Закатов Вища геодезія 1

координат.

І

Примем некоторую точку А

(рис. 7), геодезические координати которой

Р,

Рис. С

Рис. 7

и

у — х (1 —е2) tg В.

(4.6)

Перепишем (4.1), заменив у, согласно уравнению (4.6), получим

CF2

Х2(1__е2)2 tg2 В

_ .

а2

'

«2 (1_ Є2)

— L-

Решая зто уравнение относительно х, находим:

откуда

окончательно

* =

™osB, .

(4.7)

У 1—e2sin2B

Для нахождения у подставляем в уравнение (4.6) найденное значение х

согласно (4.7). Получим окончательно

у =

а ( 1 - е 2) sin В

.

,, оч

>— .

(4.8)

у 1 —Є2 sin2 В

Из рис. 8 следует, что абсцисса точки М

х — ОМх — МС

в то же время является радиусом

г параллели, проходящей

через точку М

и имеющей широту В. Следовательно,

2.

С в я з ь м е ж д у г е о д е з и ч е с к о й щ и р о т о й В и г е о -

ц е н т р и ч е с к о й ш и р о т о й

Ф. Из рис. 9 легко находим вьіражение

для геоцентрической широтьі в функции прямоугольньїх координат X жу

(4.10)

На оснований формули (4.5) имеем

следовательно,

tg Ф = tg В (1 — е2).

(4.11)

Найдем вьіражение для

р а з н о с т и геодезической и

геоцентрической

широт В — Ф. Из формули (4.11) имеем:

tg В —t g 0 — e2tgB,

sin (В — Ф) = е2sin В cos Ф

(4.12)

( £ _ ф ) ^ -L p V sin

2Б,

(4.13)

допустив

снова при атом погрешность по­

Р,

рядка е4.

Нетрудно

видеть, что максималь­

Рис. 9

неє значение (В — Ф)" будет

при В = 45°.

В атом случае (В — Ф)' =

11,8'.

Более точная формула для (В — Ф) имеет вид [27, стр. 24].

(В —Ф)" = р" [ - ^

sin 2В -

2 (21 е2)2 sin 4В +

sin 6 В - . . . ] .

(4.14)

3.

С в я з ь м е ж д у г е о ц е н т р и ч е с к о й ш и р о т о й и к о ­

о р д и н а т а м и х и у, о т н е с е н н н м и к ц е н т р у и о с я м а л -

л и п с а .

В н р а ж е н и е

р а д и у с а - в е к т о р а . Обозначая

радиус-

вектор ОМ через р, на оснований рис. 9 напишем:

р —- У х 2-} у2;

х —рсовФ;

у = рзіпФ.

(4.15)

Подставляя ати внражения в уравнение меридианного аллипса (4.1),

получаем

р2 cos2 Ф

. р2 sin2 Ф __ л

а2

а2 (1 —е2)

А*

Решаем ато уравнение

относительно р:

~0г"(1-

Є2)

[С082Ф(1 —e2) +

sin2 Ф] = 1,

аг (Се!) ( 1 - « 8С08«Ф)=1,

р2 — х2-\-у2

a- cos2 В

а2 (1 —е2)2 sin2 В

і — е- sin2 В

1 — е2 sin2 В

Решая зто уравнение относительно р и удерживая членьї с е4, после преоб-

разований получаем в окончательном виде

р — а ^1 —

sin2 В-\-

sin2 В — -|-е4 sin4 В — .. .^ .

(4.18)

4. С в я з ь м е ж д у п р и в е д е н н о й ш и р о т о й и и г е о д е *

з и ч е с к о й ш и р о т о й

В. На рис.

10 изображеньї меридианньїй зллипс

У

P E XP XE

и полуокружность EQEX,

необхо-

димая для

построения угла, являющегося

приведенной

широтой

и.

Предварительно установим связь между

ординатами точек зллииса и окружности, име-

ющими одну

и ту же

абсциссу. Например,

для точки М установим связь между отрез-

ками М 2М и М 2-М 1.

О М хМ 2 следует, что

Из

треугольника

(ОМ.2)2 +

(М2М 1)2 = аг,

(4.19)

Поскольку точка М принадлежит мери-

дианному аллипсу, ее координати должнн

удовлетворять уравнению аллипса (4.1), т. е.

Рис. 10

(0М2)2

(М2Л/)2_ ,

а2

Т

Ь2

или

(0А/2)2+

(М2М)2

- а2.

(4.20)

ММ 2 = у = МхМь Y .

(4.21)

х — a cos и

(4.22)

и на оснований (4.21)

у = М 1М

НО

МгМ2= a sin и,

позтому

у = a sin и ~ — b sin и.

(4.23)

Заметим,

что вираження (4.22) и (4.23) являются уравнениями зллипса

в параметрической форме.

Из (4.22) и (4.23) легко получаем виражение для приведенной широти и

через прямоугольнне

координати х и у.

— = —tg U = V 1 — е2 tg и,

(4.24)

tg и

(4.25)

Но на оснований

V 1-

(4.5)

f = ( i - e 2)t gB,

(4.26)

следовательно, из (4.24) и (4.26) имеем

tg В (1 — е2) —tg и У 1 — е2,

откуда окончательно получаем искомую зависимость

tg M = ]/l —e2tg В.

(4*27)

Получим

еще дополнительнне зависимости, которне будут

необходимьі

в дальнейшем.

Из (4.23),

принимая во внимание (2.7) и (4.8), получаем

tg2 В

tg2 и

( 1 - е2) ’

1

В

= 1

■

tg2 и

COS2

1

(1 — е2) ’

(В— и)" =

р"е2sin 2В.

