Деформирование и разрушение композитов

Сущность этого подхода заключается в том, что физико-ме­ ханические свойства элементов структуры (волокон и матрицы) задаются с помощью общепринятых феноменологических урав­ нений и критериев, а макроскопические деформационные (упру­ гие, упругопластические, вязкоупругопластические и т. п.) и прочностные свойства вычисляются путем осреднения по элемен­ тарному макрообъему. Привлечение вероятностных представле­ ний и аппарата теории случайных функций позволяет одновре­ менно учитывать случайный характер свойств и взаимное рас­ положение элементов структуры.

Пусть тензор макронапряжений а*, характеризующий напря­ женное состояние некоторого элементарного макрообъема V, из­

где С* — тензор начальных макроскопических модулей упругости;

оно содержит тензор макроповреждаемости, который «чувстви­ телен» к любым структурным повреждениям, происходящим в элементарном макрообъеме (накопление повреждений и рост усталостной трещины в матрице, расслоение матрицы и волокон, разрыв волокон и т. д.). Этот тензор является случайным и характеризует изменение деформационных свойств композитов при нагружении.

С другой стороны, можно считать, что разрушение материала произойдет, когда повреждаемость достигнет некоторого крити­ ческого значения (соответственно разрушение тела V произой­ дет, когда это случится в любом из его элементарных макро­ объемов) .

101

Значения N*i) определяются либо непосредственно из экспе­ риментов на усталость, проводимых на образцах из композитов, либо расчетным путем по деформационным и прочностным свой­ ствам элементов структуры.

Из изложенного следует, что с помощью тензора макроповреж­ даемости деформирование и разрушение материала при цикличе­ ских нагрузках можно описать на макроуровне как единый процесс.

Дадим теперь постановку связанной стохастической краевой задачи механики деформирования и разрушения для величин структурного уровня исследования, из осреднения которой может быть найден тензор to*.

Пусть в элементарном макрообъеме V случайное поле напря­ жений удовлетворяет в любой момент времени уравнениям равно­ весия

Для каждого i-го элемента структуры известны определяющие соотношения, содержащие тензор повреждаемости который построен на основе традиционных феноменологических уравнений и критериев (2). Эти соотношения имеют вид

(т — число элементов структуры).

Разрушение i-го элемента структуры будет иметь место, когда хотя бы одна из инвариантных мер М\1) тензора ш*1') достигнет

своего критического значения N\l), причем вероятность микрораз­ рушения вычисляется по формуле

Рп (0 = 2 Р[Мш(г, 0 > N(i) (г)],

102

Г. В. ИГНАТОВА, Ю. П. СИРИН, А. А. ТАШКИНОВ

СТРУКТУРНО-МЕХАНИЧ ЕСКОЕ ИССЛ ЕДО ВАННЕ

МАЛОЦИКЛОВОЙ УСТАЛОСТИ

п о р о ш к о в ы х композитов

Интерес к развитию порошковой металлургии связан с боль­ шими возможностями создавать материалы с заданными свой­ ствами. Методами порошковой металлургии можно получать и композиционные материалы.

Детали, изготовленные из композиционных порошковых ма­ териалов, широко применяются в разных отраслях техники. Нередко они испытывают действие переменных во времени напряжений, которые приводят по мере накопления числа цик­ лов к росту усталостных трещин. Изучению явления усталости уделяется большое внимание [2—4]. Однако существующие методы расчета еще недостаточно совершенны. Обычно прово­ дятся эксперименты и строится усталостная кривая Велера. Но это процесс трудоемкий, требующий большого числа испытаний, длительный по времени.

Структурно-механическое исследование процесса усталости позволит значительно сократить объем испытаний и даст воз­ можность для проектирования новых материалов с желаемыми свойствами.

В основу исследования процесса усталости порошковых ком­ позитов положен подход, сочетающий модели структурной меха­ ники микронеоднородных тел и феноменологический метод рас­ чета напряженного состояния изотропной однородной среды с учетом накопления повреждений.

Физическое уравнение однородных материалов, содержащих функцию повреждаемости со, в одномерном случае имеет вид

Считаем, что до нагружения ю = 0, а при появлении в материале повреждений w = (o1(Af1)=£0 и в момент разрушения равна неко­ торой критической величине

ш(Л^р) = шкр.

104

Установим СВЯЗЬ 0! И (02, с одной стороны, и с функциями повреждаемости ш я и GDg , имеющими конкретный физический смысл,— с другой, считая, что при всестороннем сжатии повреж­ даемость происходит вследствие «разрыхления» структуры, а при чистом сдвиге наблюдается «формоизменение», т. е.

где (£>к, ш0 —функции, зависящие от инвариантов тензора напря­ жений и характеризующие соответственно «разрыхление» и «фор­ моизменение»; К, G — модули объемного сжатия и сдвига среды без повреждения («начальные» модули).

Получим соотношения

С учетом этих выражений тензор повреждаемости изотропной среды будет иметь вид

Считаем, что на макроскопическом уровне исследования композит является макрооднородным и изотропным и его свойства при данной структуре зависят от свойств элементов структуры и их объемного содержания следующим образом [1]:

Здесь р — относительное объемное содержание элемента структуры, обозначенного индексом 1; К}, К1[, G1, G11 — модули объемного сжатия и модули сдвига элементов композита:

G = G'p+Gu ( \ - p ) ,

K = K JP+KU(1 — р), G = GT— G11.

