Закатов Вища геодезія 1
.pdfК» вичисле ний
3
3
6
57
58
59
60
61
1
ТІ
28
53
54
2
55
56
26
25
12
11
10
8
5
7
9
29
31
32
13 21
15 22
1824
1923
14
16
20
46
43
37
35
33
34
36
44
47
ЗО
3
39
40
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 8 |
||||
|
|
|
|
|
|
1. Исходннй пункт |
|
|
|
|
|||
Блементьі |
|
Дубровка |
|
|
Дубровка |
|
Маяк |
|
|||||
формул |
|
|
|
|
2 . Определяемий пункт |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Маяк |
|
|
|
Беркут |
|
|
|
|||
|
4i |
|
|
|
|
+ |
44912'13.670" |
224930'53,557" |
|||||
Угод треугольника |
|
44° 12'ІЗ,67" |
67 26 58,999 |
— 50 2019,979 |
|||||||||
А Ло |
+ |
|
111 39 12,669 |
174 10 33,578 |
|||||||||
|
t |
18 42,428 |
|
+ 21 23,091 |
+ |
2 48,051 |
|||||||
|
є |
4- |
|
2,541 |
— |
1 |
,320 |
— |
0 |
,559 |
|||
А л 2 ±180° |
+ |
224 12 13,67 |
+ |
291 39 12,669 |
354 10 33,578 |
||||||||
t |
— 8 |
18 39,887 |
2124,411 |
+ |
2 48,610 |
||||||||
Ач.\ |
|
224 30 53,557 |
|
292 00 37,080 |
354 13 22,188 |
||||||||
Вл |
+ |
47 46 52,647 |
— |
47 46 52,6470 |
48 04 |
9,6384 |
|||||||
|
b |
17 19,7427 |
7 45,7275 |
— |
25 |
6,3049 |
|||||||
в 0=--Bx+ b |
|
48 04 12,3897 |
|
47 39 |
6,9195 |
47 39 |
3,3335 |
||||||
|
d |
|
48 04 |
2,7513 |
— |
47 39 |
3,6487 |
47 39 |
0 0626 |
||||
|
В О |
|
9,6384 |
|
3,2708 |
3,2709 |
|||||||
|
Jw |
+ |
35 49 |
36,330 |
+ |
35 49 36,3300 |
36 1445,0504 |
||||||
|
l |
25 08,7204 |
28 56,1074 |
+ |
3 47 3870 |
||||||||
|
Lo |
|
36 14 45,0504 |
|
36 18 32,4374 |
36 18 32,4374 |
|||||||
lg Ь |
|
3.0169 2586 |
|
|
2.6681 3184 п |
3.1779 1288 п |
|||||||
— (4)ім + (5)j.y2-f- |
|
—751 |
|
|
958 |
|
|
1598 |
|
||||
+ (6)iu2 |
|
|
+ |
|
+ |
|
|||||||
lg Р |
|
3.0169 3337 |
|
2.6681 2226 п |
3.1778 9690 |
п |
|||||||
lg (l)l |
|
8.5102 4471 |
|
8.5102 4471 |
8.5102 2282 |
|
|||||||
IgU |
|
4.5066 8866 |
|
4.1578 7755 п |
4.6676 7408 п |
||||||||
lg cos А хл |
|
9.8554 3702 |
|
9.5670 1799 п |
9.9977 5249 п |
||||||||
|
1gs |
|
4.6512 5164 |
|
4.5908 5956 |
4.6699 2159 |
|
||||||
lg sin -4l .2 |
|
9.8433 6524 |
|
9.9682 1772 |
9.0063 5105 |
|
|||||||
|
lgy |
|
4.4946 1688 |
|
4.5590 7728 |
3.6762 7264 |
|
||||||
lg (2)0 |
|
8.5089 1798 |
|
8.5089 2857 |
8.5089 2860 |
|
|||||||
lg У |
|
3.0035 3486 |
|
3.0680 0585 |
2.1852 0124 |
|
|||||||
- r |
(5)iu2 |
|
-183 |
|
—37 |
|
—385 |
|
|||||
— (4)ju |
8.53 386 |
— 1097,9 |
8.53 386 |
+ 491,7 |
S.53 341 |
+ 1588 8 |
|||||||
lg (4)i |
|||||||||||||
Igu |
+ (5)i^2 |
4.50 669 |
+ |
346,9 |
4.15 788 |
+466,8 |
4.66 767 |
+ |
8.0 |
||||
lg (4)XU |
+ (6)lU2 |
3.04 055 |
+ |
0 |
2.69 174 |
0 |
3.20 108 |
+ |
1 |
||||
lg (5)^2 |
