сдвиг ряда, обусловленннй ошибками углов триангуляции, возрастает пропорционально п*/*, где п — число передач в ряде. Накопление ошибок вичислений как случайннх величин происходит пропорционально п1^. Таким образом, внсокие требования к точности внчисления координат, установленнне внше, должнн обеспечить практическое исключение ошибок вичислений во взаимном положений смежннх пунктов, как основи для развития сетей триан­ гуляции низших классов.

Р а с с м о т р и м п р и м е р . Триангуляционннй ряд протяженностью

±0,03". Накопление же ошибок вичислений координат будет ±0,0003" ]/і6 = = 0,0012, т. е. в 25 раз меньше.

Пусть требуется решить обратную геодезическую задачу между конечними пунктами указанного ряда. Длина геодезической линии в таком ряде опре­ делится с ошибкой 1 : 400 000, что составляет 10 единиц 7-го знака логарифма, а азимут зтой линии — с ошибкой около 0,5". Отсюда можно сделать внвод, что достаточно вичислить логарифм длиньї геодезической линии с удержанием «Диницн 7-го знака, а азимута — до 0,01". Необходимо при установлений точ­ ности вичислений учитнвать значення погрешностей в исходннх данньїх. Возьмем такой случай.

Требуется вичислить длину геодезической линии между двумя пунктами и азимут с одного пункта на другой; координати пунктов определенн по картам. Но оба пункта расположеньї в районах, где в качестве геодезической основи Иартографирования использовани геодезические сети, построеннне в разньїх

89