(4.30)

Более точная формула для {В — и) имеет вид

(В — u)" = p "^ns m2B —

sin YB-)—

sin 6 5 — ^-sin8J5-f .. .J, (4.31)

где

_

а — b

tg В — tg и

П а + Ь

tg В -j- tg u

5. С в я з ь м е ж д у

с и с т е м о й п р я м о у г о л ь н ь ї х

п р о -

с т р а н с т в е н н ь ї х к о о р д и н а т X, Y, Z и д р у г и м и с и с т е -

^

м а м и .

На рис.

11

Р В гР гВ — мери-

дианньїй зллипс, в плоскости которого

находится

точка

G начала

счета долгот

и,

следовательно,

в

зтой

плоскости

располагается

координатная

ось ОХ\

Р Е гР ХЕ — меридианньїй зллипс, на кото-

ром расположена

данная точка М и ко-

R,

ординатньїе

оси

Ох и

Оу.

Угол между

плоскостями зтих

меридианньїх

зллипсов

равен геодезической долготе L.

На рис. 11

имеем:

X = х cos L

Y = ж sin L

(4.32)

Z = V

Рис. 11

ж = і/‘Х 2+ У 2

Далее, на оснований (4.32), (4.22) и (4.23) получим:

X — a cos и cos L

1

Y = a cos и sin L

1

(4.33)

Z = Ьsin и — a

1— е1sin и ]

На оснований

(4.32), (4.7)

и (4.8)

напишем

Х

=

а cos В

т ї

- ---- ■

cos L

У 1— Є2 sill- В

a cos В

.

т

(4.34)

У 1 — е2 sin2 В

Z — а (1 —еі) sin в

У і —є2 sin2 В

Если заменить

в (4.34)

а2 —Ь2

а2

a2 cos В cos L

У a2 cos2 В -f- b2 sin2 В

Y =

a2 cos В sin L

(4.35)

V a2cos2 В 4- Ь2 sin2 В >*

Z =

Ь2 sin В

V а 2cos2 В -f- b2 sin2 В

обозначая

]/ а2cos2 В +

b2sin2 В — р .

(4.36)

Формульї (4.35) перепишутся:

a2 cos В cos L

X

Y ■

a2 cos В sin L

(4.37)

р

Z

Ь2 sin В

§ 5. Главньїе радиусьі кривизни в данной точке зллипсоида

Через нормаль к поверхности зллипсоида можно провести бесчисленное

множество плоскостей. Зти плоскости, перпендикулярньїе к касательной пло-

скости к поверхности зллипсоида в данной точке, назьіваются

н о р м а л ь ­

н и м и .

Кривне,

образуемьіе

от

пересече-

ния нормальних плоскостей, проведенньїх в

данной точке, с поверхностью зллипсоида,

назнваются

н о р м а л ь н и м и

с е ч е -

н и я м и.

В

каждой точке существует два

взаимно перпендикулярних

нормальних се-

чения,

кривизна

которнх имеет максималь­

неє и минимальное значення;

зти нормаль-

нне

сечения

назнваются

г л а в н н м и

н о р м а л ь н и м и с е ч е н и я ми.

В

некоторой

точке М поверхности зл­

липсоида вращения главннми нормальними

сечениями, как известно из дифференциаль-

ной геометрии, являютея:

Pi

1) меридиональное сечение, проходящее

Рис. 12

через данную точку М и оба полюса зл­

представляется

липсоида Р и Р х (на рис. 12 меридиональное сечение в точке М

М =

н ю т

(5.1)

d2y

и полупаєм

1

dB

d2y

(5.2)

dx2

sin2 в

dx

dB

Для вьічисления — воспользуемся формулой (4.7)

a cos В

a cos В (1 —е2sin2 В)-1В.

V 1 — е2 sin2 В

Дифференцируя последнюю

формулу, находим:

dx = а { — sin Б (1 — е2 sin2 В)-1В е 2 sin В cos2 В (1 —е2sin2 В)~*В} dB,

-Ц- =

a sin В (1 —<?2 sin2 В)~3в { — (1 — е2 sin2 JS)+ <?2 cos2 5},

= — a sin Б (1 — е2 sin2 В)~*В (1 _ е2).

Следовательно,

с?2у

(1 — е2 sin 2 i?)3/z

dx2

a s i n 3 jE?(l — e2)

Подставляя

полученньїе вираження для

CLdC

и —— в (5.1), находим

CLduм

М:

(1 -j-ctg2 В)312 a sin3 В (1 — б2)

( 1 - е 2 sin2 В)3В

Окончательно

а (і —<?2)

М:

(5.3)

с а ( ! —е2)

д _

( 1 - е 2)aB

' У 1 _ С2'

Принимая во внимание (2.7) и (2.5), находим

V 1 - е2

Ь

(5.4)

Обозначив

напишем

IV = у гі —е2sin2 В,

(5.5)

а (1 —е2)

М =

(5.6)

Введем еще функцию

W* *

у = і / і + е*2соS 2B .

(5.7)

Так

как,

согласно (2.5) и

(2.6),

е.2

Є2

то

1— Є2 •

l+ e '2 COS2 Д

1 - е 2 sin2 5 = 1

sin25:

1 + е' 2

1 + е "

и

а (і+ е ,2)І/г

М*=

(5.8)

у з

или, согласно

(5.4),

(5.9)

W и

V — соответственно

назьіваются первой

и второй основними функ-

ческой геодезии.

полуоси

Заменяя в (5.3) первьій ексцентриситет его вьіражением через

и используя обозначение (4.36), формула (5.3) для М перепишется

М = аЧ2

(5.9')

Р

на к о с и н у с

у г л а м е ж д у п л о с к о с т я м и з т и х д в у х

с е ч е н и й.