(5)iU2 |
2.54 021 |
366,7 |
2.66 913 |
73,6 |
0.90 349 |
769,Т |
||||||
2 1 gu |
|
8.98 923 |
|
|
9.11815 |
|
7.35 254 |
|
|
||||
lg (5)i |
|
3.55 098 |
|
|
3.55 098 |
|
3.55 095 |
|
|
||||
2 lgu |
|
9.01 338 |
|
|
8.31 575 |
|
9.33 535 |
|
|
||||
lg Г5)і»2 |
|
2.56 436 |
|
|
1.86 673 |
|
2.88 630 |
|
|
||||
|
lg * |
|
3.0501 5840 |
|
3.1082 5752 |
2.2254 4208 |
|
||||||
— vA,2 — VT2 |
|
— 601 |
|
—794 |
|
|
—13 |
|
|||||
|
Igx |
|
3.0501 6441 |
|
3.1082 6546 |
2.22544221 |
|
||||||
lg tg Bo |
|
0.0466 3138 |
|
0.0402 5998 |
0.0402 4482 |
|
|||||||
lg c |
|
3.0035 3303 |
|
3.0680 0548 |
2.1851 9739 |
|
|||||||
lg sec B0 |
|
9.8249 1998 |
|
9.8284 2330 |
9.8284 3158 |
|
|||||||
— |
ІЦ |
|
3.1786 1305 |
|
3.2395 8218 |
2.3567 6581 |
|
||||||
2VT2 |
|
— 428 |
|
— 560 |
|
|
—9 |
|
|||||
|
lg l |
|
3.1786 0877 |
|
3.2395 7658 |
2.3567 6572 |
|
||||||
lg (3)o |
|
4,385 |
850 |
|
|
4.385 |
871 |
4.385 |
871 |
|
|||
|
lgc |
|
3.003 |
533 |
|
|
3.068 |
005 |
2.185 |
197 |
|
||
|
Igt |
|
3.050 |
164 |
|
|
3.108 |
265 |
2.225 |
442 |
|
||
|
lg s |
|
0.439 |
547 |
|
|
U.562 |
141 |
8.796 |
510 |
|
100
ч
о
В
tr 3
««
В)
и
45
8
д
50
51
52
41
42
П р о д о л ж е н и е т а б л . 8
|
|
|
|
|
1 . Исхоцннй пункт |
|
|
|
||
Злементи |
|
Дубровка |
j |
Дубровка |
| |
Маяк |
|
|||
|
|
|
2 . Определяемьій пункт |
|
|
|
||||
формул |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Маяк |
|
|
|
Беркут |
|
|
|
|
— V T 2 — |
vX2 |
— 4 |
|
— 5 |
|
0 |
|
|
||
1g d |
|
0.439 |
550 |
|
0.562 |
133 |
п |
8.796 |
510 |
|
lg ь |
|
3.01 |
693 |
|
2.66 |
813 |
3.17 |
791 |
п |
|
lgc |
|
3.00 |
353 |
|
3.06 |
801 |
|
2.18 |
520 |
|
lg (1 :2p") |
4.38 |
454 |
|
4.38 |
454 |
|
4.98 |
454 |
п |
|
l g s |
|
0.40 |
500 |
|
0.12 |
068 |
п |
9.74 |
765 |
VX2 |
387 |
|
513,1 |
8.3 |
VT2 |
214 |
|
280,0 |
4.4 |
Ф о^^+бр"; |
т = * ^ ф 0; |
Я = £БеСф0 |
|
|
1’ =-л ( i - T - j р" |
|
|||
J СХ |
/ . |
X2 |
X2 \ |
|
(25.42)
Аф = Ь—d
АВ" — У і Аф ^ |
4" с'2 sin 2 ^ |
Аф — |
cos 2ВХАф2^ р" |
|
Ьс |
|
|
|
2F2 |
|
|
В2— Вх-f- АВ*, |
Ь2= L x |
І" |
|
|
А2 = А 1-{-180 |
|
|
Зти формули имеют много общего с формулами, полученньїми ранее; однако их внвод иной — основан на перспективном изображении сфероидического треугольника АРВ на сферу радиуса N х. Они удобньї для программирования, відчислення на ЗВМ. Вспомогательньїе таблицн для приближенньїх вичислений по атим формулам имеются в «Руководстве по вьічислению азимута и длиньї геодезической линии на поверхности аллипсоида Красовского» [49].
§ 26. Решение геодезической задачи по формулам со средними аргументами.
Вьівод формул путем разложения в ряд разностей широт, долгот и азимутов
