Деформирование и разрушение композитов

Рис. 1. Расчетная схема.

Варьирование в (1) осуществляется по Н и по составляющим вектора U. Причем / 3, входящие в комплексы

# /(2 /3), по U не варьируются. Вариа­ ционные уравнения для (1) записы­ ваются в виде

111

где

Ayw= g f 'i V . ; - 'V f /.

в,ут =§№мЛ . / - УмЛГ/К+V » ,.r« - 'W ^ rfs.

Суммирование выражений (4) по всем элементам приводит к раз­ решающей системе нелинейных уравнений.

Для линеаризации системы (4) перемещения, функция сред­ него давления и нагрузки записываются в приращениях;

и м к ^ , ) м к + ги к 1 Я " = Я М+Т1«

PN = PN+S N,

причем величины £м/с и rjM считаются малыми и квадратами их можно пренебречь.

112

Е. А. КОЛЧАНОВА

ПРИМЕНЕНИЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ К СИНТЕЗУ

ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ

В некоторых отраслях промышленности нашли применение составные цилиндрические конструкции с поперечным сечением сложной формы. При проектировании их поперечных сечений (в виде двухсвязных областей, ограниченных снаружи окруж­ ностью, а изнутри — кривой сложной формы) оптимальный с точки зрения прочности вариант конструктивного оформления выбирается путем применения так называемого вариантного оптимального проектирования. В случае использования такого подхода рассчитывается напряженно-деформированное состоя­ ние ряда конструкций заданной формы и размеров с тем, чтобы из класса допустимых найти вариант, удовлетворяющий, наряду с другими, требованиям прочности. При этом оценка НДС по­ перечных сечений при действии на конструкцию силовой и тем­ пературной нагрузок осуществляется на основе решения прямой краевой задачи теории термоупругости в плоской постановке.

В данной работе предлагается более эффективный метод ре­ шения указанной задачи, позволяющий без расчета НДС опре­ делить множество вариантов конструктивного оформления по­ перечных сечений, удовлетворяющих требованиям прочности, а также заданной площади, и выбрать из них наиболее оптималь­ ный, с точки зрения других требований.

Возможности разработанного метода проиллюстрированы на примере решения задачи для цилиндра, скрепленного с оболоч­ кой, который под действием постоянного температурного пере­ пада находится в условиях плоской деформации. Относительно оболочки сделано допущение, что она абсолютно жесткая.

1. Предлагаемый метод проектирования конструкций, удов­ летворяющих указанным требованиям, основан на решении обратной краевой задачи плоской теории упругости (термо­ упругости) [1, 2] для поперечных сечений конструкций изучае­ мого класса. Решение осуществляли в' естественной криволиней­ ной системе координат р, ft.

Принятое допущение относительно оболочки позволяет ре-

114

шение обратной краевой задачи термоупругости свести к реше­ нию соответствующей задачи теории упругости при нулевых значениях нормальной и касательной компонент тензора напря­ жений на внутренней границе сечения:

и заданном векторе перемещений — на внешней:

и окружающей среды Г0; Ь— радиус окружности, являющейся внешней границей сечения.

Кроме краевых условий, исходными при решении данной задачи были: величина предельного отрывного напряжения апЬ между слоями наполнитель—оболочка и предельного напряже­ ния аь (деформации гь) на растяжение для наполнителя, а также

115

3)соотношение между этим комплексным потенциалом и пре­

которое является следствием уравнения (4) и представляет собой условие равенства нулю касательного напряжения на линии кон­

116

При ограничении в сумме одним членом ряда, что является достаточным в том случае, когда величина a_2 ( J первого отбро­

шенного члена мала по сравнению с величиной, стоящей в пра­ вой части, радиус рх = р* вычисляется по формуле

Проверку точности расчетов и дальнейшее уточнение значе­ ния (15) можно проводить наиболее простым способом. Для этого

можно увеличить на бесконечно малую величину Apx; если боль­ ше, то pi необходимо уменьшить и снова сделать проверку и т. д.

Решение этой задачи можно осуществлять также методом по­ следовательных приближений, используя в качестве нулевого приближения р —р* (15).

Следует иметь в виду, что при анализе исходных данных для решения поставленной задачи остался незафиксированным пара­ метр q. При выбранном множестве значений рх>р1 он может быть произвольным.

Таким образом, после того, как найдены входные параметры задачи, можно перейти к ее решению — определению функции конформного отображения из системы (3), (4).

В результате соответствующих алгебраических операций [3, 4] исключается комплексный потенциал Ф (С) (3). Полученная си­ стема линейных алгебраических уравнений относительно неиз­ вестных коэффициентов ряда (10) в общем случае является одно­

воряющее требованиям прочности.

117

Рис. 1. Вид поперечного сечения составно­ го цилиндра.

4.

подходе в результате решения за­ дачи для оболочки с наполнителем определены форма и размеры кон­ центраторов, при которых прочность поперечного сечения обеспечена.

жесткость поперечного сечения оболочки больше соответствую­ щей жесткости поперечного сечения цилиндрического тела.

В связи со сказанным выше при построении поперечных сечений заданной площади к конфигурации поперечного сечения,

S° = nb2{1- р2) .

Таким образом, в результате решения задачи при одном законе распределения о'^= Д^) получается счетное множество

сечений, отличающихся величиной радиуса pt и числом осей сим-

Рис. 2. Конструкция попереч­ ного сечения, соответствующая закону распределения напря­ жения Стф с наличием одного

(а) и двух (б) максимумов в секторе О с д с л / д (а = 4).

118

Рис. 3. Характер распределе­ ния напряжений по внутренней границе сечения, соответствую­ щий одному (а) и двум (б) кон­ центраторам в симметричном

элементе.

V-’/ (зг/$ \ град

метрик q. Все конструкции этого множества удовлетворяют тре­ бованиям прочности. Теперь из этого множества можно выбирать оптимальный вариант конструкции с точки зрения других тре­ бований.

Такой подход, как это может показаться на первый взгляд, нарушает традиционный путь проектирования конструкций. Одна­ ко это не так, поскольку удовлетворяющая условиям прочности конструкция (выбранная из данного семейства) может быть допроектирована уже традиционным путем. Следует также отме­ тить, что предлагаемый метод проектирования обладает большим преимуществом: для выбранной конструкции уже известна ото­ бражающая функция, которая позволяет сделать проверочный расчет НДС на основании решения [3—5] прямой задачи.

На основе предложенного и разработанного метода с помощью программы для ЭЦВМ был просчитан ряд вариантов, отличаю­ щихся законом распределения напряжения сг^ (функции /(ft))

по внутренней границе области.

Вкачестве примеров на рис. 2 приведены конфигурации об­ ластей, у которых максимальное напряжение (в некоторых точках внутреннего контура) одинаково (рис. 3), а распределение напря­ жения (T^ по контуру области различное.

Взаключение следует отметить, что построенные области

119