Необходимо учесть, что повреждения, накопленные при усталости

вэлементах структуры, влияют на свойства композита в целом. Тогда макроскопические модули композита можно представить

ввиде

Л:*= / СП1— = — еэо), (Ю)

где co/f, ©о— макроскопические функции повреждаемости соответ­ ственно при всестороннем сжатии и чистом сдвиге, которые в свою очередь зависят от функций повреждаемости компонентов композита и свойств материала.

+ 4/3GI/CIIp (1 p) X (—(й/( — 0G+ ^ G^/C1) + 4/3GII/C11 (1 — p)2 X

X ( — coJc1 — ©“ + a^coJc1),

C= (/CI+4/3G II)(l- p )+ (/C II+ 4/3Gi)p,

D = — aKK](1 - P) - /Р'рюк - 4/3GipfflS - 4/3G" (1 - p) a#,

*- G ^ p + G 11 (1 -pJ^+tM i/C O D j-B O /tC H -D ,)

+G)G G ^+ OG1 GIP — 2GIG1I(DG0G] [—K®RP— /С11©],? (1 — p) —

—2G!0GP — 2GlWa {\ — p)] p(l — p)+ 2 [—2Gl v>l(G1 — G”)+

+2GH0G (G1 — Gn)+0oG IJ + 0GGIIS — 2G1 G11© ^^] [/C1 +2G 1) p-\-

+(/Cn 4-2Gn)(l — p)]p(l — p),

106

C1 = 5[G1p + 0 11 (1 — P)] [(/C1+ 4/3G1) p+(/CII+4/3GII)(l —p)]+ + 2 (G1 - Gn) [(K1 + 2GI) p + (/(n +2Gn ) (1 — p)] (1 — 2p),

A = 5 [G 'P + Gn (1 — p) — G'mop — Cco" (1 — p)] [—Лшяр —

- tf'coJc1 (1 — P) — 4/3GI<ooP - 4/3G"o)SI (1 - p)]+5 [—G'4p —

— C'cii'Cl — P)] [/CI+ 4/3G i)p+ (/C "+4/3G ")(l-p]+ 2 [-G 'O)J+

описывают изменения макросвойств композита при накоплении повреждений в элементах структуры, в том числе и при уста­ лостном разрушении.

Перейдем теперь к выбору феноменологических уравнений при циклическом нагружении изотропных однородных сред.

Кинетическое уравнение при циклических нагрузках имеет вид (13)

Одним из вариантов записи тензора повреждаемости через его независимые константы соя и ©G по аналогии с теорией дли­ тельной прочности Ильюшина [2] можно предположить линейную связь между компонентами тензора напряжений и тензора по­ вреждений:

N

°>к=з|ч>(ЛГ-£)Л»(£), 0

где <р и <р определяются по результатам испытаний в условиях чистого сдвига и одноосного растяжения; Зо — первый инвариант тензора напряжений; о* — интенсивность напряжений.

С другой стороны, для описания сод и ю0 можно использовать функцию повреждаемости, предложенную В. В. Москвитиным [6]:

N

107

сжатие для каждого компонента в отдельности; a (k) — амплитуд­ ное напряжение в конце k-ro цикла.

Расшифровка выражения для макроскопической функции повреждаемости представляет определенную трудность, так как встречаются члены типа

к дополнительным ограничениям в выражениях типа (15) для функций повреждаемости элементов структуры.

В качестве иллюстрации приведем расчет двухкомпонентного материала со свойствами элементов структуры

Е1 = 5 - 106, £ п = 106, v1 =0,2, vn = 0,3

с относительным объемным содержанием элементов структуры р = 0,3 и заданной их повреждаемостью:

©к = 0, со^1 = 0,2, ©0= 0,15, ©о1 = 0,3.

Повреждаемость такого композиционного материала определяется

величинами ©^ = 0,18, © G = 0,24.

Варьируя различным образом физико-механические свойства составляющих композита, объемное содержание, можно прогно­ зировать, основываясь на предложенной методике, изменение деформационных свойств (уменьшение жесткости) композитов при малоцикловой усталости.

108

Л. Л. КОЖЕВНИКОВА, А. А. РОГОВОЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЦИЛИНДРА

ИЗ СЛАБОСЖИМАЕМОГО И НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛОВ С ОСЕВЫМИ ШАРОВЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Материалы, допускающие большие упругие деформации, в боль­ шинстве своем бывают несжимаемыми или слабосжимаемыми. При­ чем в области стесненной деформации аппроксимация слабосжимаемого материала несжимаемым некорректна. Обычно несжима­ емость материала определяют не обобщенными модулями упру­ гости, а кинематической зависимостью /3 = 1. Использование обоб­ щенных модулей упругости позволяет с единых позиций описы­ вать как несжимаемые, так и слабосжимаемые материалы.

Так, для решения задачи о больших упругих деформациях в коротком цилиндре из несжимаемого и слабосжимаемого матери­ алов с жесткими шаровыми включениями (рис. 1) предлагается использовать функционалг:

ПО