В § 23 данн общие основания применения рядов для внвода разностей широт, долгот и азимутов; отмечена целесообразность использования рядов со средними аргументами:
о |
о |
л |
А 1т2 ± 180° + А 2. і |
" лі |
и Am |
-------- — . |
101
Поясним ото подробнее. Пусть на рис. 47 кривая АВ представляет геодезическую линию между начальной точкой А и конечной В.
Возьмем точку С, расположенную на середине кривой АВ. Если длина геодезической линии А В равна s, то точка С будет находиться от точек А жВ
на одинаковом расстоянии, равном Обозначим координати точки С через
В0, Ь0 и азимут геодезической линии в отой точке через А 0. Применим нервую строку рядов (23.4), т. е.
|
|
|
|
S2 |
|
/ |
|
d*B N |
|
*» |
, |
|
|
(26.1) |
|||
|
|
|
|
2 |
~ |
\ |
|
ds'i |
) г |
|
6 |
^ |
|
• |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
для вираження разностей широт В х |
|
и В г — Б 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'о |
|
4 |
|
|
6 |
W s3 |
jo |
8 |
(26.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
** |
, |
|
1 |
/ |
І»В s |
|
, |
(26.3) |
|||
|
|
|
|
о |
|
4 |
^ |
|
6 |
\ |
dss Jo |
8 |
' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Внчитая (26.2) из (26.3), |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
( |
d W ) |
s*4- |
’ |
|
|
|
(26.4) |
|||||
|
|
|
|
t |
\ |
ds'* |
|
J o |
|
' |
|
|
|
|
|
||
Поступая аналогично для (L2 — |
|
|
ж (A 2. i — A i. 2 ± |
180°), находим |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(26.5) |
|
|
|
|
*cs + |
^ |
( 4 |
? |
|
- ) 0 s8. |
|
(26.6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где нулевой индекс при производньїх показнвает, что |
|||||||||||||||||
они ДОЛЖНЬІ вичисляться по В 0 жА 0. |
показьі- |
||||||||||||||||
вает |
Сравнение |
виражений |
(26.4) |
и (26.1) |
|||||||||||||
вигоду |
использования |
рядов |
|
со средними ар |
|||||||||||||
гументами: члени |
с четннми производними в рядах |
||||||||||||||||
(26.4) исчезли, в результате чего |
|
они будут иметь |
|||||||||||||||
лучшую сходимость, а в оставшихся членах с нечет- |
|||||||||||||||||
ньіми производними |
козффициентн при них умень- |
||||||||||||||||
шились в несколько |
раз. Но |
|
координати |
точки С |
|||||||||||||
(Во, L о и |
і 0), |
|
расположенной на середине дуги АВ, |
||||||||||||||
т. е. на равньїх расстояниях от точек А и В, не будут |
|||||||||||||||||
равньї среднему значенню координат зтих точек (Вт, |
|||||||||||||||||
Вт, Am). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем зависимость между зтими координатами. |
||||||||||||||||
Складнвая (26.2) и (26.3), после |
|
деления на два |
|||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bm- B „ |
= -i- |
f d2B) |
|
s* |
|
|
|
|
|
|
|
(26.7) |
|||||
\ ds2 J 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и аналогично |
|
|
|
d*L \ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(26.8) |
|||
Lm |
L Q |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
g |
^ |
ds2 Jo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Am—A o ± 180° = |
. 1 |
(d*A |
|
\ |
2 |
|
|
|
|
|
(26.9) |
||||||
8 |
V ds2 Jo* * |
|
|
|
|
|
102
1
Как видно, разности (Вт — Б 0); (Lm — L 0) и (АІП— А 0 ± 180°) — малне величини второго порядна.
Формули (26.4) и (26.7) в общем виде решают задачу. Конечная цель — получить формули для разностей координат и азимутов в функции Вт и А т. Очевидно, зто будет достигнуто в результате вичислений и подстановки производннх в формули (26.4) с принятием во внимание (26.7).
Дальнейший ход вьівода: а) нахождение исходннх дифференциальннх уравнений и внчисление производннх; б) получение рабочих формул путем подстановки найденннх производннх в уравнения (26.4) с учетом (26.7).
Исходнне дифференциальнне уравнения (13.4):
|
|
dB |
|
cos A |
73 |
|
|
|
(26.10) |
||
|
|
ds |
|
|
M |
----cos A , |
|
||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|||
|
dL |
dl |
|
sin A sec В |
V |
|
|
(26.11) |
|||
|
ds |
ds |
|
|
|
N |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dA |
dt |
|
sin A l g B |
|
V |
|
|
(26.12) |
||
|
ds |
ds |
|
|
|
N |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Переходим к внчислению производннх следующего порядки |
|||||||||||
|
d * B |
372 d V |
|
cos А |
V* . л dA |
|
(26.13) |
||||
|
ds2 |
с |
|
ds |
|
— sm^4 —r— |
|
||||
|
|
|
|
|
с |
ds |
|
|
|||
Вспомним, что |
V2 —1 + |
е'2cos2 В = |
1 + |
т)2. |
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
||||||||
|
27 dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2е' cos В sin J5, |
|
|
|||||
|
|
dB |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
е'г cos2 В tg В |
|
|
|||
|
|
dB |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
Обозначая |
t — tg В, |
последнее |
внражение |
примет |
|
вид |
|||||
|
|
|
|
dV |
_ |
т)2 t. |
|
|
(26.14) |
||
Далее |
|
|
|
dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
dV |
|
dB |
|
T)2 |
, 7^ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ds |
|
dB |
|
ds |
---- +r-t----cos A , |
’ |
|||
|
|
|
|
|
7 |
c |
|
||||
|
|
dV |
|
|
2 |
V2 |
|
4* |
|
(26.15) |
|
|
|
ds |
= |
- |
2 -----COS/4^. |
|
|||||
|
|
“П |
c |
|
|
|
|
||||
Подставляя найденнне вираження первьіх производннх в (26.13), полу- |
|||||||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dW |
372 ( — ті2 |
с |
cos а Л COS А — — sin А — sin At |
||||||||
ds2 |
\ |
|
|
|
) |
|
|
с |
|
с |
|
или |
dW |
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
3r)2cos2^}. |
|
(26.16) |
|||
|
d s 2 |
|
с2 ^{sin2^ + |
|
|||||||
Переходим |
к вичислению производной |
|
|
|
|
d 4 ds2
d4
ds%
sec В sin A dV , |
V |
,. |
„r> |
.• A. |
dB |
. V |
n |
A dA |
|
c d s |
— t sec В sin A |
ds |
— sec В cos A —r— |
||||||
(— Л2 |
c |
|
|
|
c |
|
ds |
||
sec В sin A |
|
7 2 |
|
\ |
V |
|
|
73 |
|
|
|
cos A t) + — t sec В sin A —— cos A + |
|||||||
|
V |
|
|
V |
sin A • t |
|
|
|
|
----- sec В cos A — |
|
|
|
||||||
1 |
c |
|
|
c |
|
|
|
|
|
103
или
|
d2l |
2V4 |
sec В sin A cos 4 |
(26.17) |
||||
|
ds2 |
c2 |
||||||
и, наконец, |
находим производную |
|
|
|
|
|
||
|
|
d2A |
d4 |
|
|
|
||
Так как |
|
ds2 |
ds2 |
|
|
|||
|
dA — dl sin B, |
|
|
|||||
то |
|
|
|
|||||
|
dA |
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin В |
|
||||
|
|
ds |
|
ds |
|
|
|
|
|
d2A |
dH |
|
r, і |
dl |
r, |
dB |
|
|
ds2 |
-Г-Г- |
Sin В 4- |
- |
7- |
COS В —r—, |
||
или |
as2 |
|
|
ds |
|
ds |
||
|
|
|
|
|
Jf |
|
vs |
|
d2A |
—7— sec 5 sin |
cos 4 |
|
|
|
|
||
sin В 4------sin A sec В ----- cos A cos В |
||||||||
ds2 |
c2 |
|
|
|
' |
c |
|
c |
и окончательно |
|
|
|
|
|
|
d s2 |
= Д г sin A cos A (1 + |
212+ Л3). |
|
|
c1 |
7 |
|
Приведем без вьівода |
третьи производньїе: |
|
||
|
|
—---- {cos A sin2 А (1 — 3t2+ |
Ц2— 9т\Ч2) + |
|
|
|
+ cos3 А (Зт]2 — Зт}Ч2+ Зт)4 — 15т]4г2)}, |
||
|
dH |
2F3 sec В (cos2 A sin А (1 + Зг2 + т]2)— t2 sin А }, |
||
|
ds3 |
|
|
|
d3A |
УЧ |
(cos2 A sin А (5 + б£2+ т]2 — 4г|4)— sin3 А (1 + 2£2-f~ rj2)}. |
||
ds3 |
сЗ |
(26.18)
(26.19)
(26.20)
(26.21)
Переходим к получению виражений для (В 2 — В г), (Ь2 — Ь г) и (А 2л —
— А і 2 ± 180°) согласно (26.4).
Так как ми ставим цель получить искомне разности координат в функдии Вт и А т, а в вираженнях (26.4) производньїе отнесени к аргументам В 0 и 4 0, то в нервую очередь необходимо установить зависимость между указанньши
производньїми, т. е. между |
|
, ( |
" |
) , |
(jd L ) |
||||
\ |
ds / о |
\ |
ds |
J т |
( d2B |
\ |
ґ d2B |
\ |
|
|
И ( - S ir )» И Т- Д- |
|||
Предварительно отметим, |
что |
разности (В о - в т)} и (А 0 — А т) мали. |
||
Рассматриваемне производньїе — некоторне |
функции от В и А и других ве |
личин, которне здесь можно рассматривать как постояннне. Таким образом, вадача заключается в получении вираження функции при некоторнх малих приращениях аргумента; конечно, для зтого следует применить ряд Тейлора.
Попутно сделаем замечание: широта Вт не соответствует А т в том смисле, что если взять на дуге А В точку с широтой Вт, то азимут геодезической линии в ней не будет равен А т. Позтому при внчислении приращений в ряде Тейлора
104
следует В я А |
рассматривать |
как |
независимьіе |
переменньїе и брать частньїе |
||
производньїе по В и А. |
|
|
|
|
||
После зтих пояснений имеем |
|
|
|
|||
/ СІВ \ |
_ |
/ dB \ |
( — |
) |
(— |
) |
V ds |
у, |
V ds |
) , (А0- А т) (26.22) |
|||
V ds J 0 ~~ |
V ds ) тп' |
дЬ |
(Во |
дА |
|
(с ошибкой на мальїе величини четвертого порядка) или, принимая во внимание
(26.7) |
и (26.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( |
dB \ |
_ |
( |
dB \ |
___/ |
d2B N |
д ( |
йВ |
\ |
д ( |
dB |
\ |
|
\ ds |
) т |
__ £ _ ( d2A \ |
\ |
ds |
) т |
(26.23) |
|||||||
\ |
ds ) о |
\ |
ds ) щ |
8 |
\ ds2 ) т |
дВ |
8 \ ds2 ) т |
|
9А |
|
|||
|
|
|
|||||||||||
|
Делая |
подстановку (26.23) |
в (26.4), |
получаем |
|
|
|
|
|
___s3^ |
/ d-A |
\ |
^ |
|
|
|
|
|
(26.24) |
|
8 |
V. ds2 |
/ т |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
причем в последнем принято, |
что |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f d w _ \ _ |
( |
d3B \ |
|
|
|
|
||
|
|
Ч |
dsZ ) т ~ |
\ |
ds3 У 0 |
|
|
|
||
Входящие |
в (26.24) |
частньїе |
производнне |
будут равни: |
||||||
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
д -----cos А |
3V2 |
|
дУ |
_ |
3V |
|
el2cos2Bm tg Bm |
||
|
с |
сояЛ |
771 |
cos^4m |
||||||
дВ |
дВ |
с |
|
дВ |
~ |
с |
|
Vm |
З^/тг'Пт^mcos
V3
5 —— cos A m t
дА
|
|
(26.25) |
yS |
|
|
' Пі |
sin A m. |
(26.26) |
c |
|
|
Подставляя |
в (26.24) |
значення |
производньїх |
согласно (26.10), |
(26.16), |
||
(26.25), (26.12), |
(26.26) и |
(26.19), |
получаем |
|
|
|
|
{ B . - B J |
л |
s3 |
|
|
3^тЦт^тcos |
||
cos A ms ---- |
|
|
(sinMm+3T]^ |
C |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
S3 |
|
|
|
|
V3 |
|
|
T |
sin Am COS A m ( l + 2 4 + T]m) |
----- f -sin ^4 ^ + |
|
|
|||
+ |
-7%{ — -^r- [C0s Amsin2 A m (1 — 3 4 -f rfm— 9T]^m) + |
|
|
||||
|
+ cos3 A m(•°T]2m |
- |
3rj2 mt2rn - ЗГ]4 m — 15riV2m)]} |
|
(26.27) |
105
Опуская в (26.27) мальїе величини в пятой степени, после алгебраических преобразований получаем
(26.28)
Из (26.28) следует, что с ошибкой на величину третьего порядна малости можно написать:
(26.29)
Используя зти вираження для преобразования поправочних членов, допускаєм ошибку пятого порядка малости и вьіше. Позтому, принимая во внимание (26.29), уравнение (26.28) примет вид
(26.30)
Полученная формула пригодна для вичисления координат на расстояния до 200—250 км.
Внвод формул для (L2 — Lj) и (Л 2-і — ^ і - 2 ± 180°) производится аналогично, поатому, не приводя атих внводов, напишем формули в окончательном виде:
(2 +7Tl5.4-9ng,*g. + 5n* )
(26.32)
Для вичисления координат при расстояниях, соответствующих длинам сторон треугольников 1 класса, в формулах достаточно сохранить малне ве
личини в третьей степени, т. е. не принимать во внимание члени -^-r\ 2 и меньше.
II* 1
G атой точностью перепишем формулу (26.28), тогда
106
или
(В2 — #і)" = b" = s cos Ат(1)т [і + - ^ r cos2 £„ |
і»* |
* sin2 £„ |
|
|
8р" |
и окончательно |
|
Ь" = |
(І)ІПs cos Ат|і |
-{- |
24р |
|
|
|
[ |
12р |
|
||
Из (26.31) и (26.32) |
с той же точностью |
получаем: |
|
||
L%— L\ —-І |
(2)m s sin Amsec Bm|1 |
Ь"1 , |
f |
||
24p |
24p |
||||
|
|
|
(26.34)
(26.35)
<^2. i —A 1.2 ± |
180°)" = f |
= |
(2)m s sin 4 mtg Bm | l -f |
b"2 |
Ґ |
, |
l"‘ |
. (26.36) |
||||
12p" |
24p" |
|
12p" |
|||||||||
|
|
|||||||||||
Обозначим v = -— |
; |
после |
логарифмирования |
формули примут вид: |
||||||||
|
6р" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg b" - |
lg [(l)m 5 COS Ат\ + |
- 4- |
+ 4 - V l"2 |
|
|
|
|||||
|
lg l" = |
l(2)m S Sin Лm sec £ m] + 4 - vt"*— 4 v&"2 |
|
|
(26.37) |
|||||||
lg t" = lg [(2)m 5sin Лm tg |
+ |
4 |
v&"a + |
4 “ vZ'/2 ~ ”4~ v^2 |
|
|
||||||
Поправочнне члени формул (26.37) |
могут бить |
еще представлени так: |
||||||||||
|
|
A lg Ь= 4 |
vZ"* sin2 Д п+ 4 |
v^,a |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A lg l = 4 |
VZ"* Sin2 Bm----4 |
|
|
|
(26.38) |
|||||
|
A lg t —4 |
v&"2+ 4 |
|
v^,,a sin2 в т + 4 |
w* cos2 |
|
|
|
||||
Искомне |
координати |
точки |
В: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
B2--=Bx+ b |
І |
|
|
|
|
||||
|
|
|
L2 = B i+Z |
. |
|
|
|
(26.39) |
^2.1 ~ A\. 2 — 180° -f-1 )
Вформулах (26.37) определяемне величини b, І и t — функции средней
широти Вт и среднего азимута А т, которие неизвестнн. Неизвестнн также и аргументи Ь и І в поправочних членах. Поатому задача решается методом последовательннх приближений.
Полагая в нервом приближении
= В± -J- s cos А 1 2 (1)і ~ Ві -J- b ,
V = s sin Аг 2 sec J5j (2)1?
А 2 . і - ■А г 2 ± 180° + ssin^lj 2tg-Si (2)і = Ліш2 ± 180°+ Ґ,
107
ВНЧИСЛЯЮТ!
Аи o + Ua. 1 ± 180°)
2
Co значеннями Ь'\ V и tr рассчитьівают поправочньїе члени формул (26.37), (26.38) и внчисляют, принимая во внимание В'т и А 'т , значення Ь", І” и t". Таким образом, получаются новьіе значення искомьіх величин в третьем приближении. Так поступают до тех пор, пока результати вичислений из двух смежннх приближений не станут одинаковнми.
Полученнне формули очень прости и достаточно точнн для вичислений координат в триангуляции. Единственннй, но существенннй недостаток их — необходимость применения приближений, что увеличивает обтьем вичислений.
27. Решение обратной геодезической задачи по формулам со средними аргументами
Искомне s, A j 2 и А 2 х легко определяются из формул для решения прямой геодезической задачи (26.37).
Используя прежние обозначения по заданньш координатам конечних точек, имеем:
(27.1)
Внчисляя по формулам (26.38) и значення Д lg b и Д lg І на оснований (26.37) легко получаем
(27.2)
откуда
lg tgy4m = ZgP — lg £ . |
(27.3) |
По А т находим далее:
lg s = IgP — lg sin Atn= lg Q lg cos A m» |
(27.4) |
Для вьічисления t имеем последнюю формулу из системи (26.37); целесообразно вьічисления проводить по следующей формуле, которую получаем из сопоставления второго и третьего виражений в формулах (26.37).
lg t = lg l sin Bfll+ -J vb2+ |
v/2 cos2 Bm. |
(27.5) |
Искомне азимути определяются:
(27.6)
108
Формульї для решения обратной геодезической задачи для нелогарифмических вичислений при помощи арифмометра или иной счетной машини при ведем без внвода:
S Sin А-т |
т + C O S 2 Вщ [%Г+ а2АВЧ + a3l3] = 7)2г, |
(27.7) |
|||||||
|
|
|
ТІ |
COS^ В YYI |
|
|
|
|
|
|
т = + |
593,602160; |
|
А В = 10“4 (В2- В г)"\ |
|
||||
|
|
ге = |
+ |
197,867385, |
|
І = 10~4 (Ь2 - |
LJ', |
|
|
|
|
|
|
j-y |
ЇЇІ “I- COS2 В m |
|
(27.8) |
||
|
|
|
|
|
її —[—cos2 В m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
ax —+ |
103 422,05 cos Bm; |
|
|
|
|
||||
a2= + |
9,5144 cos Bm-\- 0,5525 cos3 Bm— 0,0078 cos5 Bm; |
|
|||||||
az —— 10,1287 cos Bm -j- 10,1287 cos3Bm |
|
|
|||||||
SCOsAm= ^+ соИ Г l“4 ^ |
+ a&A^ 2 + |
A^3] = D |
(27.9) |
||||||
|
|||||||||
где a^~ + |
103422,05 — 696,9116 cos2Bm-\- 4,6954cos4Btn— 0,0310cos6Bm; |
||||||||
ab = — 30,3860+ 10,3334 cos2 Bm— 0,2061 cos4 Bm-\- 0,0014 cos* Bm; |
|
||||||||
|
a6 = — 0,2048+ 0,4192 cos2 Bm— 0,0124 cos4 Bm\ |
|
|||||||
|
f = sin Bm[a7Z+ |
a8 АВЧ + a9l3] = sin Д+С3, |
(27.10) |
||||||
где |
|
|
|
a7 = + |
10 000=104; |
|
|
||
|
|
|
as = 2,9381 + |
0,0132 cos2 Bm; |
|
|
|||
|
|
a9 = |
+ |
1,9587 cos25 m+ 0,0132 cos4 Bm; |
|
||||
|
|
|
|
A l. 2 ~ Am |
2~ A^4, |
|
|
||
|
|
A2. і — A m |
180° + -^-jAA; |
|
(27.11) |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
sin Am ’ |
|
|
||
|
|
|
|
u O |
‘ |
cos A. m • |
|
(27.12) |
|
Пример на решение обратной геодезической задачи по нелогарифмическим |
|||||||||
формулам приведен в табл. 9. |
|
|
|
|
В 2, Ь 2 |
||||
П р и м е р . |
По |
заданньїм геодезическим координатам В х, Ь х и |
точек 1 и 2 вичислить расстояние s между зтими точками, а также прямой А 12 и обратньш А зі геодезические азимути.
Заметим, что неудобство, возникающее при решении прямой геодезической задачи, — необходимость применения последовательннх приближений, при решении обратной геодезической задачи по формулам со средними аргументами отпадает.
Образец таблиц для D при решении обратной геодезической задачи по формулам со средними аргументами (нелогарифмические внчисления).
109